2023年山东省菏泽市中考数学真题卷（含答案与解析）

2023年荷泽市初中学业水平考试

数学

本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.）

1.剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

AB.

2.下列运算正确的是（）

A.ab4-a3=a2B.a2-a3-C.（2*=2/D.(〃+/?『=/+〃

3.一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图方式放置，若Nl=20。,则N2=()

一

A.30°B.40°C.50°D.60°

4.实数mb,c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（)

__________1_______1_________1_______1_____＞

a0bc

A.c（h-a）＜0B,Z?（c-6F）＜0C,a（b-c）＞0D.Q(C+/?)>()

5.如图所示的儿何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是（)

C-RJD.

11

6.一元二次方程Y+3x-l=0的两根为王，*2，则一+一的值为（）

X[x2

33

A.B.-3C.3D.

22

7.ABC三边长n,b,。满足（a—»?+J2/—/?—3+|c—3忘|=0,则..ABC是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形

8.若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：4（1,3）,3（-2,-6）,。（0,0）等都是三

倍点”，在—3<x<l的范围内，若二次函数丁=一/一》+。的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取

值范围是（）

A--<c<lB.-4<c<-3C.--<c<5D.-4<c<5

44

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的

相应区域内.）

9.因式分解：m2—4m-.

10.计算：-2|+2sin600-2023°=

11.用数字0,1,2,3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为.

12.如图，正八边形ABCDEFGH边长为4,以顶点4为圆心，A3的长为半径画圆，则阴影部分的面

积为（结果保留万）.

13.如图，点E是正方形A8CD内的一点，将.A8E绕点B按顺时针方向旋转90°得到VCBE.若

ZABE^55°,则N£GC=__________度.

14.如图，在四边形ABC。中，NA8C=NBAD=90°,AB=5,AQ=4,A£）<BC,点E在线段上运

动，点F在线段AE上，/ADF=/BAE，则线段即的最小值为.

三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内.）

5x—2<3（x+1）,

15.解不等式组：\3%-2x-2■

>x+

[3---------2

（3xx、x

16.先化简，再求值：——+——---7,其中X,y满足2x+y-3=0.

\x-yx+yjx-y

17.如图，在YABCD中，AE平分N84D,交BC于点E；CF平分NBCD,交AO于点F.求证:

AE=CF.

18.无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度8C,无人机在空中点P

处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为60。，楼顶C点处的俯角为30。，已知点A与大楼的距离

AB为70米（点A,B,C,P在同一平面内），求大楼的高度BC（结果保留根号）

19.某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育，数学，生物学等知识，研究体育课的运动负荷，

在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x(次/分钟)分为如下五组：A

组：50<x<75,B组：75<x<l(X),C组：100Wx<125,力组：1254尤<150,E组：

150Vx<175.其中，A组数据为73,65,74,68,74,70,66,56.根据统计数据绘制了不完整的统

计图(如图所示)，请结合统计图解答下列问题：

(1)A组数据的中位数是,众数是；在统计图中8组所对应的扇形圆心角是度；

(2)补全学生心率频数分布直方图；

(3)一般运动的适宜行为为100Wx<150(次/分钟)，学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科项目

研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？

20.如图，已知坐标轴上两点A(0,4),3(2,0),连接AB，过点8作交反比例函数y=人在第

X

一象限的图象于点C(a,l).

(1)求反比例函数y=K和直线oc的表达式；

x

3

(2)将直线OC向上平移二个单位，得到直线/,求直线/与反比例函数图象交点坐标.

2

21.某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一

道篱笆把花园分为A，8两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米.

(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；

(2)在花园面积最大的条件下，A,B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价

25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？

22.如图，为।O直径，C是圆上一点，。是8C的中点，弦。石SAB,垂足为点足

(1)求证：BC=DE；

(2)P是4£•上一点，AC=6,8R=2,求tan/BPC；

(3)在(2)的条件下，当CP是/ACS的平分线时，求CP的长.

23.(1)如图1,在矩形ABC。中，点E，尸分别在边。C,BC上,AE±DF,垂足为点G.求证:

图1图2图3

【问题解决】

(2)如图2,在正方形ABCD中，点E，尸分别在边。C,BC上,AE=O尸，延长BC到点H,使=

连接。求证：ZADF=/H.

