(全国通用版)高中数学-第一章-导数及其应用-习题课-导数的应用学案-新人教A版

习题课导数的应用

【学习目标】1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握

函数的单调性、极值与最值的综合应用.

问题导学预习新知夯实基础

1.函数的单调性与其导数的关系

定义在区间(a,6)内的函数尸f(x)

f(X)的正负F(x)的单调性

f(x)>0单调递增

fU)<o单调递减

2.求函数尸/1(X)的极值的方法

解方程£(x)=0,当/>'(照)=0时，

(1)如果在施附近的左侧1(x)>0,右侧/•'(x)<0,那么/•(就是极大值.

(2)如果在加附近的左侧f(x)<0,右侧f(x)>0,那么外刘)是极小值.

3.函数y=f(x)在［a,目上最大值与最小值的求法

(1)求函数尸f(x)在(a,6)内的极值.

(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),皿比较,其中最大的一个是最大值,

最小的一个是最小值.

题型探究启迪思维探究重点

类型一构造法的应用

命题角度1比较函数值的大小

例1已知定义在(0，5)上的函数f(x),/

"(x)是它的导函数，旦sinx•f(x)>cosx•f(x)

恒成立，则()

A.*(£)>/"(办住)

仔)D.#O仔)

考点利用导数研究函数的单调性

题点构造法的应用

答案D

解析由f(x)sinx>F(x)cosx,

得F(%)sinx—f{x}cosx>0,

fx

构造函数g(x)=二一，

xsinx-fxcosx

则，(x)=-~-2

sinx

当5)寸，g'

(%)>0,

即函数g(x)在(0,5上单调递增,

,后均"仔),

故选D.

反思与感悟用构造法比较函数值的大小关键是构造出恰当的函数，利用函数的单调性确定

函数值的大小.

跟踪训练1已知定义域为R的奇函数〃x)的导函数为/(x),当B0时，F'(x)d

<0,若a=；f(3),b——y[2f{-y[2),c=(ln习f(ing),则a,b,c的大小关系

是()

A.丛c<bB.伙*a

C.水伙cD.&a<b

考点利用导数研究函数的单调性

题点构造法的应用

答案B

解析令g(x)=xf{x),

则g(—x)=—xf(—x)=xf(x),

g(x)是偶函数.g'(x)—f(x)-\-xf(x),

fV

,:F3+------<0,

x

当x>0时,xf(x)+f[x)<0,

当x<0时，xf(x)+f(x)>0.

，g(x)在(0,+8)上是减函数.

v1<ln2cle隹，

精品

（回以In2）<,

2/

♦••g(x)是偶函数,

例2已知定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数为F(x),满足f(x)〉f'(x),且/X0)

=2,则不等式/"(x)〈2e,的解集为()

A.(—8,o)B.(—8,2)

C.(0,+8)D.(2,+8)

考点利用导数研究函数的单调性

题点构造法的应用

答案C

解析设g(x)=­匚，则g'(⑼:2一:~；———.

ee

,.,/(%)>/(x),.•./(£)<0,即函数g(x)在R上单调递减.

；f(0)=2,...g(0)=f(0)=2,

则不等式等价于g(x)<g(0).

•••函数g(x)单调递减，

，x>0,...不等式的解集为(0,+8),故选C.

反思与感悟构造恰当函数并判断其单调性，利用单调性得到x的取值范围.

跟踪训练2已知定义在R上的函数Hx)满足/0)=1,且对任意的xCR都有/(x)g,

则不等式/Ugx)>lg的解集为.

考点利用导数研究函数的单调性

题点构造法的应用

答案(0,10)

解析-：f'(x)<1,：,f'(x)-1<0,

x+2

・・・f(x)—在R上为减函数.

x+2

设P(x)=f(x)—则尺x)在R上为减函数.

精品

VA1)=1,

精品

.\A(1)=A1)-1=1-1=O.

,/、1gx+2,曰,、1gx+2

由Algx)>-------，昼F(lgx)--------->0,

oo

AMlgx)>HD.

；b(x)在R上单调递减，，lg水1,.\0<X10,

原不等式的解集为(0,10).

类型二利用导数研究函数的单调性

例3已知函数f(x)—ax---21nx(aeR).

x

(1)若函数/Xx)在区间[1,+8)上是单调函数，求实数a的取值范围；

(2)讨论函数f(x)的单调区间.

