专题04 待定系数求二次函数的解析式(解析版)（重点突围）

专题04待定系数求二次函数的解析式考点一一点一参数代入求二次函数的解析式考点二两点两参数代入求二次函数的解析式考点三三点三参数代入求二次函数的解析式考点四已知顶点式求二次函数的解析式考点五已知交点式求二次函数的解析式考点一一点一参数代入求二次函数的解析式例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线y＝x2＋（3﹣m）x﹣2m＋2(1)若抛物线经过坐标原点，求此时抛物线的解析式；(2)该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；【答案】(1)y＝x2+2x(2)（﹣2，0）【分析】（1）用待定系数法将（0，0）代入进行计算即可得；（2）设抛物线的顶点坐标为（p，q），即可得，，顶点移到最高处，即是q取最大值，而进行计算，利用二次函数的性质即可得．（1）解：将（0，0）代入得：，解得m＝1，∴抛物线的解析式为；（2）解：设抛物线的顶点坐标为（p，q），则，，顶点移到最高处，即是q取最大值，而＝＝＝，∵，∴当时，q最大值是0，此时，∴当顶点移到最高处时，抛物线的顶点坐标为（﹣2，0）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是作为待定系数法，二次函数的性质．【变式训练】1．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学九年级开学考试）已知抛物线（）经过点（，0）．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．(2)直线l交抛物线于点A（，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），求出点P纵坐标的取值范围．【答案】(1)，顶点坐标为(2)【分析】（1）将点（-2，0）代入求解；（2）分别求出点A、B坐标，根据图像开口方向及顶点坐标求解．（1）解：把（-2，0）代入，可得，解得，∴抛物线的函数表达式为，∵，∴抛物线顶点坐标为；（2）把代入，可得，∴，把代入函数解析式得，解得或，∴或，∵n为正数，∴，∴点A坐标为，点B坐标为，∵抛物线开口向上，顶点坐标为，∴抛物线顶点在下方，∴，．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式以及二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式．考点二两点两参数代入求二次函数的解析式例题：（2022·福建·莆田二中九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线图像恰好经过A（2，﹣9），B（4，﹣5）两点，求该抛物线解析式．【答案】【分析】利用待定系数法解答，即可求解．【详解】解：把A（2，﹣9），B（4，﹣5）代入，得：，解得：，所以该抛物线解析式为．【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式的方法是解题的关键．【变式训练】1．（2023·湖北·襄州七中九年级阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点A(2，0)，B(0，-6)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．【答案】(1)(2)6【分析】（1）将点A及点B的坐标代入即可得出b、c的值，继而可得出二次函数解析式；（2）根据（1）求得的解析式，可得出对称轴，也可得出AC的长度，根据可得出答案．（1）解：（1）将点A（2，0）、B（0，−6）代入得：，解得：，故这个二次函数的解析式为：．（2）∵二次函数的解析式为：，∴二次函数的对称轴为x＝4，∴（4，0），B（0，−6）∴OC＝4，，∵点A（2，0），∴AC＝2，故．【点睛】此题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积，要注意掌握点的坐标与线段长度之间的转换．2．（2021·山东·嘉祥县金屯镇中学九年级阶段练习）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于点A（2，0）和点B（﹣6，0），与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积与△ABC的面积相等，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，在对称轴上存在点Q，使△CMQ是以MC为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．【答案】(1)y＝(2)存在，点P的坐标为：（﹣2+，﹣6）或（﹣2﹣，﹣6）或（﹣4，6）(3)点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）【分析】（1）把A（2，0）和B（﹣6，0）代入解方程组即可；（2）先假设存点P，设出P点坐标，利用△PAB的面积与△ABC的面积相等建立方程求解即可；（3）如图1中，分三种情形①当时，②当时，③当时，分别求解即可．（1）解：（1）把A（2，0）和B（﹣6，0）代入，得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）存在，P（﹣2+，﹣6）或（﹣2﹣，﹣6）或（﹣4，6），理由如下：∵A（2，0）、B（﹣6，0）、，∴AB＝8，C（0，6），OC＝6，设点P的纵坐标为，由△PAB的面积与△ABC的面积相等，得：，∴．