初中数学逻辑推理强化练习1

初中数学逻辑推理强化练习1

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知二次函数>=以2+法+。的图象如图所示，则下列6个代数式：

ab,ac,a+b+cya-b+c,2a+b,2a-btp,其值为正的式子的个数为（）.

3个C.4个D.4个以上

2.如图所示,一次函数>=履+〃的图象过点RL4）且与x轴和y轴的正半轴交于4B

两点，点。为坐标原点，当AAOB的面积最小时，k,匕的值为（）

B.A=T,b=4C.%=—2,b=4D.k=-l,h=2

3.已知“，b均为正数，且,J/+41是一个三角形的三边的

长，则这个三角形的面积是（）

31

A.-abB.ahC.—abD.2ab

22

4.若x-；+（3y+l『=0,则f+y2的值是（）

112

A.0B.-C.-D.—

399

5.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”，图1是由四个全等的

直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形.连接图1中相应的顶点得到

图2,记阴影部分的面积为空白部分的面积为邑，若大正方形的边长为逐，

$=2Sz，则小正方形的边长为（）

6.在一次数学活动课上，某数学老师在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随

机取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是5,6,7,8中的

一个数，并且这4个数都能取到，根据以上信息，下列判断正确的是（）

A.四个正整数中最小的是1B.四个正整数中最大的是8

C.四个正整数中有两个是2D.四个正整数中一定有3

7.10个孩子分进4个班，则至少有一个班分到的学生人数不少于（）个.

A.1B.2C.3D.4

8.一只小虫子欲从A点不重复经过图中的点或者线段，而最终到达目的地E,这只小

虫子的不同走法共有（）

A.12种B.13种C.14种D.15种

二、填空题

9.如图，BD为边长为〃的菱形4BCO的对角线，NBA£>=60。，点M,N分别从点A,

8同时出发.以相同的速度沿AB,BD向终点B和。运动，连接。M和AN,。例与

AN相交于点P,连接8P,则8P的最小值为.

MB

10.如图，△ABC中，ZC=90°,AO平分/BAC,AB=\0,AC=6,则8。的长是

11.已知正整数x满足Y+5x+30是完全平方数，则x的值是.

12.如图，在平面直角坐标系中，菱形A8S的顶点。在第二象限，其余顶点都在第

一象限，轴，AO±AD,AO=AD.过点A作垂足为E,

DE=4CE.反比例函数y=?x>0）的图象经过点E.与边AB交于点凡连接。区

OF,EF.则cosO=若则点尸坐标为.

O

13.如图，四边形A3CO中，ZCBD=ZCAD=90^AC=AD9若CD=50AB,则

tanZACB=.

14.如图（1）,将一个等腰直角三角形纸片沿着虚线剪成三块，再利用这三块小纸片

进行拼接，恰好拼成一个如图（2）无缝隙、不重叠的平行四边形，则2的值是一.

(1)(2)

15.若卜―l|+(b+2021)2=0,那么a-8的值是

16.方程2(l-3x)4-32=0的根是.

三、解答题

17.如图，正方形ABC。中，点E是AB边上一点，点尸是BC边上一点，连接£尸,

设NE£>F=a,

图1图2图3

E为A8的中点，则三的值为

(1)如图I,若a=45°,

BF

(2)如图2,若a=30。,过点E作EM〃BC交。产于M点，问4E+C/与EM有何数量

关系？请说明理由.

(3)如图3,若a=60。，AQ=4,直接写出心。所的最大值：

18.如图:

图1图2

图3

(1)问题发现：

如图①，点A为平面内一动点，且BC="，AB—c(a>c),则AC的最小值

为，AC的最大值为；

(2)轻松尝试:

如图2,在矩形A8CD中，AB=10,40=12,E为A8边的中点，尸是BC边上的动

点，将AEFB沿EF所在直线折叠得到△EF8,连接83,则的最小值为.

(3)方法运用：

在四边形A8C。中，8c=4,点。是BC上方的动点，且C£>=2,ZABD=90°,—

AB

=m.

①如图3,当机=1时，求线段AC的最大值.

②如图4,当加力时，用含机式子表示线段AC的最大值.

19.如图，在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,AHLBC,"为垂足，将△4BH绕点A

逆时针旋转a得AADE,连接8,F为CO的中点，连接F”，FE.