【类比迁移】

(3)如图3,在菱形A3C。中，点E，尸分别在边QC，BC上，AE=DF=U<DE=8,ZAED=60°,

求的长.

24.已知抛物线y=-『+fex+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点。(0,4),其对称轴为x=-]3.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图1,点。是线段OC上的一动点，连接AD,BD,将△ABO沿直线翻折，得到V437),

当点B'恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；

(3)如图2,动点P在直线AC上方的抛物线上，过点尸作直线AC的垂线，分别交直线AC,线段8C

于点E,F,过点F作尸G_Lx轴，垂足为G,求FG+J5EP的最大值.

参考答案

一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.）

1.剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可.

【详解】解：A.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故A符合题意；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；

C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意；

D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁

的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转

180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称

中心.

2.下列运算正确的是（）

A.a6^a3^a2B.a2-a3=a5C.（2a3）2=2«6D.（a+/?）2=«2+/?2

【答案】B

【解析】

【分析】利用同底数基的乘除法、积的乘方与幕的乘方以及完全平方公式分别判断即可.

【详解】解：A、故选项错误;

B、a2-a3^a5,故选项正确；

C、=4d,故选项错误;

D、（«+by-a2+2ab+b~,故选项错误;

故选：B.

【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，同底数幕的乘除法、积的乘方、塞的乘方以及完全平方公式,

正确掌握相关乘法公式是解题关键.

3.一把直尺和一个含30°角的直角三角板按如图方式放置，若Nl=20°,则N2=()

B.40°c.50°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】根据平行线的性质，得出N3=Nl=20。，进而？260??340?.

【详解】由图知，N3=Nl=20°

.\?260??360?20?40?

【点睛】本题考查平行线的性质，特殊角直角三角形，由图形的位置关系推出角之

间的数量关系是解题的关键.

4.实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是()

a0bc

A.c(b-a)<0B,b(c-a)<0c.a(b-c)>0D.a(c+b)>0

【答案】C

【解析】

【分析】根据数轴可得，a<0<h<c,再根据a<0<Z?<c逐项判定即可.

【详解】由数轴可知“<0<0<c,

.•.cS-a)>0,故A选项错误;

Ah(c-a)>Q,故B选项错误;

a(Z?-c)>0,故C选项正确;

.•.a(c+h)<0,故D选项错误;

故选：C.

【点睛】本题考查实数与数轴，根据a<0<8<c进行判断是解题关键.

5.如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是（）

C-Fh

【答案】A

【解析】

【分析】根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可.

【详解】解：从正面看该几何体，有三列，第一列有2层，第二和第三列都只有一层，如图所示：

FPn

故选：A.

【点睛】本题主要考查了简单几何组合体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键.

11

6.一元二次方程/+3*_1=0的两根为不当，则一+一的值为（）

mx2

33

A.-B.—3C.3D.

22

【答案】C

【解析】

11

【分析】先求得玉+々=-3,X]X2=-\,再将不+f变形，代入王+々与X1的值求解即可•

【详解】解：；一元二次方程/+3x-l=0的两根为玉、4，

X]+%2=-3,尤|•工2=一]

11

------1-------

玉龙2

_X|+x2

中2

_-3

=3.

故选C.

bc

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记占+々=一一，演”,=且是解决本题的关

aa

键.

7.一ABC三边长“，b,c满足（“一一）2+j2a-/一3+|c—3应|=0，则是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】由等式可分别得到关于a、b、C的等式，从而分别计算得到4、氏C的值，再由a2+〃=c2的关

系，可推导得到—ABC为直角三角形.

【详解】解：（“一切2+y]2a-b-3+|c-372|=0

（a-/?）2>0

又•：T2a-b-3N0

卜-3码NO

（a-Z?）-=0

/."J2a-b-3—0,

卜-3闽=0

a—h=0

<2a—b—3=0

C-30=0

。=3

解得《b=3,

c-3^/2

a2+/?2-c1，且。=〃，

一ABC为等腰直角三角形，

故选：D.

【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0,每一个非

负数均为0,和勾股定理逆定理.

8.若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：4(1,3),8(-2,-6),。(0,0)等都是三

倍点”，在一3<x<l的范围内，若二次函数,=一X2-》+。的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取

值范围是()

A.--<c<lB.-4<c<-3C.--<c<5D.-4<c<5

44

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得：三倍点所在的直线为y=3x,根据二次函数y=-/-x+c的图象上至少存在一个

“三倍点”转化为y=—/—x+c和y=3x至少有一个交点，求ANO,再根据x=-3和x=l时两个函数

值大小即可求出.