解得：或．当时，＝﹣6，解得，当时，＝6，解得：（此时与点C重合，舍去），，综上所述，点P的坐标为：（﹣2+，﹣6）或（﹣2﹣，﹣6）或（﹣4，6）；（3）解：如图∵抛物线的解析式为：，∴它的对称轴为直线x＝﹣2，∴M（﹣2，0），设点Q坐标为（﹣2，t）．∵中，当x＝0时，y＝6，∴C（0，6），∵M（﹣2，0），∴，，．①当CQ＝QM时，，解得，∴点Q的坐标为，此时，MC不是腰，不符合题意，舍去；②当CM＝QM时，，解得：，∴点Q的坐标为或，③当CM＝CQ时，，解得：t＝0（舍去），或t＝12，∴Q点坐标为综上所述，符合条件的点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、三角形面积问题等知识，解题的关键是分类讨论思想的运用，属于中考压轴题．考点三三点三参数代入求二次函数的解析式例题：（2021·四川·邻水县坛同镇初级中学九年级阶段练习）已知二次函数y＝c的图象经过（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（1，1）三点．(1)求这个函数的解析式；(2)写出此抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性，最值．【答案】(1)y＝(2)抛物线的开口象上，对称轴为直线x＝﹣，顶点坐标为（﹣，﹣），当x≤﹣时，y随x的增大而减小，当x＞时，y随x的增大增大，当x＝时，y取最小值﹣．【分析】（1）用待定系数法直接可得函数的解析式；（2）配成顶点式，根据二次函数性质可得答案．（1）解：把（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（1，1）代入y＝得：解得，∴这个函数的解析式为y＝；（2）∵y＝2+x﹣2＝2﹣，∴抛物线的开口象上，对称轴为直线x＝﹣，顶点坐标为（﹣，﹣），当x≤﹣时，y随x的增大而减小，当x＞时，y随x的增大增大，当x＝时，y取最小值﹣．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出二次函数解析式．【变式训练】1．（2022·云南·会泽县以礼中学校九年级阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A（-2，0）和点B（4，0），与y轴交于点C（0，4）(1)求抛物线的解析式．(2)点D在抛物线的对称轴上，求AD+CD的最小值．(3)点P是直线BC上方的点，连接CP，BP，若△BCP的面积等于3，求点P的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）连接BD，根据二次函数的的对称性可得AD=BD，可得到当点B，D，C三点共线时，AD+CD的值最小，最小值等于BC的长，利用勾股定理求出BC，即可求解；（3）过点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，先求出直线BC的解析式，设点，则点，可得，再根据△BCP的面积等于3，列出方程，即可求解．（1）解：把点A（-2，0），点B（4，0），点C（0，4）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）如图，连接BD，∵点D在抛物线的对称轴上，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD≥BC，∴当点B，D，C三点共线时，AD+CD的值最小，最小值等于BC的长，∵点B（4，0），点C（0，4），∴OB=OC=4，∴；（3）解：如图，过点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，设直线BC的解析式为，把点B（4，0），点C（0，4）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为，设点，则点，∴，∵△BCP的面积等于3，∴，解得：m=1或3，∴点P的坐标为或．【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．2．（2022·甘肃·武威第九中学九年级阶段练习）如图，已知抛物线与x轴的交点坐标A(﹣4，0)，B(2，0)，并过点C(﹣2，﹣2)，与y轴交于点D．(1)求出抛物线的解析式；(2)求出△ABD的面积；(3)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使BE+DE的值最小，如果有，写出点E的坐标；如果没有，说明理由．【答案】(1)y＝(2)△ABD的面积为6(3)存在，点E的坐标为(﹣1，﹣)【分析】（1）利用待定系数法将A，B，C三点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可求得结论；（2）利用抛物线解析式求得点D坐标，利用点的坐标表示出线段OA，OB，OD的长度，根据三角形的面积公式即可求得结论；（3）连接AD交对称轴于点E，则此时BD+BE最小；分别求得对称轴方程和直线AD的解析式，联立后解方程组即可求得点E坐标．（1）∵物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0），B（2，0），C（﹣2，﹣2），∴，解得：．∴抛物线的解析式为y＝．（2）令x＝0，则y＝﹣2，∴D（0，﹣2）．∴OD＝2．∵A（﹣4，0），B（2，0），∴OA＝4，OB＝2，∴AB＝OA+OB＝6．∴AB•AD＝×6×2＝6．∴△ABD的面积为6．（3）在抛物线对称轴上存在一点E，使BE+DE的值最小，理由：∵y＝＝＝，∴抛物线y＝的对称轴为直线x＝﹣1．