专题5.28 平面直角坐标系背景下存在性问题（分层练习）（提升练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.28平面直角坐标系背景下存在性问题（分层练习）（提升练）1．在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点是点的“a级关联点”．（1）已知点的“级关联点”是点；（2）已知点的“级关联点”N位于x轴上，求点N的坐标；（3）在（2）的条件下，若存在点H，且，直接写出H点坐标．2．在平面直角坐标系中有四点．

（1）在图中描出四点，再连接；（2）直接写出线段与线段的位置关系；（3）若与轴交于点，与轴交于点，在线段上是否存在一点，使得三角形与三角形的面积相等，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图：在正方形网格上有一个．

（1）画出关于直线的对称图形；（2）的形状是___________三角形；（3）若在上存在一点Q，使得最小，请在图中画出点Q的位置；（4）若网格上最小正方形的边长为1，求的面积．4．已知，点B在x轴上，且．（1）求点B的坐标，在平面直角坐标系中画出，并求出的面积．（2）在y轴上是否存在点P，使得以A，C，P为顶点的三角形的面积为9？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在y轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，请画出点Q的位置，并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中，，满足关系式，．

（1）求，，的值：（2）求出三角形的面积？（3）如果在第二象限内有一点，那么请用含的式子表示四边形的面积；（4）在（3）的条件下，是否存在点，使四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，已知，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的负半轴上，且．

（1）直接写出点的坐标；（2）在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）把点向上平移个单位长度得到点，作射线，连接，点在射线上运动（不与点，重合），试探究，，之间的数量关系，并证明你的结论．7．如图，在平面立角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点，点，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．

（1）直接写出的长__________．（2）求点D和点C的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴负半轴上，且，满足，连接交轴正半轴于点．

（1）求、的值以及三角形的面积；（2）根据三角形的面积、三角形的面积与三角形的面积三者之间的数量关系，求点的坐标；（3）在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，，，过作轴于．

（1）求的面积．（2）若过作交轴于，且，分别平分，，如图，求的度数；（3）在轴上存在点使得的面积等于面积的，请直接写出点．10．在直角坐标系中，有正方形（四条边相等，四个内角都是），其中平行于y轴，点在第二象限．

（1）如图，若，长为6，则点B，C，D的坐标分别为：B______，C______，D______；（2）若，，点是直角坐标系中的一个动点，，点Q从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC方向运动，运动时间为t秒，若．①当时，求的面积；②试问是否存在点P，使得，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，，，，且，（1）求a，b的值；（2）①在y轴的正半轴上存在一点M，使，求点M的坐标；②在坐标轴的其他位置是否存在点M，使，仍然成立？若存在请直接写出符合条件的点M的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为，点C在y轴上，且轴，a，b满足．一动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（点P首次回到点O时停止），运动时间为t秒（）．（1）直接写出点A，B的坐标；（2）点P在运动过程中，连接，若把四边形的面积分成的两部分，求出点P的坐标．（3）点P在运动过程中，是否存在点P到x轴的距离为个单位长度的情况，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．13．如图1，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，且，满足，现同时将点A，分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A，的对应点，，连接，．（1）请直接写出A，两点的坐标．（2）如图2，点是线段上的一个动点，点是线段的中点，连接，，当点在线段上移动时（不与，重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论．（3）在坐标轴上是否存在点，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，点，过点作x轴的垂线l，点A关于直线l的对称点为B．（1）点B的坐标为_____________；（2）已知点，点，在图中描出点B，C，D，顺次连接点A，B，C，D．①在四边形内部有一点P，满足且，则此时点P的坐标为_____________，_____________；②在四边形外部是否存在点Q，满足且，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．15．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足，点是第一象限内的点，，．（1）分别求出点、、的坐标．（2）如果在第二象限内有一点，是否存在点，使得的面积等于的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．（3）在平面直角坐标系是否存在点，使与全等，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图1，在平面直角坐标系中，已知，其中a是的整数部分，在数轴上，b表示的数在原点的左侧，离原点的距离是2个单位长度．（1）填空：________，________；（2）在（1）条件下，如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积；（3）如图2，点A的坐标为，点B的坐标为，点M的坐标为，动点P从原点O出发以每秒4个单位长度的速度沿y轴负方向移动，同时点B以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向移动，连接，设运动时间为秒．是否存在这样的t，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒．（1）求、OB的长；（2）连接，若的面积不大于3且不等于0，求t的范围；（3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足．（1）求OA，OB长度；（2）在x轴上是否存在点C，使得三角形ABC的面积是12；若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P从点B出发沿着y轴运动（点P不与原点、B点重合）速度为每秒2个单位长度，连接AB、AP，当运动的时间t为几秒时，？并求出此时点P的坐标．参考答案：1．（1）；（2）；（3）或【分析】（1）根据新定义代入求解；（2）先根据新定义写出坐标，再根据x轴上的点的特征，列方程求解；（3）根据平行直线的关系求解．（1）解：由题意得：，即；（2）解：由题意得：，∵N位于x轴上，∴，解得：，∴；（3）解：由（2）得：，∴，∵轴，且，∴或．【点拨】本题考查了点的坐标特征，掌握数形结合思想是解题的关键．2．（1）见分析；（2）；（3）存在，【分析】（1）根据A，B，C，D的坐标确定A，B，C，D的位置即可，再画线段；（2）证明轴，轴，可得答案；（3）如图，设，，则，由，可得，再建立方程求解即可．（1）解：A，B，C，D如图示，线段，即为所画的线段；

