专题05 反比例函数-解析版

专题05反比例函数★知识点1：反比例函数的概念一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。表现形式：还可以写成和xy=k的形式.反比例函数的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点。反比例函数解析式的特征:等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.比例系数自变量的取值为一切非零实数。函数的取值是一切非零实数。典例分析【例1】（2023秋·安徽·九年级阶段练习）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据反比例函数的定义逐一判断即可．【详解】解：A．是正比例函数，不符合题意；B．可以化为是正比例函数，不符合题意；C．当时，不是反比例函数，不符合题意；D．是是反比例函数，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键．【例2】（2022秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）下列函数中属于反比例函数的个数为（）①②③④（为常数，且）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据反比例函数的意义分别进行分析即可，形如：y＝()或或的函数是反比例函数．【详解】解：①，是反比例函数，符合题意；②，不是反比例函数，不合题意；③，是反比例函数，符合题意；④（为常数，且），是反比例函数，符合题意；是反比例函数的有①③④，共3个，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的几种形式是解题的关键．y＝()或或的函数是反比例函数．【即学即练】1．（2020秋·广东深圳·九年级校考阶段练习）若函数是反比例函数，则m的值为（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】根据反比例函数的定义进行求解即可．【详解】解：∵函数是反比例函数，∴，解得，故选:A．【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，解一元二次方程，熟知反比例函数的定义是解题的关键：一般地，形如且k为常数的函数叫做反比例函数．2．（2023春·湖南衡阳·八年级校考期中）下列关于反比例函数的描述中，不正确的是（）A．图象在第二、四象限 B．点在反比例函数的图象上C．随的增大而增大 D．当时，【答案】C【分析】根据反比例函数的性质依次进行判断即可得到答案．【详解】解：A.反比例函数，，则图象在第二、四象限，故A正确，不符合题意；B.当时，，则点在反比例函数的图象上，故B正确，不符合题意；C.反比例函数，，则在每一象限内，随的增大而增大，故C错误，符合题意；D.当时，则，故D正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．★知识点2：反比例函数的图像图像的画法：描点法1.列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）2.描点（由小到大的顺序）3.连线（从左到右光滑的曲线）图像的特征：1.函数的图像是双曲线．2.图像的对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线y=x或y=-x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．3.k的取值与函数图象弧度之间的关系：|k|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．|k|越小，图象的弯曲度越大。典例分析【例1】（2023春·河南南阳·八年级校考阶段练习）在同一坐标系中，函数和的图像大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】分别分析出当和时，反比例函数和一次函数图像位于的象限，对照题中给的图像选出答案即可．【详解】解：当时，位于第二、四象限，经过第一、二、三象限；当时，位于第一、三象限，经过一、二、四象限；对比题目中的图可知第四幅图符合题意，故选：．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的图像，分情况讨论每个函数图像位于的象限是解答本题的关键．【例2】（2023·贵州贵阳·校考一模）反比例函数（）的图象如图所示，则的值可能是（

）

A．5 B．12 C． D．【答案】C【分析】根据图象，当时，，则；当时，，则，所以，即可求解．【详解】解：由图可知：当时，，即，则，当时，，即，则，∴，故选：C．【点睛】本题考查反比例函数图象性质，关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质．即学即练1．（2023春·四川眉山·八年级统考期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，当时，的取值范围是()

A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】先根据反比例函数图象的对称点求出点的坐标，然后根据的解集即为反比例函数在一次函数上方的部分可得答案．【详解】解析：正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点，，由图象可知，当时，x的取值范围是或，故选：D．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据反比例函数的对称性得出点的坐标是解本题的关键．2．（2023春·江苏·八年级专题练习）关于函数的图象，下列说法错误的是（

）A．经过点 B．当时，随的增大而增大C．当时， D．是中心对称图形，且对称中心为原点【答案】C【分析】利用反比例函数图象与系数的关系进行分析判断；【详解】解：A、当时，，即反比例函数的图象经过点，故选项A说法正确；B、因为反比例函数中的，所以图象分别在二、四象限，当时，随增大而增大，故选项B说法正确；C、因为反比例函数中的，所以图象分别在二、四象限，当时，或，故选项说法C错误；D、反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为原点，故选项D说法正确；故选：C．【点睛】本题主要考查对反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能灵活运用性质是解此题的关键．★知识点3：已知双曲线分布的象限，求参数的取值范围反比例函数的性质：的取值图像所在象限函数的增减性k>0一、三象限在每个象限内，值随的增大而减小k>0二、四象限在每个象限内，值随的增大而增大双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。典例分析【例1】（2023秋·湖南长沙·九年级统考期末）已知反比例函数的图象经过了第二象限，则的取值可能为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由反比例函数图象经过第二象限，得出，求出范围即可．【详解】解：反比例函数的图象经过第二象限，，得：．故选：A．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数图象的性质，列出关于的不等式，是解题的关键．【例2】（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）反比例函数的图象如图所示，以下结论：①常数；②若，在该图象上，则；③y随x的增大而增大；④若在该图象上，则也此在图象上．其中正确的是（

