专题5.23 平面直角坐标系背景下面积问题（分层练习）（基础练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.23平面直角坐标系背景下面积问题（分层练习）（基础练）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023·广东汕头·统考模拟预测）已知和点两点，则直线与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则的值是（

）A． B．4 C． D．2．（2023春·福建福州·七年级校考期中）已知，，三点，且三角形的面积等于，则的值为（

）A．1或 B．9 C．1或9 D．9或3．（2022秋·八年级单元测试）若点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，的面积是10，则点的坐标可能是（

）A． B． C． D．4．（2020春·广西·七年级统考期末）如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系中，其中C(－4，4)，则三角形ABC的面积是（

）A．4 B．6 C．12 D．245．（2023春·河北承德·八年级校考阶段练习）如图是一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示10米），则这块地皮的面积是（

）．A．25 B．250 C．2500 D．22006．（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）如图在平而直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（

）A． B． C． D．7．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，平面直角坐标系中的图案是由六个边长为1的正方形组成的，，是x轴上的动点，当AB将图案分成面积相等的两部分时，a等于（

）A．1 B． C． D．8．（2022春·海南省直辖县级单位·七年级统考期中）如图，已知：，，，求△AOE的面积（

）A．3.5 B．2.5 C．6 D．79．（2023春·七年级课时练习）如图在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为，，，则的面积是（

）A．5 B．10 C．75 D．1510．（2021春·河南信阳·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，…，第n次移动到．则的面积是（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2022春·甘肃武威·七年级校考期末）平面直角坐标系中，由点组成的的面积是．12．（2015秋·山东滨州·八年级阶段练习）如图，A，B两点的坐标分别是A(1，2)，B(2，0)，则的面积是．13．（2019春·上海浦东新·七年级统考阶段练习）在直角坐标平面内有一个三角形，它的三个顶点坐标分别是、、，那么这个三角形的面积等于.14．（2023春·吉林松原·八年级校联考期中）在平面直角坐标系中，有、、三点，则的面积是．15．（2023春·山西临汾·七年级统考期中）如图，，，，，点P在x轴上，直线平分四边形的面积，则的长为．

16．（2022春·安徽滁州·九年级校考阶段练习）已知平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标为、、，连接交于点D，则三角形的面积=．17．（2019秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）已知平面直角坐标系中，三点的坐标分别是、、，若点为直线上方坐标轴上一点，满足与的面积相等，则点的坐标为．18．（2021春·全国·七年级专题练习）在平面直角坐标系中，对于任意三点A、B、C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”：任意两点纵坐标的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为A（1，2）、B（-3，1）、C（2，-2），则“水平底”=5，“铅垂高”=4，“矩面积”S=20．若D（1，2）、E（-2，1），F（0，t）三点的“矩面积”S=15，则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023春·四川泸州·八年级四川省泸县第二中学校考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中点，，，．（1）求四边形的面积（2）点为轴上一点，且的面积等于四边形的面积的一半，求点的坐标．20．（8分）（2022春·河北张家口·八年级统考期中）写出如图中△ABC各顶点的坐标且求出此三角形的面积．21．（10分）（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足．

（1）填空：________，________；（2）如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示的面积；（3）在（2）条件下，当时，在轴上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．22．（10分）（2023春·江西南昌·七年级江西师范大学附属外国语学校校考期中）如图，点A，B分别在x轴和y轴上，已知，，点C在第四象限且到两坐标轴的距离都为2．

（1）直接填写点A，B，C的坐标：A(，)，B(，)，C(，)；（2）求三角形的面积；（3）点D为与x轴的交点，运用（2）中的结论求点D的坐标．23．（10分）（2023春·北京海淀·七年级北京市十一学校校考期中）已知，按要求解答下列问题．（1）如图1.①作边上的高线；②通过测量、计算得的面积约为______；（结果保留一位小数）（2）如图2，在正方形网格中，点、、是网格线交点，建立平面直角坐标系，使得，．①补全平面直角坐标系；②点在直线上，若，则点的坐标为______24．（12分）（2023春·湖北孝感·七年级统考期中）【知识呈现】当三角形的三边都不与坐标轴平行时，对于三角形的面积因不易求出底边和高的长度，所以不能直接利用三角形的面积公式来求，但可以将不规则图形运用补法或割法转化成规则的图形（如长方形，梯形），再运用和、差关系进行求解．【问题解答】在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．