【详解】解：由题意可得：三倍点所在的直线为y=3x,

在一3<x<l的范围内，二次函数丁=一/一万+。的图象上至少存在一个“三倍点”，

即在-3<x<l的范围内，y=-％2-x+c和y=3x至少有一个交点，

令3X=-X2-X+C，整理得：-x2-4x+c=0，

则△=匕2—4ac=(-4)~—4x(-l)xc=16+4cN0,解得eNT,

2

当x=-3时，=-(-3)-(-3)+c=-12+c,y2>

A-9>-12+c,解得：c<3,

当x=l时，y,=-1-1+c=-2+c,%=3，

3>-2+c,解得：c<5,

综上:c的取值范围是~4Wc<5,

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数与一次函数交点问题，熟练掌握相关性质是关键.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的

相应区域内.)

9.因式分解：m1-4m-.

【答案】m(m-4)

【解析】

【分析】直接提取公因式"7,进而分解因式即可.

【详解】解：

故答案为：机0-4).

【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.

10.计算：|G—21+2sin60。—2023°=.

【答案】1

【解析】

【分析】根据先计算绝对值，特殊角的三角函数值，零指数累，再进行加减计算即可.

【详解】解：|石一2|+2sin60°-2023°

=2一6+2x咚-1

=1

故答案为：1.

【点睛】本题考查了实数的运算，掌握绝对值、特殊角的三角函数值、零指数基的运算是解题的关键.

11.用数字0,1,2,3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为.

【答案】|

【解析】

【分析】先列表得出所有的情况，再找到符合题意的情况，利用概率公式计算即可.

【详解】解：0不能在最高位，而且个位数字与十位数字不同，

列表如下：

123

0102030

12131

21232

31323

一共有可以组成9个数字，偶数有10、12、20、30、32,

•••是偶数的概率为，.

故答案为：I.

【点睛】本题考查了列表法求概率，注意0不能在最高位.

12.如图，正八边形ABCOEFG”的边长为4,以顶点A为圆心，A3的长为半径画圆，则阴影部分的面

积为（结果保留》）.

【答案】6万

【解析】

【分析】先利用正八边形求出圆心角的度数，再利用扇形的面积公式求解即可.

82180

【详解】解：由题意，AHAB=（-）-.=135°,

8

AW=AB=4

故答案为：6万.

【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积5=空匚，正多边

360

形的每个内角度数为（"-2）18。.

n

13.如图，点E是正方形A8CQ内的一点，将.A8E绕点B按顺时针方向旋转90°得到V。卯.若

ZABE=55°,则NEGC=度.

【答案】80

【解析】

【分析】先求得NBE尸和NC8E的度数，再利用三角形外角的性质求解即可.

【详解】解：：四边形ABC。是正方形，

ZABC=90°,

•：ZABE=55°,

：.NCBE=90°-55°=35°,

••二ABE绕点8按顺时针方向旋转90°得到VCB尸

；./EBF=90。,BE=BF，

：.ZBEF=45。,

：.ZEGC=NCBE+NBEF=350+45°=80。，

故答案为：80.

【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转图形的性质和三角形外角的性质，利用旋转

图形的性质求解是解题的关键.

14.如图，在四边形ABCO中，NABC=/区4。=90°,AB=5,AD=4,AD<8C,点E在线段上运

动，点尸在线段AE上，ZADF=ZBAE，则线段的最小值为.

A-

BEC

【答案】729-2##-2+V29

【解析】

【分析】设的中点为0，以AO为直径画圆，连接。8,设。B与。的交点为点尸'，证明

ZDFA=90°,可知点尸在以AO为直径的半圆上运动，当点尸运动到0B与1。的交点尸'时，线段

所有最小值，据此求解即可.

【详解】解：设的中点为0,以AO为直径画圆，连接。8,设。8与。的交点为点尸'，

ZABC=ZBAD=90°,

：.AD//BC,

：.ZDAE=ZAEB,

,//ADF=/BAE，

/.NDFA=NABE=90。,

...点F在以AO为直径的半圆上运动，

当点尸运动到0B与的交点F'时，线段BF有最小值，

•/AD=4,

：.AO=OF'=-AD^2,,

2

30=6+22=牺,

5尸的最小值为回-2，

故答案为：晒一2.