(1)求证：FH=FE且FH1.FE；

⑵若A8=4,a=180。，直接写出点厂经过的路径长.

20.戴高乐是二战期间领导法国人民赶走德国法西斯的英雄，也是法兰西第五共和国

的总统.他去世后，根据他生前的意愿，他的墓前只立有一块小小的碑牌，一面刻着

“查尔斯・戴高乐1890—1970”，另一面则刻着一个洛林十字架.洛林十字架由13块相

同的小正方形组成，如图1所示.

(1)你能否只用一把无刻度直尺画一条直线，使其等分洛林十字架.(面积等分，在图1

中画出1种情形即可)

(2)戴高乐还是第一个提出并且解决了下面一个非常有趣的有关洛林十字架的数学问题

的人.问题如下：如图2,在洛林十字架的A点处作一条直线，把洛林十字架严格地

划分成面积相等的两部分.

戴高乐利用圆规，直尺和铅笔解决了该问题，他的作法如下：如图3所示，①标记点

D,B,M,连接BM,与AD交于点、F；②以点F为圆心，长为半径作弧，与BF

交于点G；③以点8为圆心，BG长为半径作弧，与8。交于点C；④连接CA并延

长，与洛林十字架边界交于点N,则直线CN即为所求.

请根据戴高乐的作图步骤，证明直线CN等分洛林十字架.小林同学的部分证明过程

如下：

标记点H,P,Q,如图3所示.设洛林十字架中每个小正方形的边长为1.

易证.BDF^^MAF,

FD=FA.

由作图，可知尸G=H)=£4=gAO=g.

BF=VfiD2+FD2=/=与.

：.BG=BC=BF-FG=---=.

222

•口八ori小-I3一石

22

请补全小林同学的证明过程.

21.如图，在正方形AB8中，点E在边8c上(不与端点重合)，AADF是由△AfiE

绕点A顺时针旋转90。得到的，连接所交4。于点G,过点A作垂足为

H,连接

(1)求证：是等腰直角三角形；

(2)求证：ZAFE=NHBE；

⑶若=竺也，CE=3,求tanNEAD的值.

4

22.抛物线y=V-(m+3)x+3〃与x轴交于4、B两点，与y轴交于点C.

(1)如图1,若点A在x轴的负半轴上，AOBC为等腰直角三角形，求抛物线的解析

式；

(2)在(1)的条件下，点D(―2,5)是抛物线上一点，点用为直线8C下方抛物线上

一动点，令四边形BDCM的面积为S,求S的最大值及此时点M的坐标；

(3)若点尸是抛物线对称轴上一点，且点尸的纵坐标为一9,作直线PC,将直线PC向

下平移〃(〃>0)个单位长度得到直线PC',若直线PC'与抛物线有且仅有一个交点.

①直接写出〃关于m的函数关系式；

②直接写出当时m的取值范围.

23.已知直线/八丫=一级+10交丫轴于点4交x轴于点B,二次函数的图象过A,B

两点，交x轴于另一点C,BC=4,且对于该二次函数图象上的任意两点P/(%/.

y/),P2(X2,>,2),当时，总有y/士.

(1)求二次函数的表达式；

(2)若直线〃：y—mx+n(n/10),求证：当机=—2时，h//h；

(3)E为线段8c上不与端点重合的点，直线〃：y=-2r+q过点C且交直线AE于点

F,求△ABE与面积之和的最小值.

24.如图1,R/ZABC中，4=90。，/B=45°,NC的角平分线交边AB于。点，BD=

近，

⑴请求出4c的长；

(2)如图2,E为8上的一个动点，AELEF,ACVCF,EF交AC于G点，连接AF,

PP

当E点在CQ间运动时，请判断长的值是否为一个定值，如果是请求出具体的值，

AE

不是，请说明理由;

⑶在（2）的条件下，若AE=EC,请求出AfGC的面积.

参考答案:

1.A

【解析】

【分析】

【详解】

因图象开口向下，故。<0.又顶点的横坐标0<-3<1,故。>0,2a+A<0,从而

2a

ab<0,2a-b<0.又x=0时，y=c<0,从而ac>0,a-6+c<0.又当x=l时，

y=a+h+c>0.综上知所给代数式中只有2个为正.