）

A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】根据反比例函数的性质得到，则可对①③进行判断；根据反比例函数图象上点的坐标特征对③④进行判断．【详解】解：∵反比例函数图象经过第二、四象限，∴，所以①错误；在每一象限，y随x的增大而增大，所以③错误；∵，在图象上，∴，而，∴，所以②错误；∵，∴若在该图象上，则也此在图象上，所以④正确．故选D．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．即学即练1．（2023春·浙江舟山·八年级统考期末）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据反比例函数经过第一、三象限，可知，据此作答即可．【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，∴，解得：；故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象与性质是解答本题的关键．反比例函数的，①当时，反比例函数的的图象经过一、三象限；②当时，反比例函数的的图象经过二、四象限．2．（2023春·山西长治·八年级长治市第五中学校校考阶段练习）若反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据的图象可知，进而可得，，由此可得出一次函数的图象经过的象限，即可得出答案．【详解】解：反比例函数的图象经过第二、四象限，，，，一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故选：A．【点睛】本题考查反比例函数图象与系数的关系、一次函数图象与系数的关系，解题的关键是判断出一次函数中一次项系数和常数项的正负．★知识点4判断反比例函数的增减性典例分析【例1】（2023春·江苏南京·八年级校联考期末）对于函数，下列说法错误的是（

）A．它的图象分布在第二、四象限 B．它的图象是中心对称图形C．y的值随x的增大而增大 D．点是函数图象上的点【答案】C【分析】利用反比例函数的图象和性质逐项判断即可【详解】A.，它的图象分布在第二，四象限，正确，不符合题意；B.函数是反比例函数，故它的图象是中心对称图形，正确，不符合题意；C.，它的图象分布在第二，四象限，在每一个象限内y的值随x的增大而增大，原说法错误，符合题意；D.时，，点是函数图象上的点，正确，不符合题意；故选择：C【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟悉反比例函数的图象和性质是解答本题的关键．【例2】（2023秋·陕西咸阳·九年级统考期末）已知点都在反比例函数的图像上，若，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答即可．【详解】解；∵在反比例函数中，，∴反比例函数图象经过第一，三象限，在每个象限内y随x增大而减小，∵点都在反比例函数的图像上，且，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，正确判断出反比例函数的增减性和经过的象限是解题的关键．即学即练1．（2023春·湖南衡阳·八年级衡阳市实验中学校考期末）关于反比例函数的图象，下列说法不正确的（