【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动

轨迹是解题的关键.

三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内.）

5x-2<3（x+1）,

15.解不等式组：hx-2x-2-

----->%+-----

I32

2

【答案】x<-

【解析】

【分析】分别求出各个不等式的解，再取各个解集的公共部分，即可.

【详解】解：解5x—2<3（x+l）得：x<|,

3x—2x—2.2

解-----2XH------得：X<一,

323

2

不等式组的解集为

【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤，是解题的关键.

「3xx、x

16.先化筒，再求值：------1-------j2>其中x,y满足2x+y—3=0.

（x-yx+yjx-y

【答案】4x+2y,6

【解析】

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时将除法变为乘法，约分得到最简结

果，将2x+y-3=0变形整体代入计算即可求解.

3x(x+y)x(x-y)>(x-y)(x+y)

【详解】解：原式=-7<+~七、

7(x-y)(x+y)7(x-y)(x+y)X

3x2+3Ay+x2-xy；；(xy)(x+y)

(x-y)(x+y)%

4x2+2xy(x-y)(x+y)

(x-y)(x+y)x

=4x+2y；

由2x+y—3=0,得至!|2x+y=3,

则原式=2(2x+y)=6.

【点睛】此题考查分式的化简求值，解题关键熟练掌握分式混合运算的顺序以及整体代入法求解.

17.如图，在YABCD中，AE平分N84D，交于点E；C/平分NBCD,交于点F.求证:

AE=CF.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】由平行四边形的性质得NB=NO，AB=CD,AD//BC,由平行线的性质和角平分线的性质

得出NBAE=NDCF,可证△84E四△OCF,即可得出AE=C户.

【详解】证明：...四边形ABC。是平行四边形，

，NB=Z£>，AB=CD,NBAD=NDCB,AD//BC，

AE平分NB4D，CF平分/BCD,

ZBAE=ZDAE=NBCF=/DCF,

在“胡石和一。。尸中，

NB=ND

<ABCD

NBAE=NDCF

.BAEDCF（ASA）

AE=CF.

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质及全等三角形的判定与性质，根据题目已知条件

熟练运用平行四边形的性质，平行线的性质是解答本题的关键.

18.无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度BC,无人机在空中点P

处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为60。，楼顶C点处的俯角为30°,已知点A与大楼的距离

A3为70米（点A,B,C,尸在同一平面内），求大楼的高度8C（结果保留根号）

【答案】大楼的高度BC为30Gm.

【解析】

【分析】如图，过P作于“，过。作CQLPH于Q,而则四边形CQ”8是矩形,

可得QH=BC,BH=CQ,求解尸"=AP-sin60°=80x立=40百，A//=AP・cos60°=40,可得

2

CQ=8〃=70—40=30,PQ=CQ.tan30。=106，可得BC=QH=40右一1()6=306.

【详解】解：如图，过P作PH_LAB于〃，过C作CQLP”于。，而CB_LAB,

口

口

吕

口

吕

口

口

口

则四边形是矩形，

/.QH=BC,BH=CQ,

由题意可得：AP=80,NB4H=60°,NPCQ=30。，AB=70,

PH=AP.sin60°=80x3=40>/3,AH=AP.cos60°=40,

2

，CQ=5/7=70-40=30,

/.PQ=CQ.tan30°=106，

BC=QH=40^-106=30百，

•••大楼的高度BC为30^m.

【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解仰角与俯角的含义是解本题的

关键.

19.某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育，数学，生物学等知识，研究体育课的运动负荷，

在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分钟）分为如下五组：A

组：50Vx<75,8组：75Wx<100,C组：100〈x<125,。组：1254x<150,E组：

150<x<175.其中，A组数据为73,65,74,68,74,70,66,56.根据统计数据绘制了不完整的统

计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：

（1）A组数据的中位数是,众数是；在统计图中8组所对应的扇形圆心角是度；

（2）补全学生心率频数分布直方图；

（3）一般运动的适宜行为为100Wx<150（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科项目

研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？

【答案】（1）69,74,54；

（2）见解析（3）大约有1725名学生达到适宜心率.

【解析】

【分析】（1）根据中位数和众数概念求解，先求出总人数，然后求出B组所占的百分比，最后乘以

360°即可求出在统计图中B组所对应的扇形圆心角;

（2）根据样本估计总体的方法求解即可.