（2）∵，的纵坐标相同，∴轴，同理：轴，∴．（3）如图，设，，则．

∵，即∴，即，解得：∴．【点拨】本题考查的是坐标与图形，三角形的面积的计算，掌握平面直角坐标系内线段的长度的计算是解本题的关键．3．（1）见分析；（2）等腰直角三角形；（3）见分析；（4）5【分析】（1）分别确定A，B，C关于直线的对称点，，，再顺次连接即可；（2）先标注图形，再证明，利用全等三角形的性质可得答案；（3）先确定C关于直线的对称点，再连接，交直线于即可；（4）由长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可．（1）解：如图，即为所求；．（2）如图，标注图形，

由图形可得：，，，∴，∴，，∴，∴，∴为等腰直角三角形．（3）如图，即为所求；

（4）．【点拨】本题考查的是作轴对称图形，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的定义，网格三角形面积的计算，掌握以上基础知识是解本题的关键．4．（1）点B的坐标为或，图见分析，的面积为8；（2）点P的坐标为或；（3）点Q的坐标为，，，．【分析】（1）根据，点B在x轴上，且，可知点B的横坐标与点A的横坐标的差的绝对值为4，从而可以求得点B的坐标，从而可以求得的面积．（2）根据题意可知点P在点C的上方或者下方，从而可以求得点P的坐标．（3）根据已知条件可以将各种情况在坐标系中表示出来，利用勾股定理列式计算从而可以得出点的坐标．（1）解：∵，点B在x轴上，且，∴设点B的坐标为，．解得，或．∴点B的坐标为或．在平面直角坐标系中画出，如下图所示：∴，．即的面积为8；（2）解：在y轴上存在点P，使得以A、C、P三点为顶点的三角形的面积为9．设点P的坐标为，由题意可知点P可能在点C的上方或下方．当点P在点C上方时，，解得，．当点P在C点下方时，，解得，．由上可得，点P的坐标为或；（3）解：在y轴上存在点Q，使得是等腰三角形．如下图所示：∵，∴，当时，点Q的坐标为：或；当时，点Q与点C关于x轴对称，点Q的坐标为：；当时，设点Q的坐标为，则，解得，∴点Q的坐标为，综上，使得是等腰三角形，点Q的坐标为：，，，．【点拨】本题考查坐标与图形的性质、三角形的面积、等腰三角形的判定、勾股定理，解题的关键是能根据图形写出各点的坐标，能根据坐标求出相应图形的面积．5．（1），，；（2）6；（3）；（4）存在，【分析】（1）用非负数的性质求解；（2）由（1）得出A，B，C的坐标，再利用三角形面积公式计算；（3）把四边形的面积看成两个三角形面积和，用来表示；（4）求出的面积，结合（3）列出方程即可．（1）解：由已知，及，∴，，，可得：，，；（2）由（1）得：，，，∴三角形的面积为；（3），，；（4），，则，所以存在点使．【点拨】本题考查了非负数的性质，三角形及四边形面积的求法，根据题意容易解答．6．（1）；（2）存在点，点的坐标为或；（3）或．【分析】（1）根据点在轴的负半轴上，，点的坐标为即可求得答案．（2）先求得的长度，分两种情况写出点的坐标：当点位于点的上方；点位于点的下方．（3）分两种情况讨论：点在点上方；点在线段上．利用平行线的性质及三角形的外角的性质求解即可．解：（1）∵点在轴的负半轴上，，点的坐标为，∴点的坐标为．（2）存在点，点的坐标为或．理由如下：如图所示，连接，．

