专题2.26 轴对称图形中的折叠问题（分层练习）（培优练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.26轴对称图形中的折叠问题（分层练习）（培优练）【知识要点】初中数学有关于折叠的问题，是初中数学几何内容中比较特殊的一种类型。同时也是图形变化当中比较容易出考点的类型。想要解决初中数学中存在的折叠问题，那么我们对折叠的性质要有比较清楚的认识。首先要明白图形折叠前后图形的大小，形状都不发生改变，其次折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线。而且折叠前后及对应边相等，对应角相等，这是我们解决折叠问题中最核心的内容。另外，对于折叠问题，我们一般还有其重要的性质，就是将其转化为轴对称的问题，比如对称点的连线被对称轴垂直平分，我们连接两对称点，就可以得到相等的两条线段，一、单选题1．如图所示，在长方形纸片中，点M为边上的一点，将纸片沿，折叠，使点A落在处，点D落在处．若，则的度数为（

）A． B． C． D．2．如图，射线与射线平行，点F为射线上的一定点，作直线，点P是射线上的一个动点（不包括端点C），将沿折叠，使点C落在点E处．若，当点E到点A的距离最大时，的度数为（

）

A． B． C． D．3．已知，分别是长方形纸条边，上两点，如图所示，沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点；如图所示，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，，若，则的度数为（）A． B． C． D．4．如图，图①是一个四边形纸条，其中，分别为边上的两个点，将纸条沿EF折叠得到图②，再将图②沿折叠得到图③，若在图③中，，则的度数为（

）

A． B． C． D．5．如图，已知长方形纸片，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，使点D和点A都落在点M处，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．6．如图，中，，点D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠得到，点F是点A的对应点，与交于点E，下列结论一定正确的是（

）

A． B．C． D．7．如图，已知，点P是上的一点，连接，将沿所在直线折叠，点A落在点M处，连接．若，则（

）度．A．24 B．36 C．25.5 D．26.58．如图，将一个三角形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折㢃为，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．9．将长为2、宽为a（a大于1且小于2）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下个边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当n＝3时，a的值为（）A．1.8或1.5 B．1.5或1.2 C．1.5 D．1.210．如图，中，将沿折叠，使得点C落在上的点处，连接与的角平分线交于点E；如果；那么下列结论：①；②垂直平分；③；④；其中正确的有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，与的交点为G，点D、C分别折叠到点M、N的位置上，若，则．

12．如图，在中，直线是边的垂直平分线，与边交于点，是边上一点，把沿折叠，点落在点处，过点，且．若，则的度数为度．

13．有一张三角形纸片，已知，，点D在边上，请在边上找一点E，将纸片沿直线折叠，点B落在点F处，若与三角形纸片的边平行，则的度数为．14．如图，图①是一个四边形纸条，其中，，分别为边，上的两个点，将纸条沿折叠得到图②，再将图②沿折叠得到图③，若在图③中，，则．

15．如图，点N是四边形的边上一点，沿折叠四边形，使点C落在边上的点M处，再沿，折叠这个四边形，若点A，D恰好同时落在上的点P处，则的度数为．

16．如图，将四边形纸片沿折叠，点A、D分别落在点、处．若，，则与之间的数量关系可用等式表示为．

17．如图，在三角形中，点D，E是边上两点，点F在边AB上，将三角形沿折叠得三角形，交于点H，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论是（填写序号）．

