高考数学一轮复习 第六章 不等式单元综合检测（六）理试题

单元综合检测(六)一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知全集U=R,集合A=,B={x|x2-7x+10<0},则∁R(A∩B)= ()A.(-∞,3)∪(5,+∞) B.(-∞,3)∪[5,+∞)C.(-∞,3]∪[5,+∞) D.(-∞,3]∪(5,+∞)1.B【解析】因为A={3≤x<7},B={x|2<x<5},所以A∩B=[3,5),所以∁R(A∩B)=(-∞,3)∪[5,+∞).2.(2016·太原阶段测评)若0<x<y,则下列各式正确的是()A.x3<y3 B.lox<loyC. D.2.A【解析】由不等式的基本性质可得A正确;lox>loy,B错误;,C错误;,D错误.3.(2016·哈尔滨六中月考)设z=x+y,其中实数x,y满足若z的最大值为6,则z的最小值为 ()A.-3 B.-2 C.-1 D.03.A【解析】不等式组对应的平面区域是以点(-2k,k),(k,k)(k>0)和(0,0)为顶点的三角形,当z=x+y经过点(k,k)时,取得最大值6,所以2k=6,k=3.则经过点(-6,3)时,z取得最小值-3.4.若实数a,b满足3a+2b=3,则8a+4b的最小值是 ()A.2 B.4 C.4 D.84.C【解析】8a+4b≥2=2=4.5.任意x∈R,函数y=ax2+4x+a的图象恒在y=1-2x2图象的上方,则实数a的取值范围是 ()A.(2,+∞) B.(-2,+∞)C.(-∞,-3)∪(2,+∞) D.(-∞,-3)∪(-2,+∞)5.A【解析】函数y=ax2+4x+a的图象恒在y=1-2x2图象的上方,即不等式ax2+4x+a>1-2x2,则(a+2)x2+4x+a-1>0在R上恒成立,当a+2=0时,不等式不恒成立;当a+2≠0时,则解得a>2.综上知a的取值范围是(2,+∞).6.已知集合A={x|x2+2x-3≤0},B={x|(x-2a)[x-(a2+1)]≤0},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 ()A. B.C. D.6.C【解析】因为集合A={x|x2+2x-3≤0}={x|-3≤x≤1},B={x|(x-2a)[x-(a2+1)]≤0}={x|2a≤x≤a2+1},且“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,所以集合A是B的真子集,即且两个等号不能同时取到,解得a≤-,则实数a的取值范围是.7.己知a,b均为正实数,且直线ax+by-6=0与直线(b-3)x-2y+5=0互相垂直,则2a+3b的最小值为 ()A.12 B.13 C.24 D.257.D【解析】由两直线互相垂直可得a(b-3)-2b=0,即2b+3a=ab,则=1.又a,b为正数,所以2a+3b=(2a+3b)=13+≥13+2=25,当且仅当a=b时取等号,故2a+3b的最小值为25.8.若集合M=a∈R-cos2x≥asinx-,x,y∈R*则a∈M时,的最大值是 ()A. B.1 C.2 D.8.D【解析】不等式-cos2x≥asinx-,x,y∈R*恒成立时,≥cos2x+asinx.由基本不等式得≥2=3,当且仅当y=6时,=3,则cos2x+asinx≤3,x∈R*恒成立,即sin2x-asinx+2≥0,x∈R*恒成立,令sinx=t,t∈[-1,1],则t2-at+2≥0,t∈[-1,1]恒成立,所以解得-3≤a≤3.令=u,u∈[1,],则=u+,u∈[1,],可得函数y=u+,u∈[1,]单调递增,所以u=时,,即的最大值是.二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2016·东北师大附中一模)若变量x,y满足约束条件则z=x+2y+1的最大值为.

9.9【解析】约束条件对应的平面区域是三角形(包含边界),当z=x+2y+1经过点(4,2)时取得最大值9.10.若实数x,y满足x>y>0,且log4x+log4y=,则的最小值为.

10.4【解析】由log4x+log4y=得xy=2,又x>y>0,所以=(x-y)+≥2=4,当且仅当x-y=2,即x=1+,y=-1时取等号,所以的最小值为4.11.(2016·江西吉安一中期中考试)点M(x,y)是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点,且不等式2x-y+m≥0总成立,则m的取值范围是.