故选：A.

2.A

【解析】

【分析】

【详解】

解因函数N="的图象过点P(l,4),所以4=%+b*=4-k,于是y=^+(4—Q.

令)，=0得《空,0).

令x=0得B(0,4—幻.连OP,得

S.OAB=S.OAP+SQPB=；x4xOA+gxlxO8

1k—41.

=—x4x----F—x1x(4一左)

2k2

显然々<0.令k=~~u,则〃>0,于是

c/\(16、-1cI~16°

=4+不〃+—>4+-x2kx-=8.

u)2Vu

等号成立当且仅当”=3(〃>0),即"=4,这时％=-4/=4—々=8.

U

故选A.

I1*_4

注：的面积也可用S®,=3xOAxOB=5X1-x(4-k)算出.

乙乙K

3.A

【解析】

【分析】

答案第1页，共34页

构造矩形ABC。，E、尸分别为A。、AB的中点，设">=勖，AB=2a,将所求三角形

面积转化为=S^ABCD-SAAEf-SABCI---SACDE即可求解.

【详解】

解：如图，在矩形ABCO中，E、尸分别为A。、A8的中点,

设AD=2b,AB=2a,

AAF=BF=a,AE=DE=b,

・・・在•△AEF、RsBCF、/^△CDE中,依次可得到：

EF=y/AE2+AF2=>Ja2+b2，

CF=1BF2+BC?=yla2+4b2

CE=yjCCP+DE2=y/4a2+b2，

••S^CEF=S矩形Me/5-S^AEF-S^BCF-^CDE

=2ax2b--xaxh--xax2h--x2axb

222

=4ab——ah—ah-ah

2

3,

=—ab,

2

故选：A

【点睛】

本题考查二次根式的应用.能够通过构造矩形及直角三角形，利用等积变换将所求三角形

的面积转化为矩形和几个直角三角形的面积之差.利用数形结合是解答本题的关键.

4.D

【解析】

【分析】

答案第2页，共34页

根据绝对值和平方的非负性求出X和y的值，再根据有理数的乘方运算算出结果.

【详解】

解：(3y+l)->0,且卜-f+(3y+l)-=°,

r.x--=0,3y+l=O,即x=Ly=~-,

333

故选：D.

【点睛】

本题考查绝对值和平方的非负性，代数式的值，有理数的乘方运算，解题的关键是掌握绝

对值和平方的非负性.

5.A

【解析】

【分析】

如图2,由题意可设AB=CD=x,BD=y,则可以用x表示出邑，又由于大正方形的边

长为木，可得£+邑=("『，与岳=2£构成方程组，可求出色,从而得到x的值，然后

在MAABC中，利用勾股定理列出关于y的方程，然后解方程即可.

【详解】

解：如图2,设AB=CD=x,BD=y,

1J,

/.SiP-iAC'D2=—CD・AB2=­x~,

S2=4sAACD=2x~，

・・•大正方形的边长为"，51=2S2,

；・S]+S2=(#)=6,

/.2s2+S2=6,

解得：邑=2,

,2x2=2,

解得：菁=1,々=一1(舍去)，

答案第3页，共34页

在HAABC中，AB-+BC2=AC2,

：.l2+(y+l)2=(V6)2,

解得：%=芯-1,%=-石—i(舍去)，

小正方形的边长为石-1.

故选：A.

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，三角形的面积，正方形的面积，二元一

次方程组，一元二次方程等知识.设出参数，用参数表示出线段或者面积，利用勾股定理

列方程，是解决本题的关键.

6.D

【解析】

【分析】

设这四个数分别为W,X,Y,Z且WVX4Y4Z,分类讨论，进而得出符合题意的答案.

【详解】

解：设这四个数分别为W,X,Y,ZiLW<X<Y<Z,故W+X=5,Y+Z=8,

(1)当卬=1时，则X=4,

"：W<X<Y<Z

：.X=Y=Z=4,不合题意舍去，

(2)当卬=2时，则X=3,

当y=X=3时，。=5；

答案第4页，共34页

当r>x时，

,:W<X<Y<Z

y=z=4,

故综上所述，这四个数只能是2,3,3,5或2,3,4,4

A.四个正整数中最小的是2,故选项错误，不符合题意；

B.四个正整数中最大的是4或5,故选项错误，不符合题意；

C.四个正整数中有两个可能是3,不是2,故选项错误，不符合题意；

D.四个正整数中一定有3,故选项正确，符合题意.