∵，∴．∴．当点位于点的上方时，点的坐标为．当点位于点的下方时，点的坐标为．综上所述，点的坐标为或．（3）∵点的坐标为，点的坐标为，∴轴．①点在点上方．设与交于点，如图所示．

∵轴，∴．∵．∴．②点在线段上．过点作轴的平行线，交轴于点，如图所示．

∵轴，轴，∴．∴．∵轴，∴．∴．综上所述，或．【点拨】本题主要考查平面直角坐标系、平行线的性质、三角形的外角的性质，能采用分类讨论的思想分析问题是解题的关键．7．（1）5；（2）点，点C；（3）存在，或【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可；（2）证明，可得，可得点，设点的长度为m，可得，可得，可得，从而可得答案；（3）求解，设，则，结合，再建立方程求解即可．（1）解：∵点，点，∴；（2）由折叠得：，，点，，，点，设点的长度为m，，由折叠得，在中，由勾股定理得即，即，解得，点C在y轴的负半轴上，点C的坐标为；（3）∵，，∴，设，则，∵，∴，∴，解得：或，∴点P的坐标为或．【点拨】本题考查的是坐标与图形，勾股定理的应用，轴对称的性质，全等三角形的性质，熟练的利用方程解题是解本题的关键．8．（1），，；（2）；（3）当时，则或【分析】（1）根据算术平方根与绝对值的非负性可求a、b的值，然后根据三角形的面积公式可进行求解；（2）设点，然后根据等积法可进行求解；（3）由题意可分点P在y轴的正半轴和负半轴两种情况进行求解．（1）解：∵，且，∴，∴，∵点在轴负半轴上，∴，∴，∴，∴；（2）解：设点，∴，∵，∴，∴；（3）解：由题意可分：①当点P在y轴的正半轴时，则有，∴，∴，即；②当点P在y轴的负半轴时，则有，∴，∴，即；综上所述：当时，则或．【点拨】本题主要考查坐标与图形及算术平方根与绝对值的非负性，熟练掌握坐标与图形及算术平方根与绝对值的非负性是解题的关键．9．（1）；（2）；（3）点的坐标为或【分析】（1）根据求出点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可；（2）如图，过作，利用平行线的判定和性质，得到，，，结合角平分线的定义，利用，进行求解即可；（3）设点的坐标为，利用的面积等于，列方程求解即可．（1）解：∵轴，，∴，∵，∴，，∴；（2）如图，过作．

∵轴，∴轴，，∴．又∵，∴，∴．∵，∴，∴，．∵，分别平分，，∴，，∴；（3）解：设，∵，，∴，，由（1）知：，∴的面积=，解得：或；∴点的坐标为或．【点拨】本题考查坐标与图形．正确的识图，通过点的坐标确定线段的长度，构造平行线，进行角度的转化，是解题的关键．10．（1），，；（2）①9②存在，．【分析】（1）利用，长为6，以及正方形的性质即可求解；（2）利用非负性的性质求得，，，得到，，，，；①当时，求得P点坐标，Q点坐标，根据割补法求解即可；②利用割补法列式计算即可求解．（1）解：∵正方形，平行于y轴，，长为6，∴，，；故答案为：，，；（2）解：∵其中，，，∴，，，∴，，，，；①当时，代入求得P点坐标，此时Q点坐标，连接,

