初中数学教案：多边形的内角和与外角和教学设计

《多边形的内角和与外角和》教学设计

（北师大版数学八年级下册•第六章第四节第1课时）

一、【教材内容和内容分析】

1.教学内容

本节课是北师大版教材《数学八年级（下）》第六章平行四边形第四节第1课时的内

容，其教学内容为多边形内角和定理的推导和应用.

2.教学内容分析

“多边形的内角和与外角和”是在七年级下期学习了三角形内角和定理，在本章学习了

平行四边形的相关性质后进一步研究多边形内角和的探究课.就知识的应用价值上来看,

本节课内容既是三角形内角和自然延伸，也是进一步探究多边形问题的基础.通过添加辅

助线将多边形问题转化为三角形问题解决不仅是探索内角和的关键，而且也是今后解决四

边形及多边形问题的通法，是初中学生数学逻辑思维发生、发展的重要环节.通过本课的

学习，不仅可以发展学生探索和归纳能力，而且有助于帮助学生进一步体会从简单到复杂、

从特殊到一般化归转化的数学思想.就内容的人文价值来看，多边形内角和的探索需要学

生猜想、实验、证明、探索，对学生掌握观察、比较、类比、转化、归纳等方法有重要作

用，有助于培养学生创新思维和探索精神.

综上所述，本节无论是知识的传承，还是能力的发展、思维训练，都属于“空间与图

形，，领域中，，图形的认识，，部分中的重要内容，有着承上启下的重要作用.

二、【教学目标分析】

1.经历''定理.”的探究过程，掌握''定理”内容，能用于解决相关数学和实际问题；

2.了解数学问题中“从特殊到一般”的研究方法，培养思维水平的严谨性和全面性；

3.体会转化、类比、化归的数学思想.

三、【教学问题诊断分析】

学生通过对三角形内角和定理和平行四边形性质的学习，初步具备了一定的分析与归

纳的能力，为本节课的学习奠定了基础，但是学生对新的数学问题的探究有一定困难.尤

其为什么要转化，怎么把新问题转化为已知问题解决是现阶段学生学习的拦路虎，我班学

生从七年级入学开始实行小组合作学习，有很多讲演的机会，能够较好的表达自己的观点,

渴望应用所学的知识解决问题，但逻辑推理能力和用数学工具进行探索和归纳的能力还有

待进一步提高.而这节课探究性较强，学生探究问题和添加辅助线的经验还不够丰富，本

课的学习还可能存在以下困难：

（1）探究四边形的内角和时，在探究三角形内角和的启发下，可能想得到度量法、

拼图法，却想不到添加辅助线的方法;

(2)学生在探究五边形、六边形、七边形的内角和时，可能出现从不同的点出发去

分割图形，却求不出它的内角和；

(3)学生可能采用不同的方法分别探究出了五边形、六边形、七边形的内角和，却

找不到规律，而归纳、猜想不出“边形的内角和如何表示.

教学重点及难点

1.教学重点：体验多边形内角和定理的探究过程，理解定理内容，体会”从特殊到一

般”、“化归与转化”的数学思想.

2.教学难点：理解多边形内角和问题的解决为什么要转化，如何转化的思维发生发展

过程.

四、【教学支持条件分析】

八年级学生在七年级上期已学习过多边形和圆的初步认识、平行线的性质与判定等

有关基础知识，对平面图形的边、角、对角线有初步的了解并能用这些知识解决相关问

题.在七年级下期学习了三角形基本性质、三角形内角和定理，对三角形的内角和为180°

有较深的理解.在本章学习了平行四边形相关性质，知道长方形、梯形等特殊四边形的内

角和为360°,但对任意四边形的内角和是多少不能严谨的说明.八年级的学生已初步学

会了简单的逻辑推理方法，掌握了一些基本的数学思想方法，能在教师的引导下独立地解

决一些基本问题.因此在教学中注重运用开放性问题引导，鼓励学生大胆阐述自己的观点,

培养学生数学交流能力，理解从特殊到一般的数学方法和转化数学思想.

