一阶电路、二阶电路

一阶电路、二阶电路动态电路的方程及其初始条件1一阶电路的阶跃响应5一阶电路的零输入响应2一阶电路的冲激响应6一阶电路的零状态响应3一阶电路的全响应4首页本章重点一阶电路一阶的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；

重点一阶电路的阶跃响应概念及求解。1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；返回含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。1.动态电路

1动态电路的方程及其初始条件

当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。下页上页特点返回例0ti过渡期为零电阻电路下页上页+-usR1R2（t=0）i返回i=0,uC=Usi=0,uC=0k接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态：k未动作前，电路处于稳定状态：电容电路下页上页k+–uCUsRCi

(t=0)+-

(t→

)+–uCUsRCi+-前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1USuct0?i有一过渡期返回uL=0,i=Us/Ri=0,uL=0k接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路：k未动作前，电路处于稳定状态：电感电路下页上页k+–uLUsRi

(t=0)+-L

(t→

)+–uLUsRi+-前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1US/Rit0?uL有一过渡期返回过渡过程产生的原因

电路内部含有储能元件L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。下页上页返回应用KVL和电容的VCR得：2.动态电路的方程下页上页

(t>0)+–uCUsRCi+-例RC电路返回应用KVL和电感的VCR得：下页上页

(t>0)+–uLUsRi+-RL电路返回有源电阻电路一个动态元件一阶电路下页上页结论

含有一个动态元件电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。返回一阶电路一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。描述动态电路的电路方程为微分方程；动态电路方程的阶数通常等于电路中动态元件的个数。二阶电路二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。下页上页结论返回复频域分析法时域分析法求解微分方程经典法状态变量法数值法卷积积分拉普拉斯变换法状态变量法付氏变换本章采用

工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。下页上页返回

t=0＋与t=0－的概念认为换路在t=0时刻进行0－

换路前一瞬间

0＋

换路后一瞬间3.电路的初始条件初始条件为t=0＋时u，i

及其各阶导数的值。下页上页注意0f(t)0－0＋t返回t=0+

时刻iucC+-电容的初始条件0下页上页当i()为有限值时返回q

(0+)=q

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)

换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。q

=CuC电荷守恒下页上页结论返回电感的初始条件t=0+时刻0下页上页当u为有限值时iLuL+-返回

L

(0＋)=

L

(0－)iL(0＋)=iL(0－)磁链守恒

换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。下页上页结论返回

L

(0+)=

L

(0－)iL(0+)=iL(0－)qc(0+)=qc

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)换路定律电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。

换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。

换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。换路定律反映了能量不能跃变。下页上页注意返回求初始值的步骤:1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)；2.由换路定律得uC(0+)

和iL(0+)。3.画0+等效电路。由0+电路求所需各变量的0+值。b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。a.换路后的电路（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。下页上页返回电路初始值的确定(2)由换路定律uC

(0+)=uC

(0－)=8V(1)

由0－电路求

uC(0－)uC(0－)=8V(3)

由0+等效电路求

iC(0+)iC(0－)=0iC(0+)例1求

iC(0+)电容开路下页上页+-10ViiC+uC-S10k40k+-10V+uC-10k40k+8V-0+等效电路+-10ViiC10k电容用电压源替代注意返回iL(0+)=iL(0－)=2A例2t=0时闭合开关k,求

uL(0+)先求应用换路定律:电感用电流源替代解电感短路下页上页iL+uL-L10VS1

4

+-iL10V1

4

+-由0+等效电路求

uL(0+)2A+uL-10V1

4

+-注意返回iL(0+)=iL(0－)=iSuC(0+)=uC(0－)=RiSuL(0+)=-RiS求iC(0+),uL(0+)例3解由0－电路得：下页上页由0+电路得：S(t=0)+–uLiLC+–uCLRiSiCRiS0－电路uL+–iCRiSRiS+–返回例4求k闭合瞬间各支路电流和电感电压解下页上页由0－电路得：由0+电路得：iL+uL-LS2

+-48V3

2

CiL2

+-48V3

2

+－uC返回12A24V+-48V3

2

+-iiC+-uL求k闭合瞬间流过它的电流值解确定0－值给出0＋等效电路下页上页例5iL+20V-10+uC10

10

－iL+20V-LS10+uC10

10

C－返回1A10V+uL－iC+20V-10+10

10

－2一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能产生的电压和电流。1.RC电路的零输入响应已知

uC

(0－)=U0uR=Ri零输入响应下页上页iS(t=0)+–uRC+–uCR返回特征根特征方程RCp+1=0则下页上页代入初始值

uC

(0+)=uC(0－)=U0A=U0iS(t=0)+–uRC+–uCR返回下页上页或返回tU0uC0I0ti0令

=RC,称

为一阶电路的时间常数电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；连续函数跃变响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关;下页上页表明返回时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

=RC

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短电压初值一定：R

大（C一定）

i=u/R

放电电流小放电时间长U0tuc0

小

大C

大（R一定）

W=Cu2/2

储能大物理含义下页上页返回

:电容电压衰减到原来电压38%所需的时间。工程上认为,经过3

－5

,

过渡过程结束。U00.368U00.135U00.05U00.007U0t0

2

3

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

下页上页注意返回例1图示电路中的电容原充有24V电压，求k闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：+uC4

5F－i1t>0等效电路下页上页i3S3+uC2

6

5F－i2i1返回+uC4

5F－i1分流得：下页上页i3S3+uC2

6

5F－i2i1返回2.