连接AD交对称轴于点E，则此时BD+BE最小，如图，设直线AD的解析式为y＝kx+m，由题意得：，解得：．∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣2．∴．解得：．∴E（﹣1，﹣）．∴抛物线对称轴上存在一点E，使BE+DE的值最小，点E的坐标为（﹣1，﹣）【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象的性质，轴对称的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．3．（2021·河南·睢县第二中学九年级期中）如图，抛物线经过A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)（1，1）(3)存在，，，，，【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（3，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．（1）解：设抛物线的解析式为，，，三点在抛物线上，，解得．抛物线的解析式为：．（2）抛物线的解析式为，其对称轴为直线：．连接，设直线的解析式为，，，解得．直线的解析式为．当时，．；（3）存在．如图2所示．①当点在轴上方时，抛物线的对称轴为直线，，；②当点在轴下方时，如图，过点作轴于点，△△．，即点的纵坐标为．．解得或，，，，．综上所述，点的坐标为，，，，．【点睛】本题考查的是二次函数综合知识，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．考点四已知顶点式求二次函数的解析式例题：（2020·浙江省义乌市廿三里初级中学九年级阶段练习）已知抛物线经过点，，三点，求抛物线的解析式．【答案】【分析】解法一：根据A（﹣2，0），B（，0），可设交点式，代入C点坐标即可求得二次函数的解析式；解法二：可设一般式，代入A、B、C点坐标即可求二次函数的解析式．【详解】解：解法一：设

代入C（0，2）得解得：，∴，解法二：设

代入A（﹣2，0），B（，0），C（0，2）三点，得

，解得：，【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．【变式训练】1．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，连接．(1)求此抛物线的解析式；(2)抛物线对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，，【分析】（1）设抛物线的解析式为，再把代入求出的值即可；（2）根据（1）中抛物线的解析式，求出抛物线的对称轴及顶点坐标，设出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点的坐标，所以可得出的面积，进而得出点的坐标．（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，∴设抛物线的解析式为，∵过点，∴，解得，∴抛物线的解析式为，即；（2）解：∵抛物线的解析式为；∴其对称轴，顶点的坐标为，∵点在抛物线的对称轴上，∴设，∵，，∴设过点、的直线解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，∴直线与轴的交点的坐标为，∴，∴，∵，∴，解得，当点在点上方时，，解得，∴此时；当点在点下方时，，解得，∴此时，综上所述，可得：，．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、求二次函数解析式、三角形的面积公式，解本题的关键在明确题意，利用二次函数性质和数形结合思想解答问题．2．（2022·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）已知关于x的二次函数的图象与x轴交于（-1，0），(3，0)两点，且图象过点(0，3)，(1)求这个二次函数的解析式；(2)写出它的开口方向、对称轴【答案】(1)(2)开口向下，对称轴为直线【分析】（1）设这个二次函数的解析式为，然后把点(0，3)代入，即可求解；（2）把二次函数的解析式化为顶点式，即可求解．（1）解：设这个二次函数的解析式为，把点(0，3)代入得：，解得：，∴这个二次函数的解析式为；（2）解：∵，∴二次函数开口向下，∵，∴二次函数的对称轴为直线．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．3．（2022·河南·开封市东信学校九年级阶段练习）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数解析式；(2)设点M是直线l上的一个动点，当点M到点A，点C的距离之和最短时，求点M的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用两点式和待定系数法求函数解析式即可；（2）连接BC，BC与直线l的交点即为M．（1）解：设二次函数的解析式为：，将点C（0，﹣3）代入得：，解得：，∴；∴函数的解析式为：．（2）解：抛物线的对称轴为：；点A关于直线l的对称点为点B，连接BC，则BC是点M到点A，点C的距离之和的最小值，设直线BC的解析式为：，则：，解得：，∴，设，代入得：，∴．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，准确求出函数的解析式，利用二次函数的性质进行解题是解题的关键．本题的动点问题是将军饮马问题，找到定点的对称点，与另一个定点形成的线段即为最短距离．考点五已知交点式求二次函数的解析式例题：（2021·宁夏·石嘴山市第九中学九年级期中）已知抛物线的顶点为P（﹣2，3），且过A（﹣3，0），求此二次函数的解析式．