【小问1详解】

将4组数据从小到大排列为：56,65,66,68,70,73,74,74,

68+70

.••中位数为=69；

2

：74出现的次数最多,

.••众数是74；

8+8%=l(X),

360°x—=54°

100

•••在统计图中B组所对应的扇形圆心角是54°；

故答案为：69,74,54；

【小问2详解】

100-8-15-45-2=30

；.C组的人数为30,

•••补全学生心率频数分布直方图如下：

(次/分钟)

2300x30+45=1725(人)，

100

；・大约有1725名学生达到适宜心率.

【点睛】本题主要考查调查与统计的相关知识，理解频数分布直方图，扇形统计图的相关信息，掌握运用

样本百分比估算总体数量是解题的关键.

20.如图，已知坐标轴上两点A(0,4),3(2,0),连接A3,过点2作交反比例函数y=g在第

一象限的图象于点C(a,l).

（1）求反比例函数＞=&和直线0C的表达式；

X

3

（2）将直线。。向上平移一个单位，得到直线/,求直线/与反比例函数图象的交点坐标.

2

41

【答案】（1）y——，y——x

x4

（2）（2,2）或\8,一；

【解析】

【分析】（1）如图，过点C作轴于点。，证明cABOs_38,利用相似三角形的性质得到

BD=2,求出点C的坐标，代入＞=（可得反比例函数解析式，设OC的表达式为y=g,将点c（4,l）

代入即可得到直线OC的表达式；

（2）先求得直线/的解析式，联立反比例函数的解析式即可求得交点坐标.

【小问1详解】

如图，过点C作轴于点力，

则CD=1,ZCDB=90°,

BCLAB,

：.ZABC=9（）°,

ZABO+ZCBD=90°,

ZCDB=9Q°,

：.ABCD+ZCBD=90°,

：.ZBCD^ZABO,

.ABO^BCD,

.OABD

••=f

OBCD

VA（O,4）,B（2,O）,

QA=4,OB=2,

.4_BD

：.BD=2,

：.OD=2+2=4,

...点C（4,l）,

将点c代入y=人中，

X

可得Z=4,

4

••y——，

x

设oc的表达式为y=g,

将点c（4,l）代入可得l=4m,

解得：m=—,

4

/.。。的表达式为、=!尤；

4

【小问2详解】

13

直线/的解析式为丁=一%+—，

42

134

当两函数相交时，可得一%+一=一,

42x

解得玉=2,%=—8,

代入反比例函数解析式,

x=-8

=22

得《

=2,1

1X%=一/

直线/与反比例函数图象的交点坐标为（2,2）或

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的交

点问题，一次函数的平移问题，解一元二次方程等知识.

21.某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一

道篱笆把花园分为A,B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米.

〃〃/（〃〃〃/〈〃〃/<〃

AB

（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；

（2）在花园面积最大的条件下，A,8两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价

25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？

【答案】（1）长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米

（2）最多可以购买1400株牡丹

【解析】

【分析】（1）设长为x米，面积为），平方米，则宽为另三米，可以得到y与x的函数关系式，配成顶点

式求出函数的最大值即可；

（2）设种植牡丹的面积为。平方米，则种植芍药的面积为（1200-。）平方米，由题意列出不等式求得种植

牡丹面积的最大值，即可解答.

【小问1详解】

解：设长为X米，面积为y平方米，则宽为=米，

y=xx120-x=」x2+40x=」（x—60『+1200,

333V）

.,.当x=60时，y有最大值是1200,

此时，宽为-------=20（米）

3

答：长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米.

【小问2详解】

解：设种植牡丹的面积为。平方米，则种植芍药的面积为（1200-a）平方米，

由题意可得25x2a+15x2（1200-a）<50000

解得：a<700,

即牡丹最多种植700平方米，

700x2=1400（株），

答：最多可以购买1400株牡丹.

【点睛】本题考查二次函数应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要

的条件.

22.如图，AB为。的直径，C是圆上一点，。是的中点，弦DE1AB，垂足为点?

（1）求证：BC=DE；

（2）P是淞上一点，AC=6,BF=2,求tanNBPC；

（3）在（2）的条件下，当CP是/ACB的平分线时，求CP的长.