RL电路的零输入响应特征方程

Lp+R=0特征根代入初始值A=iL(0+)=I0t>0下页上页iLS(t=0)USL+–uLRR1+-iL+–uLR返回tI0iL0连续函数跃变电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；下页上页表明-RI0uLt0iL+–uLR返回响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关;下页上页令

称为一阶RL电路时间常数

=L/R时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短L大

W=LiL2/2

起始能量大R小

P=Ri2

放电过程消耗能量小放电慢，

大

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短物理含义电流初值iL(0)一定：返回iL

(0+)=iL(0－)=1AuV

(0+)=－10000V

造成V损坏。例1t=0时,打开开关S，求uv。电压表量程：50V解下页上页iLS(t=0)+–uVL=4HR=10

VRV10k

10V返回例2t=0时,开关S由1→2，求电感电压和电流及开关两端电压u12。解下页上页i+–uL6

6Ht>0iLS(t=0)+–24V6H3

4

4

6

+－uL2

12返回下页上页i+–uL6

6Ht>0iLS(t=0)+–24V6H3

4

4

6

+－uL2

12返回一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC电路RL电路下页上页小结返回衰减快慢取决于时间常数

同一电路中所有响应具有相同的时间常数。下页上页小结

=RC

=L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。RC电路RL电路返回动态元件初始能量为零，由t>0电路中外加激励作用所产生的响应。方程：3一阶电路的零状态响应解答形式为：1.RC电路的零状态响应零状态响应非齐次方程特解齐次方程通解下页上页iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0－)=0+–非齐次线性常微分方程返回与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解变化规律由电路参数和结构决定的通解通解（自由分量，暂态分量）特解（强制分量）的特解下页上页返回全解uC(0+)=A+US=0A=－US由初始条件uC(0+)=0

定积分常数

A下页上页从以上式子可以得出：返回-USuC‘uC“USti0tuC0电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：连续函数跃变稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）下页上页表明+返回响应变化的快慢，由时间常数＝RC决定；

大，充电慢，

小充电就快。能量关系电容储存能量：电源提供能量：电阻消耗能量：

电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。下页上页表明RC+-US返回例t=0时,开关S闭合，已知

uC(0－)=0，求(1)电容电压和电流,(2)uC＝80V时的充电时间t

。解(1)这是一个RC电路零状态响应问题，有：(2)设经过t1秒，uC＝80V下页上页500

10

F+-100VS+－uCi返回2.RL电路的零状态响应已知iL(0－)=0，电路方程为：tiL0下页上页iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—返回uLUSt0下页上页iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—返回例1t=0时,开关S打开，求t>0后iL、uL的变化规律。解这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：t>0下页上页返回iLS+–uL2HR80

10A200

300

iL+–uL2H10AReq例2t=0开关k打开，求t>0后iL、uL及电流源的电压。解这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：下页上页iL+–uL2HUoReq+－t>0返回iLK+–uL2H10

2A10

5

+–u4一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。以RC电路为例，电路微分方程：1.全响应全响应下页上页iS(t=0)US+–uRC+–uCR解答为：

uC(t)=uC'+uC"特解

uC'=US通解

=RC返回uC

(0－)=U0uC

(0+)=A+US=U0

A=U0

-US由初始值定A下页上页强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)返回2.全响应的两种分解方式uC"-USU0暂态解uC'US稳态解U0uc全解tuc0全响应

=

强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰下页上页返回全响应=

零状态响应

+

零输入响应着眼于因果关系便于叠加计算下页上页零输入响应零状态响应S(t=0)USC+–RuC(0－)=U0+S(t=0)USC+–RuC(0－)=U0S(t=0)USC+–RuC(0－)=0返回零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0下页上页返回例1t=0

时,开关k打开，求t>0后的iL、uL。解这是RL电路全响应问题，有：零输入响应：零状态响应：全响应：下页上页iLS(t=0)+–24V0.6H4

+－uL8

返回或求出稳态分量：全响应：代入初值有：6＝2＋AA=4例2t=0时,开关K闭合，求t>0后的iC、uC及电流源两端的电压。解这是RC电路全响应问题，有：下页上页稳态分量：返回+–10V1A1