考点利用导数求函数的单调区间

题点利用导数求含参数函数的单调区间

e,、，，、,a2ax—2%+a,、、

解(1)F(x)=a+—一—-----2----(x>0).

xxx

①当aWO时，f(x)<0,函数f(x)单调递减；

②当a>0时，令g(x)=ax?—2x+a,

•.•函数f(x)在区间[1,+8)上是单调函数，

；.g(x)在区间[1,+8)上恒成立，

2x

aN索百"在区间[1，+8)上恒成立。

2x

令u(x)=、+],+°°).

・.』___2_2

•U\x)-]WI-----1,

吗2y.

当且仅当x=l时取等号.

.•.当a》l时，函数/'(x)单调递增.

实数a的取值范围是(-8,O]U[1,+8).

(2)由(1)可知：①当aWO时，fGX0,函数/Xx)在(0,+8)上单调递减;

②当a》l时;此时函数/Xx)在(0,+8)上单调递增.

③当0<a<l时，由a_?—2x+a=0,

附/n1一个1-a2_1+：1-a，

解得x=---5t-----或x=---y-----.

aa

精品

...函数/Xx）在（0,上正士亚三，+8）上单调递增，在（匕亚三，以正直

\aJ\a）\aa

上单调递减.

精品

反思与感悟利用导数研究函数单调性应注意以下几点

(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间.

(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价.

(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集.

(4)求参数的范围时常用到分离参数法.

跟踪训练3设函数f(x)=lnx+x'-2ax+a~,aCR.

⑴当a=2时，求函数/1(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在［1,3］上不存在单调递增区间，求实数a的取值范围.

考点利用导数研究函数的单调性

题点存在递增(或递减)区间

解(1)当a=2时，/'(x)=lnx+f-4x+4(x>0),

令F(x)>0,解得^或水2J,

令f(xXO,解得上涉〈水用啦,

故f(x)在0,上单调递增，在上单调递减，在+8上单

调递增.

.12x—2ax+l_

(2)f(x)=-+2x-2a=-----:----,[1,3],

XX

设g(x)=2/—2ax+1,

假设函数F(x)在［1,3］上不存在单调递增区间,

必有g(x)WO,

卜1=3-2aW。，19

解得

,[g3=19—6aW0,

-19、

即实数a的取值范围为至，+°°J.

类型三函数的极值、最值与导数

1nx

例4已知函数/Ulkln&x),xG(0,e],g(x)「p10,e],其中e是自然对

数的底数，aSR.

(1)当a=l时，求函数f(x)的单调区间和极值;

(2)求证:在⑴的条件下，f(x)>g(x)+3；

精品

(3)是否存在实数a,使/Xx)的最小值是3,若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

考点导数在最值中的应用

题点已知最值求参数

19^—1

⑴解当a=l时，F(x)=2x—ln(2x),ff(x)=2—=----，(0,e],

xx

当时，f'(x)<0,此时F(x)单调递减；

当於<e时，fa)>0,此时/U)单调递增.

所以/Xx)的极小值为f(习=1,

故/1(*)的单调递减区间为(0,3,单调递增区间为0,e,f(x)的极小值为fg)=l,无

极大值.

(2)证明令h{x}=g(x)+/="'胃+去

h'(x)=^~^T-~,xC(0,e],

X

当0〈水e时,h'(x)>0,此时力(x)单调递增，

所以力(才)皿=)—)

ez

由(1)知/'(X)min=l,所以在(1)的条件下，/'(X)>g(X)+；.

⑶解假设存在实数必使F(x)=2ax—ln(2x),(0,e]有最小值3,

...12ax—1/_

f(x)=2a---------,(0,e],

xx

①当aWO时，因为x£(0,e],

所以/UXO,F(x)在(0,e]上单调递减，

所以F(x)min=F(e)=2ae—ln(2e)=3,

解得a=」+：匕2(舍去),

Ze

②当0<；<e,即力;时，f(x)在(0,J]上单调递减，在住，e上单调递增，

2.aZe\乙a)\La_

所以F(x)min=f—ln：=3,

解得日=。2,满足条件，

③当;2e,即时，f'(x)<0,F(x)在(0,e]上单调递减，

精品

所以F(x)min=f(e)=2ae—In(2e)=3,

…4+ln2/人，、

解得a--(舍去).

Ze

综上，存在实数a=3,使得当牙£(0,。］时，F(x)的最小值为3.

反思与感悟(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义.

(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即/5)的正负.

(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者.

