专题03 简单事件的概率（重难点）（解析版）

专题03简单事件的概率（重难点）一、单选题1．指出下列事件中是必然事件的是（

）A．某人射击一次，中靶B．抛掷两颗骰子，点数之和为16C．设，为实数，如果，那么D．从分别写有号数1，2，3的3张标签中，任取一张，得到1号签【答案】C【分析】根据必然事件的定义逐一进行分析，即可得到答案．【解析】解：A、是随机事件，不符合题意，选项错误；B、是不可能事件，不符合题意，选项错误；C、是必然事件，符合题意，选项正确；D、是随机事件，不符合题意，选项错误，故选C．【点睛】本题考查了事件的分类，熟练掌握必然事件的定义是解题关键．2．掷一枚质地均匀的骰子，前3次都是6点朝上，掷第4次时6点朝上的概率是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据概率的意义进行解答即可．【解析】解：掷一枚质地均匀的骰子，前3次都是6点朝上，掷第4次时，不会受前3次的影响，掷第4次时仍有6种等可能出现的结果，其中6点朝上的有1种，所以掷第4次时6点朝上的概率是，故选：D．【点睛】本题考查简单随机事件的概率，理解概率的意义是正确解答的前提，列举出所有等可能出现的结果情况是解决问题的关键．3．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（

）.A．频率等于概率B．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近D．实验得到的频率与概率不可能相等【答案】B【解析】A、当实验次数很大时，频率稳定在一个常数附近，可作为概率的估计值，不一定与概率相等，故A错误；B、正确；C、当实验次数很大时，随机事件发生的概率是一个固定值，不会改变，故C错误；D、可以相同，如“抛硬币实验”，抛两次，其中一次正面向上，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相同．故选：B．4．从某班学生中随机选取一名学生是女生的概率为，则该班女生与男生的人数比是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先设出总人数，利用概率求出女生人数，利用总数-女生人数求出男生人数即可，【解析】解：设总人数有5x人，∵随机选取一名学生是女生的概率为，∴女生人数为人，∴男生人数为：人，∴女生与男生的人数比是．故选A．【点睛】本题考查频数总数与频率的关系，掌握利用概率估计女生的方法，会求单项式除以单项式求比值是解题关键．5．一个不透明的箱子中有2个白球，3个黄球和4个红球，这些球除颜色不同外，其他完全相同．从箱子中随机摸出一个球，则它是红球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，即可求出答案．【解析】根据题意可得：箱子中有2个白球，3个黄球和4个红球，共9个球，从箱子中随机摸出一个球，它是红色球的概率是；故选：C．【点睛】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．6．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】列表如下：∴共有20种等可能的结果，P（一男一女）=．故选B．7．如图,在4×4正方形网格中,任意选取一个白色的小正方形并涂上阴影,使图中阴影部分的图形构成一个轴对称图形的概率是()A． B． C． D．【答案】A【解析】解：∵白色的小正方形有12个，能构成一个轴对称图形的有2个情况，∴使图中红色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是：=．故选A．点睛：此题考查了概率公式的应用与轴对称．注意概率=所求情况数与总情况数之比．8．小明为估计一个不规则图案的面积，采取了以下办法：首先用一个面积为10cm2的长方形将不规则图案围起来（如图①）；然后在一固定位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在边界线上或长方形区域外不计试验结果）；最后将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图．请估计不规则图案的面积大约为（

）A．4cm2 B．3.5cm2 C．4.5cm2 D．5cm2【答案】B【分析】本题分两部分求解，首先设不规则图案的面积为xcm2，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小，继而根据折线图用频率估算概率，综合以上列方程求解即可．【解析】解：假设不规则图案的面积为xcm2，由已知得：长方形面积为10cm2，根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，综上：=0.35，解得：x=3.5，∴不规则图案的面积大约为3.5cm2，故选：B．【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行题目创新，解题的关键在于理解题意，能从复杂的题目背景中找到考点化繁为简．9．班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学.这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票.小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】Ｐ(科普读物)==.故选B.10．如图，小红在一张长为6m，宽为5m的长方形纸上画了一个老虎图案，他想知道该图案的面积大小，于是想了这样一个办法，朝长方形的纸上扔小球，并记录小球落在老虎图案上的次数（球扔在界线上或长方形纸外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果整理成统计表，由此他估计此图案的面积大约为（