）A．经过点 B．分布在第二、第四象限C．图象是中心对称图形 D．当时，y随x的增大而减小【答案】B【分析】把代入，求出y的值，即可判断A；根据反比例函数的性质，即可判断B、C、D．【详解】解：A、把代入得：，故A正确，不符合题意；B、∵，∴该反比例函数图象分布在第一、三象限，故B不正确，符合题意；C、反比例函数的图象是中心对称图形，故C正确，不符合题意；D、∵，∴当时，y随x的增大而减小，故D正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，以及反比例函数，当时，图象分布在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，当时，图象分布在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．2.（2023·河南周口·校联考二模）在反比例函数（为常数）的图象上有三点，，，若，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，然后利用得到．【详解】解：∵，∴反比例函数图象在第二、四象限，∵，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．★知识点5已知增减性求参数典例分析【例1】（2022秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）已知反比例函数的图象，在每一象限内，的值随值的增大而增大，则的图象一定不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据反比例函数的性质得到，即可得到，即可得到一次函数图象经过的象限，做出判断即可．【详解】解：∵反比例函数的图象，在每一象限内，的值随值的增大而增大，∴，∴，∴的图象经过一、三、四象限，一定不经过第二象限，故选：B【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，根据反比例函数的性质得到是解题的关键．【例2】（2023·湖北·统考中考真题）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得反比例函数的图象在一三象限，进而可得，解不等式即可求解．【详解】解：∵当时，有，∴反比例函数的图象在一三象限，∴解得：，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数的图象在一三象限是解题的关键．即学即练1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考三模）对于双曲线，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据反比例函数的图像性质选出正确选项．【详解】解：当时，随的增大而减小，所以，即．故选：C．【点睛】本题考查反比例函数的图像性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像性质．2．（2023春·全国·八年级专题练习）已知点，在反比例函数的图象上，当时，，则m的范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据反比例函数的性质求解即可．【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上，当时，，∴反比例函数在第三象限内，y随x的增大而减小，∴，解得，故选：D．【点睛】本题考查反比例函数的性质、解一元一次不等式，熟练掌握反比例函数图象在每一象限内得增减性与比例系数的关系是解答的关键．★知识点6比较函数值或自变量的大小典例分析【例1】（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）已知点在反比例函数的图像上，且，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出、的大小关系．【详解】解：∵点，）是反比例函数的图像上的两点，∴，∵，∴，即，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，掌握图像上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．【例2】（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知点和点在反比例函数的图象上，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由反比例函数的性质可知，在同一个象限内，y随x的增大而增大，即可得答案．【详解】解：∵反比例函数中，∴在同一个象限内，y随x的增大而增大，∵点都在反比例函数的图象上，且，∴，故选：A．【点睛】本题考查反比例函数的增减性，掌握反比例函数当时，在同一个象限内，y随x的增大而增大是解题的关键．即学即练1.（2023秋·湖北襄阳·九年级统考期末）已知点，，在反比例函数（是常数）的图象上，则下列关系正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判断，可得在每一象限内，y随x的增大而增大，再根据点所在的象限判断函数值的大小．【详解】解：∵，∴此函数图象在二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，∵点，，在反比例函数（是常数）的图象上，∴点在第二象限，，，在第四象限，，∴，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，比较反比例函数值的大小，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．2．（2023·重庆·九年级专题练习）点，，，在反比例函数的图象上，则中最大的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据反比例函数的性质可进行求解．【详解】解：由反比例函数可知：，则该函数在每个象限内，y随x的增大而增大，∵点，，，在反比例函数的图象上，又，∴；故选D．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．★知识点7:反比例函数比例系数k的几何意义的应用1）设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是k2）．2）由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|．3）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．典例分析【例1】（2023·山西临汾·统考二模）如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，连接，与轴交于点，且轴，，是正半轴上一点，连接，，则的面积为（

）

A．3 B． C． D．【答案】C【分析】过作轴交轴于，过作轴交轴于，可求，从而可求，可得，即可求解．【详解】解：如图，过作轴交轴于，过作轴交轴于，

，，，，．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数中的几何意义，理解的几何意义是解题的关键．【例2】（2023春·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考阶段练习）如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴，垂足为点，点在轴上，则的面积是（

）

A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】连接，根据平行线之间的距离处处相等可得，再根据k的几何意义即可得解．【详解】解：如图，连接，

∵轴，∴，故选B．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，解题的关键是应用平行线间的距离处处相等得到和的面积相等．即学即练1.（2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点D，且，反比例函数的图象经过点A，若，则的值为（

）

A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】过点A作x轴的垂线与x轴交于点C，证明，推出，由此即可求得答案．【详解】解：设，如图，过点A作x轴的垂线与x轴交于点C，

则，，，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵在的图象上，∴，故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是作辅助线构造．2（2023秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，直线与双曲线交于两点，过点作轴，垂足为点，连接，若，则的值为（

）

A． B．4 C． D．8【答案】A【分析】根据题意可得，则，进而根据的几何意义，即可求解．【详解】解：∵直线与双曲线交于两点，∴关于原点对称，则，∴，∴，反比例函数图象在二、四象限，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，中心对称，的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．★知识点8:求反比例函数的解析式典例分析【例1】（2023春·浙江金华·八年级统考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．

(1)求m，n的值．(2)连接，，求的面积．【答案】(1)，(2)3【分析】（1）将代入中求出m值，再将代入中，即可求出n值；（2）结合（1）中结论可得，再根据点A和点B坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式，继而求出与y轴交点坐标，再利用三角形面积公式计算即可．【详解】（1）解：将代入中，得：，∴，将代入中，得，∴；（2）∵，∴，将，代入中，得：，解得：，∴，令，则，∴直线与y轴交于，∴的面积为．【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，属于中考常考题型．【例2】（2022秋·湖南永州·九年级统考期中）如图，已知直线l：分别与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线（，）交于D、E两点，若点D的坐标为，点E的坐标为．