【答案】（1）证明见解析；

⑶70

【解析】

【分析】（1）由。是BC的中点得cr>=8£>，由垂径定理得8七=50，得到存C=2E，根据同圆中,

等弧对等弦即可证明；

（2）连接0。，证明.ACfis.OED,设。。的半径为r,利用相似三角形的性质得r=5,

BC844

AB=2r=10,由勾股定理求得5C,得到tan/C4B=一2=一=一，即可得到tanZBPC=：；

AC633

（3）过点B作8GJ_CP交CP于点G,证明^CBG是等腰直角三角形，解直角三角形得到

CG=BG=BCcos45。=4五,由tanNBPC=g得到券=g,解得GP=3企，即可求解.

【小问1详解】

解：：。是8C的中点，

:.CD=BD，

:。石J.A6且A8为O的直径,

BE=BD，

波c=DE,

BC-DE；

【小问2详解】

解：连接0。，

:CD=BD，

:.ZCAB=ZDOB,

A3为的直径,

NACB=90°,

,/DEJ.AB,

；.ZDFO=90。,

:二OFD>

.ACOF

••--------,

ABOD

设；。的半径为r,

解得〃=5,经检验，〃=5是方程的根,

:.AB=2r=10，

BC=4AB2-AC2=8,

.，八*84

tanNC4rB>-B--C-——

AC63

•••/BPC=/CAB,

4

tanZ.BPC--；

3

【小问3详解】

解：如图，过点B作BG_LCP交CP于点G,

/BGC=/BGP=90。

•；ZACB=90°,CP是ZACB的平分线,

ZACP=ZBCP=45°

：.ZCBG=45°

：•CG=BG=BCcos45°=4点，

4

,/tanZ.BPC=—

3

•BG4

••=f

GP3

:，GP=3垃,

，CP=4夜+30=7直・

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟

练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键.

23.(1)如图1,在矩形ABCO中，点E，尸分别在边。C,上，AE±DF,垂足为点G.求证:

/XADEs^JDCF.

图1图2图3

【问题解决】

(2)如图2,在正方形ABCD中，点E，F分别在边。C,BC上,AE=O尸，延长BC到点“，使C"=。七，

连接求证：ZADF=/H.

【类比迁移】

(3)如图3,在菱形A3CD中，点E，尸分别在边QC，BC上，AE=DF=U<DE=8,ZAED=60°,

求的长.

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)3

【解析】

【分析】(1)由矩形的性质可得NAZ>E=N£)C9=90°,则NCD尸+N0FC=90°,再由可

得NDGE=90°,则N8F+NA£D=90°,根据等角的余角相等得NAEr)=NOFr,即可得证；

(2)利用"HL”证明_ADERDCF，可得DE=CF,由CH=DE,可得CF=CH,利用“SAS”

证明.DCF—DCH,则ZDHC=ZDFC,由正方形的性质可得AD//BC,根据平行线的性质，即可得证；

(3)延长到点G,使CG=£)E=8,连接DG,由菱形的性质可得AO=OC,AD//BC,则

ZADE=NDCG,推出△AOEgADCG(SAS),由全等的性质可得/DGC=NA£D=60。，DG=AE,

进而推出,DFG是等边三角形,再根据线段的和差关系计算求解即可.

【详解】(1)证明：四边形ABCO是矩形，

;.ZADE=NDCF=90°,

ZCDF+ZDFC=90°,

AEA.DF,

:.NDGE=90°,

：.ZCDF+ZAED=9Q°,

:.ZAED=/DFC,

:.Z\ADEs/\DCF；

(2)证明：四边形ABC。是正方形，

AD=DC,AD//BC,ZADE=ZDCF=90°,

.AE^DF，

:.^ADE^DCF(HL),

；.DE=CF,

又CH=DE,

•1.CF=CH,

点，在BC的延长线上，

力CH=NDCF=骄,

DC=DC,

DCFADCH(SAS),

：.ZH=ZDFC,

AD//BC，

:.ZADF=NDFC=/H；

(3)解：如图，延长8c到点G,使CG=O£=8,连接。G,

四边形ABCQ是菱形，

AD=DC,AD//BC,

:.ZADE=/DCG,

ADE竺DCG(SAS),

:.ZDGC=ZAED=60°,DG=AE,

,AE=DF，

：.DG=DF,

。回G是等边三角形，

：.FG=FC+CG=DF=\\,

.•.FC=ll-CG=ll-8=3.

【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性