18．如图，是等边三角形，将按如图的方式进行折叠，使点与边上的点重合，折痕分别与，交于点，下列四个结论：①；②；③；④若，，是折痕上一动点，则的最小值是4．其中正确的结论是（填写序号）．三、解答题19．如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置，的延长线交于点．（1）如果，求的度数；（2）如果已知∠，则__________（用含的式子表示）（3）探究与的数量关系，并说明理由．20．在八年级上册“轴对称图形”一章69页中我们曾做过“折纸与证明”的数学活动：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．请用你所学知识解决下列问题．将（）沿折叠，使点C刚好落在边上的点E处．（1）图1中，，则___________；___________；（2）如图2，若，试说明：．21．如图，在中，点D是边上的一点，将沿折叠得到，与交于点F．（1）若，，求的度数；（2）若，比大，，求的度数．22．如图，已知四边形纸片的边，是边上任意一点，沿折叠，点落在点的位置．（1）如图①．点落在四边形的内部，探索，，之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，点落在边的上方，设与交于点，直接写出，，之间的数量关系．不需要说明理由．23．有一张正方形纸片，点E是边上一定点，在边上取点F，沿着折叠，点A落在点处，在边上取一点G，沿折叠，点B落在点处．（1）如图，当点落在直线上时，猜想两折痕的夹角的度数并说明理由．（2）当时，设．①试用含x的代数式表示的度数．②探究是否可能平分，若可能，求出此时的度数；若不可能，请说明理由．24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°．延长BA至点E，并使得AE＝AF（AE<AB）．连结EF．（1）求证：EF⊥BC．（2）将△AEF沿AC折叠．并记点E沿AC折叠时的落点为点D．①当点D落在△ABC内部时，AE的取值范围是多少？②P，Q分别是边AC，BC上的动点，连结DP，DQ．若EF＝1，求DP＋DQ的最小值．参考答案1．A【分析】先根据角的和差可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，由此即可得．解：，，由折叠的性质得：，，，故选：A．【点拨】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．2．B【分析】由平行线的性质得，由，当点E在上时，点E到点A的距离最大，然后可求出的度数．解：∵，，∴，∵，∴当点E在上时，点E到点A的距离最大，如图，

由折叠可知，，∴，故选B．【点拨】本题考查了折叠性质，平行线的性质，关键是确定E点的位置．3．B【分析】由翻折的性质和长方形的性质可得出：，，据此可得，，再根据得，根据得，据此可求出，进而可求出的度数．解：由翻折的性质得：，，四边形为长方形，，，，又，，，，，，即：，，，，，，．故选：B．【点拨】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键．4．C【分析】首先根据折叠和平行的性质求出，再由三角形外角的性质求出，结合折叠和平行的性质求出，进而可求．解：由折叠可知：，，，图②中，图③中，，，，故选：C．【点拨】本题主要考查了平行的性质和翻折的性质，熟练掌握平行的性质和翻折的性质是解题的关键．5．D【分析】根据平行线的性质得到，，由折叠得，，求出和，然后根据三角形内角和等于即可求出答案．解：∵在长方形中，，∴，，由折叠得：，，∴，，∴，∵，∴；故选：D．【点拨】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握三角形内角和等于与轴对称的性质．6．B【分析】延长交于点，根据折叠的性质可得，根据全等三角形的性质可得，，，故，根据全等三角形的平时和性质可得，根据三角形内角和可得，，即可得到．解：延长交于点，如图：