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了应用类问题，利用分类讨论是解题的关键.

7.C

【解析】

【分析】

利用抽屉原理，把班级个数看作“抽屉”数，把孩子的个数看作“物体个数”：

【详解】

解：10+4=2（人）余2（人），

2+1=3（人），

故选：C；

【点睛】

本题考查了抽屉原理：把多于〃个的物体放到〃个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不

少于两件.

8.C

【解析】

【分析】

根据题意按顺序列举即可解题.

【详解】

解：这只小虫子的不同走法有：ABCDE、ABCDPE、ABCDPFE、ABPDE、ABPE、

ABPFE、APBCDE,APDE、APE,APFE,AGFPBCDE,AGFPDE、AGFPE、AGFE,共

14种，

答案第5页，共34页

故选：c.

【点睛】

本题考查排列与组合问题，是常见考点，掌握相关知识是解题关键.

9.与

3

【解析】

【分析】

如图，延长CO使C£>=r>G,是等边三角形，证明"OW四ABAN(SAS),有

ZADM=ZBAN,ZDAP+ZBAN=60°,ZGAD+ZDAP+ZGDA+ZADP=180°,

AD

A、P、D、G四点共圆，圆的半径为三,GB=2ABcos30°,当G、P、8三点共线即

cos30°

GP为圆的直径时，BP最短对BP=GB-GP,计算求解即可.

【详解】

解：如图，延长8使CD=DG,

:四边形ABC。是菱形，ZZM£>=60°

AZADG=60°,AD=GD

△AZ)G是等边三角形

在△/«加和△BAN中

AD=BA

•：\zDAM=ZABN=60°

AM=BN

：.AADMABANISAS)

：.ZADM=ZBAN

答案第6页，共34页

ZDAP+ZBAN=60°

：.ZG4D+ZDAP+ZGZM+ZAZ)P=180°

AD

・・・A、P、D、G四点共圆，圆的半径为~T=可

cos30。一亍

GB=2A5cos300=W

・••当G、P、区三点共线即GP为圆的直径时，肝最短，

:・BP=GB—GP=G〃—2X息=—

33

故答案为：叵.

3

【点睛】

本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，四点共

圆，余弦等知识.解题的关键在于证明四点共圆.

10.5

【解析】

【分析】

过点。作£>E_LA8于点E,利用角平分线的性质得CD=DE,再利用面积法求出CD的

长，从而解决问题.

【详解】

解：如图：过点。作。ELAB于点E,

在RdABC中，由勾股定理得，

BC=>/AB2-AC2=V102-62=8>

平分/BAC,ACA.DC,DEA.AB,

：.CD=DE,

:.S.=-ACCD+-ABDE=-ACBC,

AABRCr222

.*.6CD+10CD=48,

答案第7页，共34页

：.CD=3,

：.BD=BC-CD=S-3=5,

故答案为：5.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，三角形的面积等知识，运用面积法求出CO

的长是解题的关键.

11.1或21##21或1

【解析】

【分析】

设d+5x+30=〃2,利用求根公式得出4/-95也是完全平方数，再由95=1x95或

95=5x19,（2〃+Z）＞（2〃-％）,列方程求出”的值，再代入求根公式计算x的值即可；

【详解】

解：设f+5x+30=〃2,♦.•方程x?+5x+30--2=0有正整数解，

.♦•方程的根为：X=5+，4“2—95（负根舍去），

2

方程的根为整数，二4/-95也是完全平方数，

设47—95*则4"—r=95，（2〃+初2〃—%）=95,

：95=1x95或95=5x19,（2"+%）＞（2〃一女），

2n+k=95\2n+k=19

2n-k=\或j2〃-Z=5解得：〃=24或〃=6,

当〃=24时，代入a卫邈三死得：户21,

2

当〃=6时，代入=-5+4〃*得:户］,

2

故答案为：21或1；

【点睛】

本题考查了一元二次方程的求根公式，整数的运算规律，利用根是整数判断4/?-95也是完

全平方数是解题关键.