+－uC1

+－u1

下页上页全响应：返回+–10V1A1

+－uC1

+－u1

3.三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：令

t=0+其解答一般形式为：下页上页特解返回

分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。用0+等效电路求解用t→

的稳态电路求解下页上页直流激励时：A注意返回例1已知：t=0

时合开关，求换路后的uC(t)解tuc2(V)0.6670下页上页1A2

1

3F+-uC返回例2t=0时,开关闭合，求t>0后的iL、i1、i2解三要素为：下页上页iL+–20V0.5H5

5

+–10Vi2i1三要素公式返回例3已知：t=0时开关由1→2，求换路后的uC(t)解三要素为：下页上页4

+－4

i12i1u+－2A4

1

0.1F+uC－+－4

i12i18V+－12返回下页上页例4已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t)

。+–1H0.25F5

2

S10Vi解三要素为：返回下页上页+–1H0.25F5

2

S10Vi返回已知：电感无初始储能t=0

时合S1

,t=0.2s时合S2，求两次换路后的电感电流i(t)。0<t<0.2s解下页上页例5i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)3

2

-返回t>0.2s下页上页i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)3

2

-返回(0<t

0.2s)(t

0.2s)下页上页it(s)0.25(A)1.2620返回5一阶电路的阶跃响应1.单位阶跃函数

定义t

(t)01

单位阶跃函数的延迟t

(t-t0)t001下页上页返回t=0合闸

i(t)=Is在电路中模拟开关的动作t=0合闸

u(t)=E

单位阶跃函数的作用下页上页SUSu(t)u(t)返回Isku(t)起始一个函数下页上页tf(t)0t0返回

用单位阶跃函数表示复杂的信号例1

(t)tf(t)101t0tf(t)0-

(t-t0)t0例21t1f(t)0243下页上页返回例41t1f(t)0例31t1f(t)0243下页上页返回和的区别2.一阶电路的阶跃响应激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。阶跃响应下页上页iC+–uCRuC(0－)=0注意返回t0i下页上页tuC10返回tiC0激励在t=t0

时加入，则响应从t=t0开始。t-t0(t-t0)-t不要写为：下页上页iC

(t-t0)C+–uCRt0注意返回解题方法：不论激励为单位阶跃函数的哪种组合，先假设激励为单位阶跃函数。求图示电路中电流iC(t）例下页上页10k10kus+-ic100FuC(0－)=00.510t(s)us(V)05k0.5us+-ic100FuC(0－)=0等效返回应用叠加定理下页上页5k+-ic100F5k+-ic100F5k+-ic100F阶跃响应为：返回由齐次性和叠加性得实际响应为：下页上页5k+-ic100F5k+-ic100F返回下页上页分段表示为：返回分段表示为：t(s)iC(mA)01-0.6320.5波形0.368下页上页返回6一阶电路的冲激响应1.单位冲激函数

定义t(t)10单位脉冲函数的极限下页上页返回

单位冲激函数的延迟t

(t-t0)t00（1）

单位冲激函数的性质冲激函数对时间的积分等于阶跃函数下页上页返回冲激函数的‘筛分性’

同理例t

(t)10f(t)f(0)

f(t)在t0处连续f(0)

(t)注意下页上页返回2.一阶电路的冲激响应激励为单位冲激函数时，电路中产生的零状态响应。冲激响应下页上页返回零状态R(t)单位阶跃响应和单位冲激响应关系单位阶跃响应单位冲激响应h(t)s(t)单位冲激

(t)单位阶跃

(t)激励响应下页上页返回解题方法：单位冲激响应先按单位阶跃响应来算，对单位阶跃响应结果求导即为单位冲激响应。先求单位阶跃响应：求:is(t)为单位冲激时电路响应uC(t)和iC(t).例解uC(0+)=0uC(

)=R

=RC

iC(0+)=1iC(

)=0再求单位冲激响应,令：下页上页返回令uC(0－)=0iCRiS(t)C+-uC0下页上页返回uCRt0iC1t0uCt0冲激响应阶跃响应iCt10下页上页返回作业1:7-2,7-25,7-34二阶电路的零输入响应1二阶电路的零状态响应和全响应2首页本章重点二阶电路1二阶电路的零输入响应uC(0+)=U0i(0+)=0已知：1.二阶电路的零输入响应以电容电压为变量：电路方程：下页上页RLC+-iuc返回特征方程：电路方程：以电容电压为变量时的初始条件：uC(0+)=U0i(0+)=0下页上页返回2.零输入响应的三种情况过阻尼临界阻尼欠阻尼特征根：下页上页返回下页上页返回U0tuc设|P2|>|P1|下页上页0电容电压返回非震荡放电t=0+

ic=0,t=

ic=0ic>0t=tm

时ic

最大tmic下页上页tU0uc0电容和电感电流返回U0uctm2tmuLic0<t<tm，i增加,uL>0，t>tmi减小,uL

<0t=2tm时

uL

最大下页上页RLC+-t0电感电压返回能量转换关系0<t<tm

uC

减小，i

增加。t>tmuC减小，i

减小.下页上页RLC+-RLC+-tU0uCtm2tmuLiC0返回uc

的解答形式：经常写为：下页上页共轭复根返回δωω0

下页上页ω，ω０，δ的关系返回t=0时

uc=U0uC=