【答案】【分析】设抛物线的顶点式，将顶点P（﹣2，3）及点A（﹣3，0）代入即可解答．【详解】解：设二次函数解析式为：，∵顶点坐标为P（﹣2，3），∴，将点A（﹣3，0）代入得，解得：，∴．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题目给出的条件，正确设出二次函数解析式是解题的关键．【变式训练】1．（2022·湖北·浠水县兰溪镇河口中学九年级阶段练习）已知某二次函数的图象经过点（2，-6），当x＝1时，函数的最大值为-4，求此二次函数的解析式．【答案】【分析】根据题意得到抛物线的顶点坐标为（1，-4），于是可设顶点式，然后把（2，-6）代入求出a的值即可．【详解】解：∵当x=1时，函数的最大值为-4，∴抛物线的顶点坐标为（1，-4），设所求二次函数解析式为，把（2，-6）代入得，解得a=-2，∴此二次函数解析式为．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．2．（2020·天津市西青区当城中学九年级阶段练习）抛物线的顶点坐标为（3，－1）且经过点（2，3），求该抛物线解析式．【答案】【分析】因为抛物线的顶点坐标为M（3，﹣1），所以设此二次函数的解析式为，把点（2，3）代入解析式即可解答．【详解】解：已知抛物线的顶点坐标为（3，﹣1），设此二次函数的解析式为，把点（2，3）代入解析式，得：a﹣1＝3，即a＝4，∴此函数的解析式为．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法．题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单．3．（2020·天津市西青区张家窝中学九年级阶段练习）已知二次函数图像的顶点坐标（-1，-3），且经过点（1，5），求此二次函数的表达式．【答案】【分析】由于已知二次函数的顶点坐标，则可设顶点式，然后把（1，5）代入求出a即可．【详解】解：设二次函数的解析式为，把（1，5）代入得a•4﹣3＝5，解得a＝2，所以二次函数的解析式为．即．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．4．（2022·湖北武汉·九年级期中）已知抛物线经过点(－1，0)，(3，0)，且函数有最小值－4．(1)求抛物线的解析式；(2)若0＜x＜4，求函数值y的取值范围．【答案】(1)（或）(2)【分析】（1）利用二次函数的对称性可由抛物线经过点(－1，0)，(3，0)，得到抛物线的对称轴为直线，则抛物线的顶点坐标为，于是可设顶点式，然后把代入求出a的值即可；（2）求得和的函数值，即可求得结论．（1）∵抛物线经过点(－1，0)，(3，0)，∴抛物线的对称轴为直线，∵函数有最小值-4，∴抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，把代入得，解得，∴抛物线的解析式为（或）．（2）∵，∴抛物线开口向上，函数有最小值为，当时，，∴当时，函数值y的取值范围是．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，求得顶点坐标是解题的关键．一、选择题1．（2021·河北唐山·九年级期中）已知抛物线过原点，你认为c的值应为（

）A． B．0 C． D．【答案】B【分析】抛物线过原点，所以抛物线经过点(0，0)．【详解】解：∵抛物线经过点(0，0)，∴c=0，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，比较简单，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．2．（2022·河北·威县第三中学九年级阶段练习）已知二次函数的图象经过，，三点，则该函数的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题已知了抛物线上三点的坐标，可直接用待定系数法求解．【详解】解：设这个二次函数的解析式是，把，，代入得：，解得：；所以该函数的解析式是．故选：C．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式．一般步骤是先设，再把对应的三个点的坐标代入解出a、b、c的值即可得到解析式．3．（2023·福建·厦门市华侨中学九年级阶段练习）已知P（，）是平面直角坐标系的点，则点P的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意得，，然后消去m得到y与x关系式即可．【详解】解：∵P（，）是平面直角坐标系中的点，∴，，∴，∴则点P的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是，故选：B．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，用含m的式子表示出x是解答本题的关键．4．（2022·陕西·九年级阶段练习）在二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列判断中不正确的是（）x…－1013…y…－3131…A．该二次函数的图象开口向下B．C．该二次函数的图象与y轴交于正半轴D．当时，y随x的增大而减小【答案】D【分析】在二次函数中，，即可得该二次函数的图像开口向下，根据表格和待定系数法得，，即可得，即二次函数的解析式为，当时，，可得该二次函数的图象与y轴的正半轴，该函数的对称轴为直线，即当时，y随着x的增大而减小，即可得．