本节课重、难点解决的方法策略：

(1)由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略.一方面，通过学生自主思考和互动研

讨，把问题的研究从特殊引向一般，充分经历探究多边形内角和定理的全过程，突出教学

重点.另一方面，在定理的推导过程中，注意分析如三角形、特殊四边形等已有模型的特

征，通过已有模型的研究、转化和类比，突破教学难点.

(2)采用自主探究教学方法.教师的教法，突出开放性问题的设计与提出，启发学生

尽可能的从不同方面思考问题，解决问题，注重思维水平的深刻性；学生的学法，突出合

作学习、探究发现，实践与体验.

五、【教学过程设计】

（-）教学流程示意图:

结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下:

创设情境实践探索转化探究

产生疑股寻求转化

引入新课去伪存真初步解疑

।A

（2分钟）（5分钟）（10分钟）

A

前后呼应类比探究

V

回顾生活归纳总结类比探究

应用新知归纳拓展

解决问题巩固提升概•括公式

V।

（4分钟）（7分钟）（12分钟）

（-）教学过程:

教学

课堂内容、教师活动学生活动设计意图

环节

同学们，就像一份快

乐，如果两人分享就会得

1.到更多的快乐一样，有的通过一个富含哲理的

创设事物去掉一部分，剩下的问题，引起学生的认知冲

情境部分反而有可能变的更思考、反馈，结合突，充分的调动其好奇心和

大、更多，你们相信吗？生活实际大胆的说出求知欲，为本节课后续的深

提出也许大家还觉得不可思自己的疑惑与想法.入学习埋下伏笔.

问题议，可是，今天我们要学

习的多边形的内角和就是

一个典型的例子.

每个组的资料盒里都以一个开放性的数学

用剪刀剪出可能

2.准备了一些长方形的卡问题直接进入这节课的主

的图形，思考剪出图

实践纸，请取出一张，任意的题，让一个看似很容易的问

形的内角和，把计算

探索剪掉一个角，可以有几种题引起学生的认知冲突和

原理整理在学案相应

不同的剪法，剪出可能的探究兴趣，让学生在自觉或

位置，大胆的讨论、

去伪图形，并思考以下问题：不自觉的状态下把眼光集

展示自己的剪裁作

存真剪出的图形内角和是中在“多边形的内角和“

品，从多方面入手，

多少？你是怎么计算的？上.通过对长方形的剪裁，

求出所剪图形的内角

结果比原来的长方形内角认识到多边形内角和会随

和，感受多边形内角

和增加还是减少了？边数的变化而变化，建立特

和随边数变化而变化

剪好的小组请派代表殊四边形与三角形、五边形

的事实.

将图形贴在黑板上，准备的联系，为对多边形进行类

交流对以上问题的思考.比研究打下基础.

对于正方形、长方形、

3.

转化平行四边形、梯形等特殊

的四边形，我们已经能求

探究通过画任意四边形求

得其内角和为360。，但毕在卡纸上画任意

内角和，把研究的对象从特

竟他们都是特殊的四边四边形，类比三角形

初步殊引向一般，引导学生把握

形，那对于任意的四边形内角和的研究方法，

解惑其内在的规律，渗透转化的

能否通过转化求出内角对任意四边形的内角

数学思想.达成教学目标2:

和？和进行多角度思考，

了解“从特殊到一般”的研

请每个同学都任意画寻找不同的解决问题

究方法，自然的完成本节

一个四边形，尝试用转化的办法.

课难点的突破.

的方法从不同的角度思考

求出它的内角和，做好交

流准备.

以任意四边形内角和

的研究方法做类比，继续深

同学们通过不同角度化学生对本节课知识的理

4.的思考，充分的证明了四解，寻找多边形内角和随边

类比边形内角和为360。，那么的变化而变化的规律，从不

探究五边形、六边形、七边同的角度理解多边形的内

以四边形内角和

形，…，甚至〃边形的内能和公式.以此进一■步锻炼

的研究方法做类比，

概括角和又是多少度呢？请大学生分析和解决问题的能

寻找多边形内角和随

公式家运用自己学到的办法，力，达成教学目标1:掌握

边的变化而变化的规

在学案相应位置写出你的“多边形的内角和定理”，

律，从不同的角度推

结论.教师参与小组探究，教学目标3:体会类比、化

导、表示、认识、理

倾听学生讨论，组织小组归的数学思想，实现本节课

解多边形的内角和公

代表汇报探究成果(鼓励重难点的第二次突破.这样

式.