【解析】

答案第8页，共34页

【分析】

延长E4交x轴于点G,过点尸作"7_Lx轴于点H,证明丝△AOG（A4S）,得到

DE=AG,AE=OG.根据四边形ABCO是菱形，DE=4CE,得到8=即

4

4

可求出cosD=g；设。£=4a,则A3=OA=5a,根据勾股定理求出OG=AE=3a,求出

点E（3a,7a）,即可求出％=21/,证出四边形AGHF为矩形，得到〃尸=AG=4a,求出点

尸（丁〃，4。），根据S4OEF=$△*；+S梯形EG”尸一S^OFH,S^EOF=—,«>0,即可求出。的

值，则可以得出点尸的坐标.

【详解】

解：延长E4交x轴于点G,过点尸作F”_Lx轴于点”，如图所示

•・・AB〃x轴，AE1CD,AB//CD

：.AG_Lx轴

•/AOLAD

・・・Z.DAE+ZOAG=90°

■:AE1.CD

：.N/M£+ZD=90。

:.AD=ZOAG

在△D4E和ziAOG中

N£)E4=NAGO=90。

9：［ZD=ZOAG

AD=OA

：.4DAE94AOG(AAS)

:・DE=AG,AE=OG

丁四边形ABC。是菱形，DE=4CE

・・・AD=CD=-DE

4

答案第9页，共34页

cosD=—

5

设DE=4a,则AQ=Q4=5a

OG=AE=dAD?-DE，=3a

**•EG=AE+AG=7。

/.E(3aja)

•；反比例函数y=々x>0)的图象经过点E

X

***k=2\a2

VAGVGH,FHLGH,AF1AG,

，四边形AGH/为矩形

・•・HF=AG=4a

•••点F在反比例函数y=&(x>0)的图象上

X

.21a221

••x=---=—a

：.OH=—aFH=4a

4f

9

：.GH=OH-OG=-a

4

=

**S&OEFS4OEG+§梯形EG“/一^OFH，AEOF="T

o

・・・-xOGxEG+-(EG+FHyGH--OHxHF=—

2228

1〜21/r4\91〜211

—x21矿+—X(7Q+4Q)X—〃——x21a~=—

22'7428

解得：/=!

*/a>0

【点睛】

本题考查了反比例函数与四边形的综合，全等三角形的判定和性质，求角的三角函数值,

答案第10页，共34页

勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，矩形的判定和性质等知识点，

根据点的坐标表示出相应线段的长度和利用线段长度表示出相应点的坐标是解答本题的关

键.

13.-

7

【解析】

【分析】

由NCBZ>NC4>90。得到A、B、C、。四点共圆，C。为直径，取C3的中点。，连接4。

并延长交。。于点E,连接BE,设AB=x,则AE=5五x，勾股定理求出8E,利用

ZAEB=ZACB,求的正切函数值即可.

【详解】

解：二•四边形A8C。中，ZCBD=ZCAD=90°,

；.A、B、C、。四点共圆，

；.CD为直径,

取CO的中点0,连接A0并延长交。。于点E,连接8E,

：.AE=CD,

CD=5让AB,

.•.设AB=x,贝!JAE=5&X，

BE=>JAE2-AB1=lx，

NAEB=NACB,

A5x1

/.tanZACB=tanNAEB==—=一,

BElx7

【点睛】

答案第11页，共34页

此题考查了四点共圆，圆周角定理，勾股定理，三角函数计算，正切理解四点共圆是解题

的关键.

14.72+1

【解析】

【分析】

等腰直角三角形纸片沿图中虚线剪成三块图形，能拼成一个没有缝隙且不重叠的平形四边

1）

形，则等腰直角三角形的面积和平行四边形的面积相等，可得彳（4+3=4（4+人+打，求

出。和6之间的关系即可得出结论.

【详解】

解：如图，等腰直角三角形纸片沿图中虚线剪成三块图形，能拼成一个没有缝隙且不重叠

的平行四边形，

二等腰直角三角形的面积等于平行四边形的面积，

由图（1）可知：等腰直角三角形的直角边的长为（4+3，由图（2）可知：平行四边形的

底边长为（4+%+b）,高为a,

Ab2-2ab-a2=0,

解得：2=3+1或2=-&+1（舍去）,

aa

••.2的值是夜+1.

a

故答案为：＞/2+1

【点睛】

答案第12页，共34页

本题考查了图形的剪拼、一元二次方程的解法、等腰直角三角形和平形四边形的面积公

式.解决本题的关键是利用转化思想，剪拼前后两个图形的面积相等.