∵是沿所在直线折叠得到的∴∴，，∴∴∴∴∴有∵∴故选项B正确故选：B．【点拨】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．7．C【分析】延长交于点E，根据折叠与平行线的性质以及三角形内角和定理求出的值，并进一步得到的值．解：如图，延长交于点E，由折叠与平行线的性质可知：，，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，故C正确，故选：C．【点拨】本题主要考查三角形的折叠问题，熟练掌握折叠的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，平行线的性质是解题关键．8．B【分析】根据折叠的性质得，，，，然后逐项分析即可．解：由折叠的性质得，，，，，A．若，则∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵、是的两个内角，又∵三角形三个内角和为，∴不可能等于，∴，不可能成立，故A不正确；B．∵，，∴，故B正确；C．若，∵，∴，显然不一定成立，故不正确；D．若，∵，∴，显然不一定成立，故D不正确．故选：B．【点拨】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．9．B【分析】经过第一次操作可知剩下的长方形一边长为a，另一边长为2﹣a；若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则所以剩下的长方形的两边分别为2﹣a、a﹣（2﹣a）＝2a﹣2；根据第2次剩下的长方形分两种情况讨论，若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，由此可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．解：第1次操作，剪下的正方形边长为a，剩下的长方形的长宽分别为a、2﹣a，由1＜a＜2，得a＞2﹣a；第2次操作，剪下的正方形边长为2﹣a，所以剩下的长方形的两边分别为2﹣a、a﹣（2﹣a）＝2a﹣2，①当2a﹣2＜2﹣a，即a＜时，则第3次操作时，剪下的正方形边长为2a﹣2，剩下的长方形的两边分别为2a﹣2、（2﹣a）﹣（2a﹣2）＝4﹣3a，则2a﹣2＝4﹣3a，解得a＝1.2；②2a﹣2＞2﹣a，即a＞时则第3次操作时，剪下的正方形边长为2﹣a，剩下的长方形的两边分别为2﹣a、（2a﹣2）﹣（2﹣a）＝3a﹣4，则2﹣a＝3a﹣4，解得a＝1.5．故选：B．【点拨】本题考查数式规律、图形规律、一元一次方程等知识，其中涉及分类讨论法思想，综合性较强，有点难度，认真审题寻找规律，掌握相关知识是解题的关键.10．C【分析】利用三角形全等的性质、等腰三角形的三线合一、角之间的关系、平行线的判定定理逐个分析各个结论的正误即可．解：依题意有∴，故结论①正确；∵∴为等腰三角形，又∴AD垂直平分，故结论②正确；∵∴∴又∵∴∴，故结论③错误；∵∴∴∴∴∴∴又∵∴∴∴∥，故结论④正确；综上，正确的结论有3个．故选：C．【点拨】本题考查全等三角形的性质、线段的垂直平分、等腰三角形的性质、平行线的判定等知识，为三角形的综合题，解题的关键是熟练掌握三角形相关的知识定理．11．/55度【分析】先根据四边形是长方形，得出，得到，再根据折叠的性质可得，，最后求出的度数．解：∵四边形是长方形，∴，∴，由折叠的性质可得，，又∵与为内错角，，∴，故答案为：．【点拨】本题主要考查了长方形的性质、平行线的性质和折叠的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．12．28【分析】设，，根据折叠的性质推出，，根据垂直平分线的性质得出，，可得，进一步推出，继而得到，利用三角形内角和得出，利用外角的性质得到，解方程组即可．解：设，，由折叠可知：，，∵，∴，∵直线垂直平分，∴，，∴，∴，即，又，∴，∴，在中，，即，∵，即，∴，解得：，∴的度数为，故答案为：28．【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形内角和与外角的性质，垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，解二元一次方程组，等边对等角，知识点较多，此题较为复杂，解题时要运用相应知识点推导角的关系，利用内角和和外角的性质作为关系列方程．13．或【分析】分两种情况讨论，由折叠、平行推导出角之间数量关系，进而求得结论．解：如图，，∴由折叠知∴∴；

如图，∴由折叠知，

故答案为：或．【点拨】本题考查折叠的性质，平行线的性质，由折叠得出角之间的相等关系是解题的关键．14．/102度【分析】根据折叠的性质，先求出图②的的度数，再根据平行线的性质，求出的度数，由邻补角特点可求出的度数，再由折叠性质可得，再根据求得的度数为，由折叠的性质得图③的的度数为，根据计算即可得出答案．解：第一次折叠后，如图②，由折叠可得：，，，，，，第二次折叠后，如图③，由折叠可得：，．