【详解】解：在二次函数中，，∴该二次函数的图象开口向下，故选项A说法正确，不符合题意；∵当时，，∴，∵当时，，∴，，∴，故选项B说法正确，不符合题意；∴二次函数的解析式为：，∵当时，，∴该二次函数的图象与y轴的正半轴，故选项C说法正确，不符合题意；该函数的对称轴为直线，∴当时，y随着x的增大而减小，故选项D说法错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的增减性．二、填空题5．（2022·浙江·九年级单元测试）二次函数与x轴交于A、B两点，且AB＝4，则c＝__．【答案】-3【分析】先利用抛物线的对称性确定A点和B点坐标，然后根据交点式可求出抛物线的解析式，从而得到c的值．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，而AB＝4，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即，∴c＝﹣3．故答案为﹣3．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：利用抛物线与x轴的交点坐标（，0），（，0）可设二次函数解析式为（a，b，c是常数，a≠0）．6．（2022·浙江·杭州市建兰中学九年级阶段练习）已知抛物线过、、三点，则这条抛物线的解析式为_________．【答案】【分析】由于已知抛物线与x的两交点坐标，则可设交点式，然后把C代入求出a的值即可．【详解】解：设抛物线解析式为，把C代入得，解得，所以抛物线解析式为，即．故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．7．（2022·辽宁大连·九年级阶段练习）已知抛物线的顶点坐标为，且其图象与x轴交于点，抛物线的解析式为___________．【答案】【分析】由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，结合抛物线与x轴的交点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．【详解】解：∵抛物线的顶点为，∴设抛物线的解析式为．将代入，得：，解得：，∴抛物线的解析式为．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，根据抛物线顶点坐标设出解析式是解题的关键．8．（2022·湖北·大悟县实验中学九年级阶段练习）二次函数中，x与y的部分对应值如下表：x…023…y…8003…则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③图象的对称轴为直线；④当时，y随x的增大而增大；⑤图象经过点．其中正确的是____________．【答案】①③⑤【分析】结合图表可以得出当x=0或2时，y=0，x=3时，y=3，根据此三点可求出二次函数解析式，从而根据抛物线的图象性质可逐个判定即可．【详解】解：∵由图表可以得出当x=0或2时，y=0，x=3时，y=3，∴，解得：，∴y=-2x，∵c=0，∴图象经过原点，故①正确；∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，故②错误；∵y=-2x=，∴抛物线的对称轴为直线，故③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=1，抛物线开口向上，∴x＞1时，y随x的增大而增大，x＜1时，y随x的增大而减小，故④错误；把x=-1代入得，y=3，∴图象经过点（-1，3），故⑤正确；综上，正确的有①③⑤．故答案为：①③⑤．【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及由解析式求函数与坐标轴的交点以及一元二次方程根的判别式的应用．三、解答题9．（2022·浙江杭州·九年级阶段练习）根据下列条件，分别求出二次函数的解析式．(1)已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）；(2)已知图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3），且对称轴为直线x＝1．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用顶点式代入顶点坐标，进而得出答案；（2）利用一般式代入，进而计算得出答案．（1）解：∵图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6），∴设二次函数的解析式为：，把（0,﹣6）代入得：，解得：a＝2，故二次函数的解析式为：；（2）解：设二次函数的解析式为，把A（﹣1,0）、B（0,3），对称轴为直线x＝1代入得：，解得：，故二次函数解析式为：．【点睛】本题考查了待定系数法求出二次函数解析式，熟练掌握待定系数法并根据条件设出合适的二次函数表达式是解本题的关键．10．（2022·浙江·瑞安市大南乡中学九年级期中）已知抛物线过两点．(1)求该拋物线的函数表达式;(2)试判断点是否在此函数图象上．【答案】(1)(2)不在【分析】（1）把两个已知点的坐标分别代入中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．【详解】（1）解：把，代入得：，解得，∴该抛物线的函数表达式为；（2）解：当时，，∵，∴不在函数图象上．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．11．（辽宁省大连市部分学校2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题）已知二次函数的图象经过和．