15.2022

【解析】

【分析】

根据绝对值和平方的非负性，即可求出。和〃的值，再代入计算即可.

【详解】

根据题意可知a—1=0，b+2021=0,

解得：a=\,b=—2021.

.♦.4-6=1-(-2021)=2022.

故答案为：2022.

【点睛】

本题考查非负数的性质，代数式求值.掌握绝对值和平方的非负性是解题关键.

16.Xl=\,X2---

3

【解析】

【分析】

移项整理得(13x)4=16,然后两边同时开四次方得六1=±2,由此即可解决问题.

【详解】

解：:2(17x)4-32=0,

(l-3x)4=16,

Al-3x=±2,

..1

故答案为x/=l,X2=-1.

【点睛】

本题考查高次方程的解法，解题的关键是降次，这里通过开四次方把四次降为了一次.

17.(1)1

(2)AE+CF=y/3EM,理由见解析

(3)8

答案第13页，共34页

【解析】

【分析】

(1)如图1,延长BC到“，使得CH=AE,利用全等三角形的性质证明EQ4E+CF,设

CF=x,利用勾股定理求出x即可解决问题；

(2)延长54到G,使得AG=CF,由AD4G=ADCF(SAS)推出ZGDA=FDC,继而得到

Z.GDF=ZGDA+ZADF=ZFDC+ZADF=90°,由G、E、M、。四点共圆，推出

ZEGM=ZEDM=30°,从而推出EG=6EM；

(3)如图3,过点E作EKLCD于K,交DF于J,作FH_LEK于H,由

S.DEF=SgD+Si£JF=；EJDK+gEJFH=；EJ(DK+FH)=2EJ,推出当点F与点C重

合时，E/=EK=4的值最大，此时ADEF的面积最大.

(1)

解：如图1,延长8c到，，使得C”=AE,

/.AD=DC,ZA=ZDCB=ZDCH=90°

AE=CH

:.ADAE*DCH(SAS)

DE=DH,ZADE=NCDH

:.ZEDH=ZADC=90°

•.NEDF=45。

/./FDH=/FDE=45。

•;DF=DF

.•.△FDE二AFDH(SAS)

:.EF=FH

\-FH=CF+CH=CF+AE

答案第14页，共34页

:.EF=AE+CF

设C户中，在Rt△应五

设的=AE=a

BF=2a—x,EF=x+a

・•.BE?+BF?=EF?

a2+(2a-x)~=(a+x)~

2a

x——

2a

CF_§J

"BF2”也2

3

故答案为：j

(2)

延长延长BA到G,使得AG=CF,

图2

同法可证ADAGSADCF(SAS)

.・.4GDA=FDC

二.Z.GDF=ZGDA+ZADF=ZFDC+ZADF=90°

-EM//BC

:.ZAEM=ZB=90°

...ZAEM+ZMDC=180°

答案第15页，共34页

:.G,E、M、。四点共圆

/.ZEGM=ZEDM=30°

EG=MEM

AE+CF=AE+EG=EG=币＞EM

(3)

如图3,过点E作EKJ.CO于K,交。F于J,作FHLEK于H,

图3

•/ZFHK=ZHKC=ZC=90°

，四边形CF〃K是矩形，

FH=CK

:.DK+CK=DK+FH=A

.；S.DEF=S.M+S回=；EJ-DK+；EJ-FH=gEJ(DK+FH)=2EJ

当点F与点C重合时，E/=EK=4的值最大，此时△£>£?的面积最大，最大值为8,

故答案为：8.

【点睛】

本题考查四边形综合题，涉及正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆等知

识，正确作出辅助线是解题关键.