跟踪训练4设函数f(x)=clnx+gv+&xg,cGR,c#0),且x=1为/'(*)的极值点.

(1)若不=1为7Xx)的极大值点，求/•(»的单调区间(用。表示)；

(2)若函数f(x)恰有两个零点，求实数c的取值范围.

考点函数极值的综合应用

题点函数零点与方程的根

.c,,/+bx+c

解f(x)=—+x+6=---------,

XX

•."=1为f(x)的极值点，(1)=0,

Y---1V-「

：.f(x)=---------:~~—且crl,6+c+l=0.

X

(1)若X=1为/'(X)的极大值点，，C>1,

当0<京1时，fa)>0；

当l〈Kc时，f(x)<0；

当x>c时，f(x)>0.

的单调递增区间为(0,1),(c,+8)；单调递减区间为(1,C).

(2)①若水0,则/'(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

函数/■(力恰有两个零点,则f⑴<0,吟+伙0,

—~<c<0；

②若0<c<l,则f{x)极大值=F(。)=clnc+-c,2+be,

f(x)极小值=f(l)=2+bt

Vb=-1-c,

贝I」F(x)极大值=clnc+^c+c(—1—c)=clnc—c—1c<0,

f(x)极小值=-g—c,从而得f(x)只有一个零点;

精品

③若c>l,则/"(x)极小例=f(c)=clnc+~c+c(—l—c)=clnc~c—<0,

1

--a

f(x)极大值=f(l)2从而得f(x)只有一个零点.

综上，使/Xx)恰有两个零点的c的取值范围为(一/0)

达标检测检测评价达标过关

1.已知函数Ax)=f+Z^+cx的图象如图所示，则言+花等于()

47

A~B~

0O

816

C-D.-

OO

考点函数极值的综合应用

题点函数极值在函数图象上的应用

答案c

解析由题意可知f(0)=0,解1)=0,解2)=0,

可得1+8+。=0,8+46+2c=0,解得b=—3,c=2,

所以函数的解析式为f(x)=/-3/+2x

f(x)=3x?—6x+2,

2

由方程3f—6x+2=0,可得小+及=2,小上2=勺，

2g

所以4+第=(XI+*2)2—2小加=4—2义鼻=鼻.

OM

2.已知/Xx)是定义在(0,+8)上的非负可导函数，且满足X，(x)+f(x)W0,对任意的正

数a,b,若水6,则必有()

A.bf(h)Waf。)B.6F(a)Waf(b)

C.af(a)W6f(6)D.af(6)^bf(a)

考点利用导数研究函数的单调性

题点构造法的应用

答案A

解析设g(x)=xf(x),xG(0,+8),

精品

则gr(x)=xf'(x)+f(x)W0,

・・・g(x)在区间(0,+8)上单调递减或g(x)为常函数.

•:虱b,；・g®2g(6),即af(a)2”(6)，故选A.

3.已知函数/-(^)=p-2/+3^xCR,若/'(力+❷》。恒成立，则/"的取值范围是

考点利用导数求函数中参数的取值范围

题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围

答案+°°j

1

解析f(%)=2x—6xf令/(x)=0,得x=0或x=3,

验证可知x=3是函数的最小值点，

27

故f'(x)min=f(3)=3//7——,

由/(%)+920恒成立，得由⑼2—9恒成立，

273

即3加一万2—9,・••加2/.

4.已知函数f［x)=x(3—ax+3).

(1)若是7•(1)的极值点，求/Xx)在区间［—1,4］上的最大值与最小值；

(2)若/Xx)在［1,+8)上是增函数，求实数a的取值范围.

考点利用导数求函数的单调区间

题点已知函数的单调性求参数(或其范围)

解(1)由f(x)=x-ax+ixi

得f(x)=3/-2HX+3,

由已知得/"(§)=0,解得a=5,

f{x)=x~5x+3%,f(x)=39—10x+3,

由/(x)=0,解得或x=3,

当x变化时，f(x),Ax)的变化情况如下表：

1_

X-133(3,4)4

(f€3&)

f(x)+0—0+

13

f(x)-9/-9/-4

27

精品

13

函数f(x)在［—1,4］上的最小值为一9,最大值是多

(2)f(x)=3/-2ax+3,

由/"(x)在［1,+8)上单调递增，得3*2-2ax+320,

即a球七)

要使上式成立，只要a<小即可，

设g(x)=x+/x2l),

由于g(x)在［1,+8)上单调递增，

♦•g(x)ms=2,..aW3,

即实数a的取值范围是(-8,31.