(1)求该抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标．【答案】(1)(2)顶点坐标为【分析】（1）利用待定系数法列方程求解即可．（2）把一般式通过配方转化为顶点式即可．【详解】（1）解：把和代入，得：，解得：，∴此抛物线的解析式为；（2）∵，∴此抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及用配方法求顶点式，熟练掌握待定系数法与配方法是解题关键．12．（2022·浙江·九年级专题练习）若抛物线过三点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足，并求出此时P点的坐标．【答案】(1)(2)点P在该抛物线上滑动到或或【分析】（1）设抛物线解析式为，把代入，求出，即可求解；（2）设P的纵坐标为，根据，可得，再分别代入解析式，即可求解．（1）解：设抛物线解析式为，把代入得：，解得，所以抛物线解析式为，即；（2）解：设P的纵坐标为，∵，∴，∵，∴，∴，把代入解析式得，，解得，，把代入解析式得，，解得，，∴点P在该抛物线上滑动到或或时，满足．【点睛】此题主要考查了利用抛物线与x轴的交点坐标确定函数解析式以及二次函数的性质，二次函数图象上的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法求得解析式．13．（2022·江苏·海安市曲塘中学附属初级中学九年级阶段练习）已知抛物线，其对称轴为直线．(1)求这个二次函数的解析式；(2)当时，求y的范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据对称轴方程得到，然后解出m的值即可得到抛物线解析式；（2）根据二次函数的性质可得在时，函数取最小值，在时，函数取最大值，进而可得y的取值范围．【详解】（1）解：∵，∴抛物线对称轴为直线，∵其对称轴为直线，∴，∴，∴抛物线解析式为；（2）解：∵抛物线解析式为，∴抛物线开口向上，在时，函数有最小值，而当时，，∴当时，y的范围是．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的对称轴方程是解题关键．14．（辽宁省大连市部分学校2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题）如图，抛物线与轴交于A，对称轴是直线，直线经过点A且与抛物线交于另一点．(1)求抛物线的解析式；(2)若是位于直线上方的抛物线上的一个动点，连接，，求的面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系数法列方程即可．（2）过点作轴，交于，利用水平宽×铅锤高解题，即可．【详解】（1）解：∵直线经过点，∴令，则，∴，∴，∵对称轴是直线，∴，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）解：，解得：，，∴，过点作轴，交于，设，则，∴，∴的面积，当时，的面积最大，且最大值是【点睛】本题主要考查待定系数法解二次函数解析式及通过水平宽铅锤高求三角形面积，能够表示出三角形面积并用顶点式求最值是解题关键．15．（2022·北京·北师大实验中学九年级期中）已知二次函数图像经过点，．(1)求此二次函数的解析式；(2)补全表格，并根据表格中的数据用描点法画出该二次函数的图像；x…02…y…0330…(3)当时，直接写出y的取值的范围．【答案】(1)；(2)答案见详解；(3)．【分析】（1）用待定系数法求解，即将A、B两点坐标代入解析式求出b、c即可；（2）先补充列表，然后描点画二次函数的图像即可；（3）结合函数图像，利用二次函数的性质求解．（1）解：二次函数图像经过点，，，，此二函数的解析式为：；（2）解：补全表格如下：x…-10123…y…03430…如下图所示：抛物线为所求；（3）解：如图所示，当时，；故当时，y的取值的范围是：．【点睛】此题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、描点法作二次函数的图像、二次函数的性质等，熟练运用待定系数法求解析式和数形结合的思想方法是解题的关键．16．（2022·福建·浦城县教师进修学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）经过点，点．点P在此抛物线上，其横坐标为m．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点P在轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．(3)若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为．求m的值．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）把点A、B的坐标代入解析式进行求解即可；（2）根据二次函数的图形及（1）可直接进行求解；（3）由题意易得抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，然后可分当时和当时，进而分类求解即可．【详解】（1）解：将，代入得：，解得，∴．（2）解：由（1）可令，解得，∴抛物线与x轴交点坐标为，，∵抛物线开口向上，∴根据图象可知当或时，点P在x轴上方．（3）解：∵，∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，当时，抛物线顶点为最低点，∴，解得，当时，点P为最低点，将代入得，∴，解得（舍），，∴或．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握利用待定系