18.a+c；

(2)8

⑶①4&+2,②4>/^+2

m

【解析】

【分析】

(1)根据当点A在线段8C上时，4c有最小值，点A在C8的延长线上时，4C有最大值

可得答案；

答案第16页，共34页

(2)由题意得出点9的运动轨迹是以点E为圆心，5为半径的圆弧，当点E、8、。共线

时，斤£)取最小值，求出即可得答案；

(3)①如图3,以BC为直角边作等腰直角ABCM,证明AABC丝AOBM,可得当£>M取

最大值时，AC最大，而。、C、M共线时，OM最大，求出。M的最大值即可；

②如图4,作BMLBC,且8N=4〃i,证明△ABCs/vDBN,可得当0V取最大值时，AC最

大，即当£>、C、N共线时，OV最大，求出ON的最大值然后计算4c即可.

(1)

解：•点A为平面内一动点，BC—a,AB=c(a>c),

二当点A在线段8c上时，AC有最小值a—c,

当点A在CB的延长线上时，AC有最大值a+c,

故答案为：a-c,“+c；

(2)

为A8边的中点，将△EF2沿EF所在直线折叠得到AEFF,

：.EB=EB'=^AB=5,点8'的运动轨迹是以点E为圆心，5为半径的圆弧，

:•当点E、B\。共线时，8'。取最小值，

:ED=^AE^+ADr=^52+122=13，

/•BD物产ED-EB'=13—5=8,

故答案为：8；

(3)

①如图3,以BC为直角边作等腰直角ABCM,则8c=BM,

VZABD—ZCBM=90°,1,

AB

:.NABC=NDBM,AB=BD,

：.△ABC丝/XDBM(SAS),

：.AC=DM,

当。M取最大值时，AC最大，

即当。、aM共线时，0M最大，如图，。例为最大值，

CM=jBC2+BM?3+42=40,CD'=CD=2,

‘D'M=442+2,

答案第17页，共34页

...当〃?=1时，线段4c的最大值为40+2:

A

M图3

BN

②如图4,作8NJ_8C,且8N=4〃i,即——=m,

BC

VZABD=ZCBN=90°,—=m

AB9

BDBN

：./ABC=NDBN,

：.dABCs^DBN,

.DN_BD

----=m

*ACAB

AC之

m

・•・当。N取最大值时，AC最大,

即当。、aN共线时，DN最大,如图，ON为最大值,

VBC=4,BN=4m,

,CNNBC?+BN?=J42+(4"?『=4】而+1,CD'=CD=2,

,•D'N=4Jm*+1+2,

•同厂D'N+1+2

••△。或大=----

mtn

答案第18页，共34页

DD'

A

N

【点睛】

本题考查圆的综合应用，翻折变换、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的

判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形、相似三角形来解决问题，

综合性较强.

19.(1)见解析；

(2)21

【解析】

【分析】

(1)连接AF,根据等腰三角形的性质得到/8=/4CB=45。，BH=CH,结合旋转的的性质

得到乙4EC+乙4尸。=180。，NZ〃C+NAFC=180。，从而证得A、E、D、F四点共圆，A、

H、C、尸四点共圆，求出/AFE=NAOE=45。，ZAFH=ZACH=45°,得到ZE尸”=

ZAFE+ZAFH=90°,证得再证明丝△4AF,得至ljHF=FE；

(2)取线段AC的中点O,连接OF、OH,根据三角形中位线的定义得到OF=gAZ)=g

AB=2,OF//AD,OH//AB,从而得到在△AB4绕点A逆时针旋转过程中，点F从点”开

始，在以点。为圆心，2为半径的圆上移动，当a=180。时，B、A、。三点共线，确定H、

0、尸三点共线，根据公式求出点尸经过的路径长.

(1)

证明：连接AF,

答案第19页，共34页

E

VAB=AC,ZBAC=90°,AHLBC,

：.ZB=ZACB=45°fBH=CH,

由旋转性质知，AD=AB=AC,AE=AHfZAED=ZAHB=90°fZADE=ZB=45°fZEAD

=ZBAH=45°,

•；CF=DF,AC=ADf

AAF1CD,ZDAF=ZCAFf

：.ZAFD=ZAFC=90°,

NAED=/AHC=90。,

・・・NAED+ZAFD=180°,ZJ7/C+ZAFC=180°,

.・・A、E、D、尸四点共圆，A、H、C、/四点共圆，

・・・ZAFE=ZADE=45°,ZAFH=ZACH=45°f

：.ZEFH=ZAFE+ZAFH=90°,

：.FHLFE,

VZ£AD=Z/7AC=45°,NDAF=NCAF,

...ZEAD+ZDAF=ZHAC+ZCAFf

：.ZEAF=ZHAFf

：./\EAF^/\HAFt

:・HF=FE；

(2)