L规律与方法-------------------------------.

导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值

等问题，都可以通过导数得以解决.不但如此，利用研究导数得到函数的性质后，还可以进一步

研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.

课时对点练注重双基强化落实

一、选择题

1.函数/Xx)=xcosX-sinx在下面哪个区间内是增函数()

(n3吟

A.ly,—JB.("’2n)

考点函数的单调性与导数的关系

题点利用导数值的正负号判定函数的单调性

答案B

解析f(x)=cos%—^sin%—cosx=-%sinx,若/'(x)在某区间内是增函数，只需在此

区间内产(力大于或等于0(不恒为0)即可.

.•.只有选项B符合题意，当xC(n,2”)时，f(x)>0恒成立.

2.对任意的xCR,函数/■(x)=£+af+7ax不存在极值点的充要条件是()

A.0WaW21B.a=0或a=7

C.a<0或a>21D.a=0或a=21

精品

考点利用导数研究函数的极值

精品

题点极值存在性问题

答案A

解析f(x)=3系+2ax+7a,

当A=4a2—84aW0,

即0WaW21时，/(x)20恒成立，函数/"(x)不存在极值点.

3.若函数/U)=(x2+ax—De-的一个极值点为x=l,则/U)的极大值为()

A.-1B.-2e-3

C.5e~3D.1

考点利用导数研究函数的极值

题点已知极值求参数

答案C

解析由题意知f(1)=0,解得a=—l,

f(x)=(V+x—2)e*-',

则函数的极值点为汨=-2,抱=1,

当水一2或x>l时，f(x)〉0,函数是增函数，

当“右(一2,1)时，函数是减函数，

f(x)极大值=—2)—5e3.

4.已知定义在R上的函数/"(x)的图象如图，则(x)>0的解集为()

A.(-8,o)U(1,2)

B.(1,2)

C.(一8,1)

I).(一8,1)U(2,+°0)

考点函数的单调性与导数的关系

题点根据单调性确定导数值的正负号

答案A

解析不等式(x)>0等价于当x>0时，fU)>0,即当x>0H寸，函数单调递增，此时

Kx<2；或者当*<0时，f(x)<0,即当x<0时，函数单调递减，此时x<0,综上，l〈x<2或

K0,即不等式的解集为(-8,0)U(l,2).

5.若F(x)=-gx2+6in(x+2)在(-1,+8)上是减函数，则6的取值范围是()

A.[―1,+8)B.(―1,+8)

精品

C.(-8,-1]D.(—8,—1)

精品

考点利用导数求函数的单调区间

题点已知函数的单调性求参数(或其范围)

答案c

解析由题意知/(x)=一才+"^5乏0,*e(-1,+8),

,、—x—2x+b

即f3=—7+2-

即一X?—2x+6=—(x+1)-'+1+8W0,

；.l+Z<0,b^-1.

6.已知函数/'(x)=V—21nx,若关于x的不等式f(x)—加20在［1,e］上有实数解，则实

数勿的取值范围是()

22

A.(-8,e-2)B.(—8,e-2］

C.(一8,1)D.(-8,1］

考点利用导数求函数中参数的取值范围

题点利用导数求函数中参数的取值范围

答案B

解析由f(x)—勿20得f(x)

函数F(x)的定义域为(0,+8),

当xG［l,e］时，f(x)20,

此时，函数/<x)单调递增，

所以F(l)Wf(x)<f(e).

即lWF(x)WeZ—2,

要使/*(x)-〃N0在［1,e］上有实数解，

则有n忘e"—2.

7.定义在R上的函数F(x)满足F(x)>l—f(x),A0)=6,其中f(x)是f(x)的导函数,

则不等式e"(x)>e*+5(其中e为自然对数的底数)的解集为()

A.(0,+8)B.(—8,o)U(3,+°0)

C.(一8,o)U(1,+8)D.(3,+°°)

考点利用导数研究函数的单调性

题点构造法的应用

答案A

解析不等式eY(%)>e'+5可化为e*f(x)—e'—5>0.

设g(x)—exf\x)—e*—5,

精品

则g'(x)=e*f(x)+e*f(x)—e"=e'[f(x)+£(x)—1]>0,

所以函数g(x)在定义域R上单调递增.

又g(0)=0,所以g(x)>0的解集为(0,+8).