（1）如图，分别以点，，向坐标轴作垂线构造长方形，求的面积；（2）在图中过点作轴交于点，如图．①求的长；②猜想：的面积与的数量关系式为______．参考答案：1．C【分析】根据三角形的面积公式和已知条件列等量关系式求解即可．【详解】解：假设直角坐标系的原点为O，则直线与坐标轴围成的三角形是以、为直角边的直角三角形，∵和点，∴，，∴，∴，∴．故选：C【点拨】本题主要考查了三角形的面积和直角坐标系的相关知识，需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有2个．2．C【分析】根据已知可得：，，然后三角形的面积公式列式计算即可解答．【详解】解：∵，，，∴，，∵三角形的面积等于，∴，即，∴，∴或，∴或，故选：C．【点拨】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．3．D【分析】根据三角形面积公式求出OC的长即可得到答案．【详解】解：∵点B的坐标为（4，0），∴OB=4，∵△ABC的面积为10，∴，∴OC=5，∴点C的坐标为（0，5）或（0，-5），故选D．【点拨】本题主要考查了坐标与图形，正确求出OC的长是解题的关键．4．C【分析】作CD⊥x轴于D，分别求出AB=6，CD=4，根据三角形面积公式即可求解.【详解】解：如图，作CD⊥x轴于D，由图形得AB=6，∵点C坐标为(－4，4)，CD⊥x轴于D，∴CD=4，∴.故选：C【点拨】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，理解平面直角坐标系中点的坐标的意义是解题关键.5．C【分析】根据，即可求解．【详解】解：如图所示，，，，∵图上一个单位长度表示10米，∴，故选：C．【点拨】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．6．A【分析】根据坐标系，利用梯形的面积减去多余三角形的面积即可求解．【详解】解：如图所示，过点作轴，过点分别作垂直于，垂足为点，∵，，，∴，，则∴三角形的面积是故选：A．【点拨】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．7．A【分析】根据三角形面积公式，结合题意列出方程并求解即可．【详解】解：如下图，当AB将图案分成面积相等的两部分时，则有，即，解得．故选：A．【点拨】本题主要考查了坐标与图形的性质，根据题意列出方程是解题关键．8．A【分析】根据点的坐标，求得，根据进行计算即可求解．【详解】解：，，，，，则故选A【点拨】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．9．A【分析】过点A做垂直于x轴，垂足为D，则，过点C做垂直于x轴，垂足为E，则，再分别求解利用的面积的面积的面积，从而可得答案．【详解】解：，，过点A做垂直于x轴，垂足为D，则，过点C做垂直于x轴，垂足为E，则，的面积的面积的面积，，，，，，，，∴的面积，的面积，∴的面积．故选A．【点拨】本题考查的是坐标与图形，三角形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．10．A【分析】从A1移动到A4作为一个循环，共移动了4次，水平向前移动了2m，则第2020次移动到A2020，此时移动了2021÷4=505个循环，水平向前移动了2×505=1010（m），所以，点A2021的坐标（1011，0），则OA2021=1011（m），则△OA2A2021的底边为OA2021，高为1m，则根据三角形面积公式就可以求得．【详解】解：OA2021=2020÷4×2+1=1011（m），△OA2A2021的面积=×1011×1=505.5（m2）．故选：A．【点拨】本题考查了点的规律，通过观察发现点的坐标变化规律，找到三角形的顶点坐标，然后计算出底和高，由此计算出三角形的面积．11．12【分析】根据A和两点的纵坐标相等，可得线段的长，再根据点的纵坐标，可得以为底的的高，从而的面积可求．【详解】解：点，，，点在直线上，∵直线AB：与直线平行，且平行线间的距离为，故答案为：．【点拨】本题考查了三角形的面积计算，明确平面直角坐标系中的点的坐标特点及求相应线段的长，是解题的关键．12．2．【详解】试题分析：由题意可知：A点的纵坐标2是△ABO的高，OB的长是B点的横坐标2，所以此三角形的面积等于底乘以高除以2等于2×2÷2=2．考点：平面直角坐标系中求图形的面积．13．12【分析】首先利用坐标系画出△，然后利用三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图所示：△的面积为：，故答案为12．【点拨】此题主要考查了坐标与图形性质，关键是建立坐标系，确定、、三点位置．14．6【分析】画出简图，根据三角形的面积公式解答即可．【详解】解：如图，，则的面积；故答案为：6．