11.[3,+∞)【解析】由不等式2x-y+m≥0总成立得m≥(-2x+y)max,不等式组对应的平面区域是一个四边形区域(包含边界),当-2x+y经过点(0,3)时取得最大值3,所以m≥3.12.若关于x的不等式ex<有解,其中e是自然对数的底数,则实数m的取值范围是

12.(-∞,0)【解析】不等式ex<有解,即ex<x-m有解,因此m<x-ex,x∈(0,+∞)有解,设h(x)=x-ex,h'(x)=1-ex=1-ex,∵≥2>1,且x∈(0,+∞)时ex>1,∴1-ex<0,即h'(x)<0,故h(x)在(0,+∞)上单调递减,∴h(x)<h(0)=0,故m<0.三、解答题(共60分)13.(12分)(1)已知a>b>c,求使得恒成立的实数k的最大值;(2)已知x+2≤a(x+y)对任意x,y∈R*恒成立,求正数a的最小值.13.【解析】(1)∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0.,即k≤(a-c)=[(a-b)+(b-c)]=2+,∴k≤.又≥2=2,当且仅当,即a+c=2b时取等号,∴k≤=4,即实数k的最大值为4.(2)不等式x+2≤a(x+y)对任意x,y∈R*恒成立,则a≥,∵x+2≤x+(x+2y)=2x+2y,x,y∈R*,∴≤2,当且仅当x=2y时取等号,故a≥=2,即正数a的最小值为2.14.(12分)已知关于x的不等式(2x-1)2<a2x2,a>0.(1)求此不等式的解集;(2)若不等式的解集中恰好有3个整数解,求实数a的取值范围.14.【解析】(1)由(2x-1)2<a2x2得[(2-a)x-1][(2+a)x-1]<0,当0<a<2时,不等式的解集为;当a=2时,不等式的解集为;当a>2时,不等式的解集为.(2)由题意得0<a<2时,0<<1,则解集中恰好有三个整数,则3<≤4,解得<a≤,故实数a的取值范围是.15.(12分)2015年4月25日,尼泊尔发生8.1级强烈地震,大批民众露宿街头.世界各地纷纷伸出援助之手,某企业无偿支援了一批材料,可搭建高2m的长方体简易篷,前后墙为彩钢,侧面为复合板材.已知高为2m板材市场价格为:彩钢——450元/m(长),复合板材——200元/m(长),房顶材料200元/m2.为了搭建较多的帐篷,又要保证一定的空间,指挥部决定每套帐篷造价不超过32000元.(1)若设计帐篷前墙长xm,侧墙长为ym,总造价为p,写出它们之间的关系式.(用x,y表示p)(2)帐篷面积S最大为多少?此时前墙长x为多少?15.【解析】(1)p=2x×450+2y×200+xy×200=900x+400y+200xy,即p=900x+400y+200xy.(2)由题意可知S=xy,且p≤32000,则p=900x+400y+200S≥200S+2,所以200S+1200≤p≤32000,即()2+6-160≤0,解得0<≤10,0<S≤100,当且仅当即x=时取等号.故帐篷面积S的最大值为100m2,此时前墙长为m.16.(12分)已知变量x,y满足不等式组分别求:(1)z=2x-y的取值范围;(2)ω=x2+y2最大值;(3)k=的取值范围.16.【解析】作出可行域如图中的阴影部分△ABC(包含边界),图中各点坐标分别是A(4,0),B(3,4),C(0,3),D(-1,1).(1)z=2x-y即为y=2x-z,-z表示斜率为2的直线在y轴上的截距,经过点A(4,0)时,z取得最大值8;经过点C(0,3)时,z取得最小值-3,所以z的取值范围是[-3,8].(2)ω的几何意义是点(x,y)到原点的距离的平方,最大值为|OB|2=25,所以ω的最大值为25.(3)k的几何意义是点(x,y)与点D(-1,1)连线的斜率,最小值是直线AD的斜率-;最大值为直线CD的斜率2,所以k的取值范围是.17.(12分)已知函数f(x)=ax2+4x+b(a<0,且a,b∈R).当x∈(x1,x2)时,其图象位于x轴上方,且函数g(x)=f(x)-x的两个零点为α,β.(1)若|α-β|=1,求a,b的关系式;(2)若α<2<β<3,求证:(x1+1)(x2+1)<.17.【解析】(1)由f(x)=x,得ax2+3x+b=0,由已知得Δ=9-4ab>0,α+β=-,αβ=,