学生说出不同分割方法，不仅掌握了公式，而且还总

以便全班共享)，总结数学结出了类似数学问题的研

思想和方法.究方法，进而完成新知识的

建构与内化.

(1)试求20边形的内角三个练习，层层递进，

5.和.练习1直接巩固公式，练习

随堂(2)已知一个多边形的每学生尝试练习，用本2深化边角关系，练习3则

练习一个内角都是156°,试求节课学到的多边形内注重知识、方法的灵活应用

它的边数.角和公式解决已知边以及分类讨论的数学思想；

巩固(3)把一张五边形的纸片数求内角和、已知内通过练习强化对多边形内

提升剪掉一个角后，得到的多角和求边数等问题.角和定理掌握.达到掌握公

边形内角和是多少度？式的目的，进一步优化学生

思维，提高能力.

1.掌握了多边形内角

回顾本课学习的知识

6.和公式:(n-2)-180°；

请同学分享学完这节及应用到的数学思想和数

归纳2.转化的思想；

课的收获，分享后对学生学方法.学生小结，教师补

总结3.由特殊到一般的研

的总结进行提炼归纳，渗充、提炼，使这节课所学知

究方法；

透德育思想.识系统化，并从感性认识上

内化4.从不同的角度思考

升到理性认识，渗透德育思

吸收同一个问题会有不同

想.

的收获.

从总体而言本课的设计实施思路是：在教学中充分发挥教师的主导作用和学生的主体

作用.采用“问题驱动''的教学方式，运用问题逐步引导，给学生创造一种具体问题情境、

思维情境，一种动脑、动手、动口的机会，使学生在开放、民主、愉悦和谐的教学氛围中

发现问题，解决问题，获取新知识，提高能力，促进思维发展.采用实验探究法、观察发

现法、类比教学法等，组织学生自主探究，合作交流.为学生创设情境，从提出问题——

实验猜想——转化探究——类比归纳——得出结论——解决问题，让学生经历数学知识的

发现、发展和应用过程，突出转化和从特殊到一般的数学思想.使学生成为知识的发现者，

让他们在实践中发现知识，再将知识运用于实践，培养学生创新精神和实践能力.

在创设情景中，以蕴含哲理的数学问题抓住学生的兴趣，快速调动学生学习本节课的

热情和激情，形成学生愿意参与的心态.在遇到解决问题过程中的困难时，将学生独立思

考、自主探究和表达交流结合起来，通过老师由浅入深的“问题驱动”，让学生经历“不会-

会-熟-巧”的学习历程，并通过问题的创设形成教师与学生，学生与学生的多向交流、多角

思考，促进思维火花不断闪现，激趣效果达成明显.

通过第2,3,4,5教学环节内容的解决，探索求多边形内角和的途径与方法，并从

中总结出其核心方法（通法）是把多边形转化为三角形.这几个探索活动从学生已有的关

于三角形内角和以及特殊四边形的内角和的知识、经验出发层层递进，从易到难，符合学

生的认知规律，得出多边形的内角和，符合学生的认识规律，学生易于接受，由此自觉参

加，从学生发现的一些方法上看，学生也能想到度量法，拼图法和转化法.而转化中，添

加辅助线是重要的一个手段，而度量法和拼图法都的一定的局限性.

通过增加图形的复杂性，让学生再一次经历转化的过程，加深对转化思想方法的理解;

同时，体会类比的方法.如果有学生采用不同的方法或者预料之外的方法分别探究出了五

边形、六边形、七边形的内角和，却找不到规律，而归纳、猜想不出〃边形的内角和如何

表示，我会指导他们从数的角度去发现规律，或者用同一种较简单的方法去探究.在四边

形的基础上，继续探索连续边数的多边形的内角和与边数之间的关系，再由此归纳〃边形

内角和与边数的关系，这样由特殊到一般地层层推进，突出重点，符合学生的认知特点,

有利于学生发现规律，归纳公式.由于采用的方法不同，得出的表达式可能会不同.为体

现数学结论的确定性，对于学生采用不同方法得出的不同的表达式，引导学生观察思考,

明确几个表达式的实质是一样的.在此过程中，教师充分听取学生的意见，对不同的意见

进行总结.