【点拨】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．15．3【分析】作轴，根据四边形的面积求得四边形的面积，设点，则，由直线平分四边形的面积列出方程求解可得．【详解】解：过点C作轴于点E，∵，，，，∴，

∴四边形的面积，设点，则，∵直线平分四边形的面积，∴，∴，∴，∴．故答案为：3．【点拨】本题考查坐标与图形的性质，熟练掌握割补法求四边形的面积及由分割的面积间的关系列出方程是解题的关键．16．【分析】利用等高三角形面积之比等于对应底的比计算即可．【详解】解：过作轴于点，，，，，，，，，即，，．故答案为：．【点拨】本题考查的三角形的面积问题，解题的关键是熟练掌握等高三角形面积之比等于对应的底的比．17．或【分析】根据题意在平面直角坐标系作出三点，作直线，连接，可求出的面积．分析可得点有两种情况，一种在轴上，一种在轴上，分别以和为底，求其长度即可．【详解】解:①当点在轴上，如图由题意得，，．，所以．②当点在轴上，如图由题意得，，，所以，故答案为：或．【点拨】本题考查平面直角坐标系中点的坐标与三角形面积，作出图形，找到数量关系列出等式是解答关键．18．−3或6．【分析】根据矩面积的定义表示出水平底”a和铅垂高“h，利用分类讨论对其铅垂高“h进行讨论，从而列出关于t的方程，解出方程即可求解．【详解】解：∵D（1，2）、E（−2，1）、F（0，t），∴“水平底”a＝1−（−2）＝3．“铅垂高“h＝1或|2−t|或|1−t|①当h＝1时，三点的“矩面积”S＝1×3＝3≠15，不合题意；②当h＝|2−t|时，三点的“矩面积”S＝3×|2−t|＝15，|2−t|＝5，解得：t＝−3或t＝7（舍去）；③当h＝|1−t|时，三点的“矩面积”S＝3×|1−t|＝15，|1−t|＝5，解得：t＝−4（舍去）或t＝6；综上：t＝−3或6．故答案为：−3或6．【点拨】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题．19．（1）23；（2）或．【分析】（1）分别过、作轴的垂线，垂足分别为、，分别计算AF、DF、BE的长，根据三角形面积公式、梯形面积公式分别解得，，即可解题；（2）设，根据题意，结合三角形面积公式及绝对值的性质化简解题即可．【详解】解：（1）分别过、作轴的垂线，垂足分别为、，因为，，，，所以，，，所以，所以，所以，所以．（2）设则有即解得：所以所以点的坐标为或．【点拨】本题考查坐标与图形的性质、三角形面积、绝对值的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．20．A（2，2）、B（-2，-1）、C（3，-2），三角形的面积是9.5．【分析】首先根据坐标的定义正确写出三个顶点的坐标，再根据矩形的面积减去三个直角三角形的面积进行计算．【详解】解：根据图形得：A（2，2）、B（-2，-1）、C（3，-2），三角形的面积是=5×4-6-2-2.5=9.5．故答案为A（2，2）、B（-2，-1）、C（3，-2），三角形的面积是9.5．【点拨】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会用分割法求三角形的面积．21．(1)，(2)(3)存在，使【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，即可得出答案；（2）过点M作轴于点N，为三角形的高，根据三角形面积公式即可得出答案；（3）结合（2）求出三角形的面积为，可得，即可确定点P的坐标．【详解】（1）解：∵，，，∴，，∴，．故答案为：，3；（2）解：如图，过点M作轴于点N，

∵点在第三象限，∴，∴由（1）得∵，∴三角形的面积；（3）解：存在，由（2）得：三角形的面积，，，假设存在，使，

，即，

，，

∴存在

使．