(1)求直线l和双曲线的表达式；(2)当时，请直接写出x的取值范围；(3)若将直线l向下平移m（）个单位得到新直线，当m为何值时，新直线与双曲线在第一象限内有且只有一个交点M．【答案】(1)，(2)或(3)时新直线与双曲线在第一象限内有且只有一个交点M．【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可求解．（2）当时，只需得出直线l的图象在双曲线下方的部分即可．（3）根据题意列出二元一次方程组，进而得出一元二次方程，根据直线l与双曲线有且只有一个交点，根据判别式判断一元二次方程的根即可求解．【详解】（1）解：由于点D和点E在直线和双曲线的图象上，则：，解得；，，．（2）点D和点E，当时，x的取值范围为：或．（3）由题意得：，∴，∵直线l与双曲线有且只有一个交点，∴，∴或，∵时，新直线与双曲线的交点在第二象限，不合题意舍去，∴时新直线与双曲线在第一象限内有且只有一个交点M．【点睛】本题考查了一次函数与双曲线的综合问题，根据判别式判断一元二次方程的根，熟练掌握一次函数的图像及性质和双曲线的图象及性质是解题的关键．即学即练1．（2023春·吉林延边·九年级统考期中）为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间（分钟）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为．根据以上信息，解答下列问题：

(1)求药物燃烧后y与x之间的函数关系式；(2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以返回教室？【答案】(1)(2)【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；（2）把代入反比例函数解析式，求出x的值即可．【详解】（1）解：设，∵函数图象经过点，∴，∴，∴．（2）解：令，则，∴，∴后学生才能回教室．【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求出反比例函数解析式．2．（2023秋·湖南长沙·九年级统考期末）已知抛物线和双曲线交点的横坐标是．(1)求的值；(2)当时，求反比例函数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）把交点的横坐标代入抛物线可求出交点坐标，再把交点坐标代入双曲线函数式即可求解；（2）由（1）可知反比例函数图像，根据图像的性质可知反比例函数所在象限，根据函数图像的增减性即可求解．【详解】（1）解：抛物线和双曲线交点的横坐标是，∴把代入抛物线得，，∴抛物线和双曲线交点的坐标是，把代入双曲线得，，解得，，∴．（2）解：由（1）可知，双曲线的解析式为，其图像在第一、三象限，函数值随增大而减小，当时，，当时，，∴反比例函数的取值范围是．【点睛】本题主要考查抛物线与反比例函数的综合，掌握交点坐标的计算方法，函数图像的性质是解题的关键．1．（2023·北京·九年级专题练习）下面的三个问题中都有两个变量：①矩形的面积一定，一边长与它的邻边；②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积与全村总人口；③汽车的行驶速度一定，行驶路程与行驶时间．其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】当两个变量的积为定值时，两个变量之间的函数关系可以用形如（k为常数，）的式子表示，由此逐项判断即可．【详解】解：由函数图象可知，这两个变量之间成反比例函数关系，①矩形的面积，因此矩形的面积一定时，一边长y与它的邻边x可以用形如的式子表示，即满足所给的函数图象；②耕地面积，因此耕地面积一定时，该村人均耕地面积S与全村总人口n可以用形如的式子表示，即满足所给的函数图象；③汽车的行驶速度，因此汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t不可以用形如的式子表示，即不满足所给的函数图象；综上可知：①②符合要求，故选A．【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的定义．2．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）下列哪个选项一定是关于的反比例函数（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据反比例函数的定义逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.，是反比例函数，故该选项正确，符合题意；B.，当时，是关于反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；C.，不是关于的反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；D.，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的几种形式是解题的关键．()或或的函数是反比例函数．3．（2023秋·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴，垂足为，的面积为，若点也在此函数的图象上，则的值是(

)．A．2 B．-2 C．4 D．-4【答案】C【分析】根据反比例函数的几何意义，可得，从而得到，再将点代入解析式，即可求解．【详解】解：点是反比例函数=图象上的一点，垂直于轴，，的面积为．，即，反比例函数的解析式为，点)也在此函数的图象上，，解得：．故选：C．【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义，反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的几何意义，反比例函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．4．（2023·福建宁德·统考模拟预测）下列四个点中，有三个点在同一反比例函数的图象上，则不在这个函数图象上的点是（