二、填空题

8.函数f(x)=f-3ax+6(a〉0)的极大值为6,极小值为2,则F(x)的单调递增区间为

考点利用导数研究函数的极值

题点已知极值求参数

答案(一8,—1)和(1,+°0)

解析令•f(x)=3f—3a=0,得/=土丘.

由题意得f(F)=2,f[—y[a)=6,得a=l,b=4.

由F(x)=3/-3>0,得/Xx)的单调递增区间为(—8,—1)和(1,+8).

9.已知函数f(x)满足f(x)=/'(n—x),且当——，5)时，f(x)=x+sinx,设a=f⑴,

b—/'(2),c—f&),则a,b,c的大小关系是.

考点利用导数研究函数的单调性

题点比较函数值的大小

答案c<a<b

解析f(2)=f(n—2),f(3)=H"—3),

因为/(x)=l+cos*20,

故/V)在卜号，上是增函数，

因为户>冗—2>1>n—3>0,

所以f(Ji-2)>f(l)>f(n-3).

即c<a<b.

10.若函数f(x)=*Y在区间(见2"+D上单调递增，则实数"的取值范围是.

考点利用导数求函数的单调区间

题点己知函数的单调性求参数(或其范围)

答案(一1,0]

4—4x

解析f(x)=—再7]~2,令f(x)>0,得一

即函数F(x)的增区间为(一1,1).

又F(x)在物2勿+1)上单调递增,

精品

—1,

所以《欣2%+1,

解得一l</?7^0.

[2R+1W1,

精品

11.已知函数f(x)=ax—Inx,若/1(x)>l在区间(1,+8)内恒成立，则实数a的取值范围

为.

考点利用导数求函数中参数的取值范围

题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围

答案［1,+8)

解析由/U)〉l,得ax—lnx>l,

•••x>l,•••原不等式转化为a〉l+g;

当xd(l,+8)时,g'(xXO,

则gG)在(1,+8)上单调递减,

则g(x)<g⑴=1,

•••aJ+ln”在(1,+8)上恒成立，.•.a21.

X

三、解答题

12.已知函数f(x)=—f+3f+9x+a.

(1)求f(x)的单调递减区间；

(2)若f(x)在区间［—2,2］上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.

考点导数在最值问题中的应用

题点求函数的最值

解(1)：/(x)=—39+6*+9,

令F(x)〈0,解得K-1或x〉3,

函数/'(x)的单调递减区间为(-8,-1),(3,+8).

(2)(—2)=8+12-18+a=2+a,

/'(2)=—8+12+18+a=22+a,F(2)>/■(—2).

于是有22+a=20,；.a=—2,

/.f(x)——x+3x?+9x—2.

当(-1,3)时，f(x)>0,1(力在［-1,2］上单调递增.

又由于/Xx)在［—2,—1)上单调递减，

.♦.『(2)和/X—l)分别是f(x)在区间［-2,2］上的最大值和最小值，

/./,(-1)=1+3-9-2=-7,即f(x)的最小值为-7.

13.己知函数f(x)alnx(adR).

(1)若/'(x)在x=2时取得极值，求a的值;

精品

(2)求/Xx)的单调区间;

精品

i9

(3)求证：当x>l时，~x+lnKg，

考点利用导数研究函数的单调性

题点利用导数证明不等式

(1)解f(%)=%--,因为x=2是一个极值点,

X

所以2—怖=0,则a=4.

.,4x+2x—2

此时/(zxx)=x—；

因为f(x)的定义域是(0,+8),

所以当xW(0,2)时，f(x)〈0；

当“C(2,+8),f(*)>0,

所以当a—4时，x—2是一个极小值点，故a=4.

(2)解因为/W

XX

所以当aWO时，F(x)的单调递增区间为(0,+8).

当a〉。时，/(x)=x—g=三=上十一匚电一，

XXX

所以函数/Xx)的单调递增区间为(F，+8)；单调递减区间为(0,、「).

21

⑶证明设g(x)=可入3—^V—lnx,

O/

则g'(X)=2/—Jr—p

E、r、r,.，/、x-12x+x+1

因为当X>1时，g(x)=--------------------->0,

x

所以g(x)在x£(l,+8)上是增函数，

所以g(x)>g⑴=|>0,

12

所以当彳>1时，~x+lnx<-zx.

/O

四、探究与拓展

xf'x—fY

14.已知函数/1(X)是定义在R上的奇函数，AD=O,当x>0时，有------------