【点拨】本题考查了折叠的性质和平行线的性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键．15．【分析】根据折叠的性质可得，，，可知，进一步可得得度数，再根据折叠的性质及同旁内角互补两直线平行得出，从而可得，根据折叠的性质，可知，，进一步可得的度数．解：根据折叠得性质，可得，，由折叠可知，，，根据折叠的性质，可知，故答案为：．【点拨】本题考查了折叠的性质、平行线的判定及性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．16．【分析】利用四边形内角和可得，再代入与即可．解：四边形中，四边形中，∴∵将四边形纸片沿折叠，∴，，∵，，，∴，∴，整理得：，故答案为：．【点拨】本题主要考查了折叠的性质以及四边形内角和的应用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．17．①③④【分析】由折叠的性质可得，，则，，，由，可得，，则，由，可得，则，进而可判断①的正误；由题意知，无法判断与的关系，进而可判断②的正误；由，则，，可得，即，进而可判断③的正误；根据，可得，整理得，即，则，进而可判断④的正误；解：由折叠的性质可得，，∴，，，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，①正确，故符合要求；∵，无法判断与的关系，②错误，故不符合要求；∵，∴，∵，∴，∴，③正确，故符合要求；∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，④正确，故符合要求；故答案为：①③④．【点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，全等的性质，三角形内角和、三角形外角的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．18．①②④【分析】根据折叠的性质可得，，，由三角形内角和为，可以判断①正确；由图可得，，，进而可判断②正确；点F关于的对称点为点B，所以，最小值为的长，故④正确；由于点在上的位置无法确定，仅能确定，故③不一定正确．解：由折叠的性质可得，，，∵是等边三角形，∴，∴在中，，故①正确；由图可得，，，∴在中，，∴，故②正确；由，，是等边三角形，可得，，连接，如图由题意可知，点F关于的对称点为点B，所以，最小时，点O与点E重合，即为的长，故的最小值是4，④正确；由于点在上的位置无法确定，故不能确定；故③不一定正确．故答案为：①②④．【点拨】本题考查等边三角形的性质，折叠的性质，最短路径问题等，灵活运用性质是解题的关键．19．（1）；（2）；（3），理由见分析【分析】（1）由平行线性质得到的度数，再由折叠性质得到的度数，最后根据平角定义即可求出的度数；（2）由平行线性质和折叠性质得到，根据外角性质即可得到的度数；（3）由平行线性质得到和，即可推出最后结果．（1）解：，，由折叠知，，；（2），，由折叠的性质可得：，；（3），，，，．【点拨】本题考查了平行线的性质，折叠性质，外角性质，熟练掌握这些性质是解答本题的关键．20．（1）2，12；（2）见分析【分析】（1）根据折叠性质和三角形的面积公式求解即可；（2）由折叠性质和三角形的外角性质证得，，，再根据等角对等边证得，进而可证得结论．（1）解：由折叠性质得：，，，∴，，∵，∴，故答案为：2，12；（2）解：由折叠性质得，，，∵，，∴，∴，又∵，∴．【点拨】本题考查了折叠性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定，熟练掌握折叠性质是解答的关键．21．（1）；（2）【分析】（1）根据折叠的性质得出，然后根据三角形的外角即可得出答案；（2）根据平行线的性质得出，根据折叠的性质得出，进而求出，再根据题意求出，即可得出答案．（1）解：∵沿折叠得到，∴，∵，，∴；（2）解：∵，，∴，∵沿折叠得到，∴，∴，∴，∵比大，，∴，∴，∴，∴．【点拨】本题考查折叠的性质，平行线的性质，三角形的外角，正确理解题意是解题的关键．22．（1）；（2）【分析】（1）数量关系：．理由：过点作，交于点，交于点，由平行线的性质可得，根据平行公理的推论可得，继而得到，再结合折叠的性质可得数量关系；（2）过点作，由平行线的性质可得，根据平行公理的推论可得，继而得到得，再结合折叠的性质可得数量关系．（1）解：，，之间的数量关系：．理由如下：过点作，交于点，交于点，∴，∵，∴，∴，∴，∵沿折叠，点落在点的位置，∴，∴，∴，，之间的数量关系是：．（2）过点作，∴，∵，∴，∴，∵沿折叠，点落在点的位置，∴，∴，即：，∴，，之间的数量关系是：．【点拨】本题考查折叠的性质，平行线的性质，平行公理的推论．掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键．23．（1），见分析；（2）①或，②可能，当点B落在内部时，；当点B落在内部时，【分析】（1）利用平角的定义，，利用折叠得到，即可