）A． B．， C． D．【答案】B【分析】由反比例函数表达式的特点可知，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于k，所以判断点是否在反比例函的图象上，只要验证一下横、纵坐标的乘积是否与k相等就可以了．【详解】解：A、，B、，C、，D、，∴不在这个函数图像上的点是，故选：B．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．5．（2023·云南昆明·昆明八中校考三模）已知点是反比例函数图像上的一点，则（

）A．12 B．6 C．3 D．1【答案】C【分析】根据函数性质，将点代入反比例函数解方程即可得到答案．【详解】解：点是反比例函数图像上的一点，将点代入得，故选：C．【点睛】本题考查反比例函数性质，熟记点在图像上就是点的坐标满足函数表达式是解决问题的关键．6．（2023·江苏·八年级假期作业）双曲线上横，纵坐标都是整数的点的个数是（

）A．3 B．4 C．6 D．7【答案】C【分析】让自变量逐次取4的因数（包括负的），计算出值即可；【详解】解：点的横，纵坐标都是整数，自变量的取值有：共6个．故选：C【点睛】本题考查了求反比例函数上点的坐标，准确找全自变量的值是解题关键．7．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（）

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据题意代入数据求得，即可求解．【详解】解：∵，，，∴，∴，函数为反比例函数，当时，，即函数图象经过点．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键．8．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）下列各点与点在同一个反比例函数图像的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，代入求出的值，根据纵横坐标的积等于，逐项判定即可．【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，，A、，∴点不在反比例函数图象上，故此选项不符合题意；B、，∴点在反比例函数图象上，故此选项符合题意；C、，∴点不在反比例函数图象上，故此选项不符合题意；D、，∴点不在反比例函数图象上，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征，在同一个反比例函数图象上的点坐标的特征为：纵横坐标的积为常数．9．（2023春·八年级单元测试）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴，垂足为，若的面积为，则此反比例函数解析式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据关于原点对称，得出，则，根据反比例函数的几何意义得出，进而即可求解．【详解】解：依题意，关于原点对称，∴，∴∴∴反比例函数解析式为，故选：A．【点睛】本题考查了正比例函数，反比例函数的性质，的几何意义，掌握反比例函数的性质是解题的关键．10．（2023·河北保定·保定市第十七中学校考三模）如图，函数在第一象限的图象将所标三整点分隔开，则整数的值可能是（

）

A．10 B．8 C．7 D．6【答案】A【分析】根据三个点的坐标求出，再进行判断即可．【详解】解：∵，，，∴，，，∴，∵，∴整数的值可能是10，故A正确．故选：A．

【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，解题的关键是根据图中三个点的坐标求出k的取值范围．11．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知反比例函数的图象经过，，下列命题：①若则；②若，；③过点作轴，垂足为点，作轴，垂足为点，若，则四边形的面积为，其中真命题的个数是（

）个A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用反比例函数的增减性、对称性、反比例函数比例系数的几何意义分别回答即可．【详解】解：①，比例系数，图象分别位于第一、三象限，在所在的每一个象限随着的增大而减小，当时，，故①是假命题；②当、两点关于原点对称时，，则，故②是真命题；③若，则．过点作轴，垂足为点，作轴，垂足为点，则四边形的面积为，故③是真命题；真命题有2个，故选：C．【点睛】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．解题的关键是掌握反比例函数的性质以及比例系数的几何意义．12．（2023秋·湖南益阳·九年级校考期末）点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点进行解答即可【详解】解：∵中，，∴反比例函数图象在二、四象限，并且在每一象限内y随x的增大而增大，∵，∴A点在第二象限，∴，∵，∴B、C两点在第四象限，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．13．（2023春·河南新乡·八年级统考期中）如图，点A在双曲线点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接，．若的面积是4，则k的值为（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】连接、，设与y轴交点为M，得到，再利用反比例函数系数的几何意义，得到，，然后根据列方程求出k的值，即可得到答案．【详解】解：如图，连接、，设与y轴交点为M，轴，轴，，点A在双曲线点B在双曲线上，，，，，解得：，，，故选：A．

【点睛】本题主要考查了考查了反比例函数系数的几何意义，熟记反比例函数面积与k的关系是解题关键．14．（2023春·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，矩形的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上．若点A的坐标为，则k的值为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形，找到图中的所有矩形及相等的三角形，即可推出，根据反比例函数比例系数的几何意义即可求出．【详解】解：如图：∵矩形的边分别平行于坐标轴，∴四边形为矩形，又∵为四边形的对角线，为四边形的对角线，∴，∴，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义、矩形的性质，解题的关键是判断出．15．（2023春·江苏苏州