取线段AC的中点。，连接。尸、OH,

D

答案第20页，共34页

点F为C。中点，点H为BC中点，点。为AC中点，

.♦.0尸为△AC。的中位线，。，为AABC的中位线，

；.OF=^AD=^AB=2,OF//AD,OH//AB,

在△ABH绕点A逆时针旋转过程中，点尸从点”开始，在以点。为圆心，2为半径的圆上

移动，

当。=180。时，B、A、。三点共线,

'：OF//AD,OH//AB,

:.H、。、尸三点共线,

.••点户经过的路径长为半圆。的弧长：2X4=2万.

【点睛】

此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形中位

线的性质，动点问题，熟记各知识点并综合应用是解题的关键.

20.(1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

(I)应用作矩形的对角线的方法；

(2)因为VACDMVAPH,求出P4的值，然后求出PQ的值，根据相似三角形的性质

¥也=(券］,求出的面积，计算右部分面积之和.

(1)

解：答案不唯一，合理即可，以下画法仅供参考.

答案第21页，共34页

(2)

Q/CDA=4PHA、AD=AH,ZCAD=/PAH,

•••NACD^/APH,

••S、ACD~SYAPH»PH=CD=-，

2

/.PQ=HQ-PH==

-22

QZAPH=NNPQ,AAHP=4NQP,

/.NAPH〜VNP。,

113

・・・在直线CN右侧部分的面积=6个小正方形的面积+4NPQ的面积=6+-=y,

・・・直线CN等分洛林十字架.

答案第22页，共34页

【点睛】

本题考查图形面积的等积变化，涉及知识点：全等三角形的判定及性质、相似三角形的判

定及性质(相似三角形面积的比等于相似比的平方)，解题关键应用相似三角形面积的比等

于相似比的平方.

21.(1)见解析

(2)见解析

(3)tanZE4D=

【解析】

【分析】

(1)先根据旋转得出~4打汪得出=AF=AE,得出

ZFAE=90°,根据等腰三角形的性质，得出根据直角三角形的性质得出，

AH=HE=FH=；EF,即可得出结论；

(2)证明A、B、E、”四点公圆，得出NHBE=NHAE,根据AH=EH,得出

ZHAE=ZHEA,根据得出NHE4=/AFE,即可得出结论；

(3)先证明根据相似三角形的性质得出=竺包，利用

4

等腰直角三角形的性质，求出HE=拽，设BE=x,则AB=3C=3+x,根据勾股定理，列出

2

关于x的方程，解出x的值，根据正切的定义，即可求出结果.

(1)

证明：:△AOF是由△ABE绕点A顺时针旋转90。得到的，

/•AAFD^AAEB,

.-.ZFAD=ZEAB,AF=AE,

•••四边形ABC。为正方形，

?.ZDAB=90°,

：.ZFAD+ZDAE=ZBAE+ZDAE=90°,

即ZME=90°,

二△以E为直角三角形，

'：AH±EF,AE=AF,

答案第23页，共34页

:・EH=FH,

：.AH=HE=FH=-EF,

2

.•.△加花为等腰直角三角形

(2)

♦••四边形A8CQ为正方形,

:.ZABC=90°,

・.・NA//E=90。,

/.ZAHE+ZABC=180°,

・・・A、B、E、“四点共圆，

：.ZHBE=ZHAE,

♦：AH=EH,

JZHAE=ZHEAf

:.NHBE=NHEA,

-AE=AFf

：.

ZHEA=ZAFEf

：.ZAFE=ZHBE.

(3)

TA、B、E、”四点共圆,

:.NBAE=NBHE,

*：

ZFAD=ZBAEf

・・・NFAD=/BHE,

•・•ZAFE=ZHBE,

・••△AFGSAHBE,

答案第24页，共34页

.AGAF

••—.

HEBH

：・AFHE=AGBH=^^,

4

VAF=AE,

.45

..A4Er-HuEr=------,

4

•・•△A//E为等腰直角三角形，

；・AE=6HE,

:.五HE•HE=

4

解得：HE=-^HE=-—（舍去）,

22

AE=>/2HE=42x^-=^^-f

2