最后，学生回顾、总结，从而养成良好的归纳与总结的习惯.通过课堂小结进一步巩

固所学知识，并将知识进行梳理，形成知识体系，感受学习数学的魅力，建立学好数学的

自信心，形成良好的自我评价.

§6.4多边形的内角和与外角和（1）

□

比

学

一、基本知识三、例题解答

生

多边形的内角和定理:

1:活

学

动

展

2：

君二、数学思想与方法示

区

3：

（主板书）（副板书）（辅助性板书）

（四）教学目标检测设计

1.随堂检测设计

（1）试求20边形的内角和.

（2）已知一个多边形的每一个内角都是156。，试求它的边数.

（3）把一张五边形的纸片剪掉一个角后，得到的多边形内角和是多少度?

设计意图：学生尝试练习，用本节课学到的多边形内角和公式解决已知边数求内角

和、已知内角和求边数等问题.三个练习，层层递进，练习1直接巩固公式，练习2深化

边角关系，练习3则注重知识、方法的灵活应用以及分类讨论的数学思想；通过练习强化

对多边形内角和定理掌握.达到教学目标中掌握公式的目的，进一步优化学生思维，提高

能力.

2.课后检测设计

(1)用四块大小形状完全相同的四边形可拼成一块无空隙的纸板，请用本节课的

知识说明理由.

(2)请探究，除了四边形以外，哪些正多边形纸板还可以拼成无空隙的纸板？

设计意图：本题是是开放性问题，是课堂活动的延展，面向全体学生，不同学生能

根据自己的理解获得属于自己的答案，适应学生个性发展的需要，是“人人都能获得良好

的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的较好体现.学生通过完成开放性的探

究性作业作业，进一步思考多边形内角和在实际生活中的应用价值.

六、【教学反思】

整堂课中，同学们对我创设的问题很感兴趣，探究非常主动，回答问题非常踊跃，分

组讨论、展示活动表现积极.师生交流、生生交流使思维碰撞出火花，生成了一些新的思

路，学生的表现超出了我的预期.在教师评价时，关注学生的参与程度和思维水平，关注

学生对基本知识的掌握情况和解决实际问题的意识和能力；在教学过程中尊重学生的个体

差异，对于学生的不同思思维方式，只要合理都给予鼓励和肯定，帮助学生树立学习数学

的自信，充分发挥教学评价的价值.同时为学生提供生生评价的平台，让学生间学会质疑，

学会互相欣赏、学习和借鉴.总的说来有如下几点反思：

1.重视知识生长过程，凸显数学思想体验

本节课的设计非常强调数学知识的生长过程，渗透从特殊到一般和转化、类比、

化归等数学思想，教学过程的六个环节从不同的角度体现了这样的理念.

2.层层问题铺垫引导，确保教学目标达成

在整个课堂活动过程中，特别强调了环节的设置与目标的达成相呼应，做到了由

做到了由目标确定环节，在环节中实现目标.具体如下:

环节3:转化探究-课堂学习目标1,3

环节4:类比概括］课堂学习目标1，2

环节5:归纳提升］课堂学习目标1,2,3

3.用活新课程理念，力求生本性设计

有意的设计多处开放性的问题，引起学生的思维碰撞，鼓励学生大胆的尝试新方

法解决问题，深度经历探究过程，使学生获得了较好的数学学习经验.如何在课堂活

动，更好的把握问题引导中“收”与“放”的度，做到收放自如，是我在今后的课堂

中需要进一步研究提升的课题.

附一：部分课堂活动照片

交流展示互助倾听

归纳总结巩固提高

附件二：教材内容

第五章分式与分式方程

1认识分式.........................108

2分式的乘除法.....................114

3分式的加减法.....................117

4分式方程.........................125

回顾与思考..........................131

复习题..............................131

第六章平行四边形

Ito*&*HH£**A里

A.

CL*'JkK-i'MRM.1平行四边形的性质……-135

2平行四边形的判定....140

3三角形的中位线......