；②假设存在点P满足题意，则有，∵当时，A、P、Q三点共线，三角形不存在，∴，将两者分别用含有t的代数式表示，化简得，解得：，此时【点拨】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，坐标与图形性质，绝对值、算术平方根和偶次方的非负性质，三角形面积公式等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和三角形面积公式是解题的关键，属于中考常考题型．11．（1），；（2）①；②或或；【分析】（1）根据非负式子和为0它们分别等于0直接求解即可得到答案；（2）①设，根据面积关系列式求解即可得到答案；②分负半轴及x轴两类讨论，设出点坐标列式求解即可得到答案；（1）解：∵，，，∴，，解得：，；（2）解：①设，∵，，，，∴，解得：，∴；②i：当M在y轴负半轴时，设，∵，，，，∴，解得：，∴；ii：当M在x轴上时，设，∵，，，，∴，解得：，∴或；综上所述：或或；【点拨】本题考查绝对值非负性，算术平方根非负性，平面内点与坐标原点及坐标轴上点围城图形面积问题，解题的关键是熟练掌握点到坐标轴距离问题转换成三角形的高．12．（1）；（2）点P的坐标为或；（3）存在，点P的坐标为或【分析】（1）直接利用非负数的性质即可解答；（2）证明四边形为长方形，求出面积，再分两种情况：当时和当时，分别列出方程，求解即可；（3）分两种情况：点P在上运动和点P在上运动，根据点P到x轴的距离为个单位长度列出方程，求解即可．（1）解：由题意知，a，b满足，∵，∴，∴，∴；（2）由题意可知，轴，，∵轴，∴四边形为长方形，∵，∴，∵把四边形的面积分成的两部分，∴一部分面积为4，另一部分面积为8，∴可分两种情况讨论：当时和当时，①当时，此时点P在上，点P的坐标为，∴，∴，∴，∴点P的坐标为，②当时，此时点P在上，点P的坐标为，∴，∴，∴点P的坐标为，综上可知，，点P的坐标为或；（3）存在，理由如下：①当P在上运动时，，由（2）可知，，∴，∴，∴，∴点P的坐标为，②当P在上运动时，，∴，∴，∴，∴点P的坐标为，综上可知，点P的坐标为或．【点拨】本题考查非负数的性质、坐标与图形的性质、三角形的面积、一元一次方程的应用，分类讨论是解题关键．13．（1）；；（2）；（3）存在，或或或【分析】（1）根据绝对值的非负性、偶次方的非负性分别求出、，得到点A，的坐标；（2）求出五边形的内角和，根据平行线的性质得到，计算即可；（3）根据题意求出的面积，分点在轴上、点在轴上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可．（1）解：，，，解得：，，则点A，的坐标分别为，；（2）解：，理由如下：五边形的内角和，∵，，；（3）解：由题意得，点的坐标为，点的坐标为，则的面积，当点在轴上时，设点的坐标为，则，由题意得，，解得：或，当点在轴上时，设点的坐标为，则，由题意得，，解得：或，综上所述，三角形的面积与三角形的面积相等时，存在点，且点的坐标为或或或．【点拨】本题考查的是几何变换的综合题，非负数的性质、平移变换、三角形的面积计算，掌握坐标与图形的关系、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．14．（1）；（2）①，．②，理由见分析【分析】（1）根据对称性可知点A和点B到直线l的距离相等，且纵坐标相等即可求解；（2）①根据点A，B，C，D的坐标可得点A和点B关于直线l对称，点C和点D关于直线l对称，，，，由，可知点P在直线l上，设点P，再根据可得，求解即可得点P坐标，进而即可求解；②与①同理，设，根据，可得，解方程进而即可求解．解：（1）∵点坐标为，过点作x轴的垂线l，∴点到直线l的距离为1，∵点A和点B关于直线l的对称点，∴，故答案为：；（2）如图所示：顺次连接A，B，C，D，可以发现四边形是等腰梯形，且关于直线对称，①∵点，点，点，点，∴点A和点B关于直线l对称，点C和点D关于直线l对称，，，，∵在四边形内部有一点P，满足，则点P在直线l上，设点P，∵，∴，即，整理得：，解得：，∴点，

∴，故答案为：，；②存在，理由：∵∴点Q在对称轴上，设，∵，∴，即，解得：，∴点．【点拨】本题考查坐标与图形—对称，三角形面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想和参数构造方程解决问题．15．（1），，；（2）；（3），或【分析】（1）根据可得，，从而得到，，再根据，构造全等三角形，即可得到点C的坐标；（2）根据三个顶点坐标可求，则，又因为，即可求点P的坐标；（3）根据三角形全等画出符合题意的图形，确定点E，由（1）求点C的坐标的方法可求出点坐标，点与点关于点A对称，点C与点关于点B对称，即可得到点E的三个坐标．（1）解：∵，∴∴，，∴，，∴，过点作轴于点，则∵，∴，在中，，∴∵，∴∴，∴，∴，∵点在第一象限内，∴．（2）存在．过点作轴于点，则∵，∴∵，∴，∴，∴（3），或理由：如图所示，当，且点在第一象限时，由（1）同理得当，且点在第二象限时，点与点关于点A对称∴当，且点在第二象限时，点C与点关于点B对称∴综上所述，，或故答案为：，或【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角坐标系中求三角形的面积以及点之间的对称问题，解题的关键是熟悉掌握运用全等三角形的性质与判定．16．（1）；（2）；（3）存在，5．【分析】（1）根据无理数的范围即可求出它的整数部分；根据数轴上的点表示的数即可求出；（2）将四边形的面积分解成两个三角形与的面积和即可求出；（3）先用表示点，然后用表示与的面积，然后根据题意列式即可求出答案．（1）解：，且a是的整数部分，，在数轴上，b表示的数在原点的左侧，离原点的距离是