）试验次数m60120180240300360420480小球落在图案内的次数n22386583102126151168小球落在图案内的频率0.370.320.360.350.340.350.360.35A． B． C． D．【答案】B【分析】先假设老虎图案的面积为，根据几何概率知识求解老虎图案占长方形面积的大小；再根据实验数据，用频率估计概率，综合以上列方程求解即可．【解析】解：设老虎图案的面积为，由已知条件，可知长方形纸张的面积为，根据几何概率公式，小球落在老虎图案上的概率为，当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率的估计值，小球落在老虎图案上的概率大约为0.35，所以，解得．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何概率以及用频率估计概率的知识，解题关键是在于理解题意，能从复杂的数据中找到所需要的信息．二、填空题11．一个不透明的布袋中放有大小、质地都相同四个红球和五个白球，小敏第一次从布袋中摸出一个红球后放回布袋中，接看第二次从布袋中摸球，那么小敏第二次还是摸出红球的可能性为．【答案】.【分析】小敏第一次从布袋中摸出一个红球的概率为，第二次从布袋中摸出一个红球的概率为，据此可得两次摸出的球都是红球的概率．【解析】∵小敏第一次从布袋中摸出一个红球的概率为，第二次从布袋中摸出一个红球的概率为，∴两次摸出的球都是红球的概率为：×=．故答案为．【点睛】本题主要考查了概率的计算，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12．如图，某校运会米接力赛用班主任抽签方式确定赛道．若9班班主任第一个抽签，她从号中随机抽取一签，则抽到6号赛道的概率是．【答案】【分析】直接根据概率公式计算，即可求解．【解析】解：∵从号中随机抽取一签共有5种等可能的情况，∴抽到6号赛道的概率是，故答案为：．【点睛】本题考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．为了解衢州市九年级学生的跳绳成绩，随机抽取了名学生的分钟跳绳成绩，成绩统计如下：组别（个）人数根据衢州市体育中考跳绳评分标准，跳绳个数不小于180的为满分，现任意抽查衢州市一名九年级学生，成绩满分的概率约为．【答案】【分析】根据概率公式即可求解．【解析】解：依题意，任意抽查衢州市一名九年级学生，成绩满分的概率约为，故答案为：．【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键．概率=所求情况数与总情况数之比．14．一个不透明的口袋中有三张卡片，上面分别写有数字1，2，3，除数字外三张卡片无其他区别，现从中随机抽取两张卡片，则卡片上的数字之和是奇数的概率是．【答案】【分析】列表求出所有出现的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【解析】解：根据题意列表如下：第一张第二张123134235345共有6种情况，则卡片上的数字之和是奇数的情况有4种，故卡片上的数字之和是奇数的概率是．故答案为：．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：每批粒数n2510501005001000150020003000发芽的频数m2494492463928139618662794发芽的频率（精确到0.001）1.0000.8000.9000.8800.9200.9260.9280.9310.9330.931这种绿豆发芽的概率的估计值为（精确到0.01）．【答案】0.93【分析】根据题意，用频率估计概率即可．【解析】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值0.93，故答案为：0.93．【点睛】本题考查了利用频率估计概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．16．有五张正面分别写有数字-4，-3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则抽取的既能使关于的方程有实数根，又能使以为自变量的二次函数，当时，随的增大而减小的概率为．【答案】【分析】根据方程有实数根列出关于n的不等式，再根据二次函数的图象列出关于n的不等式，从而求出n的取值范围，找出符合条件的整数解，最后根据概率公式进行计算即可．【解析】有实数根，，∴，，又，对称轴为：，时，随增大而减小，，综上，可取0，2，∴，故答案为：．【点睛】此题考查二次函数的性质及概率公式，得到满足条件的n的情况数是解决本题的关键．三、解答题17．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．（1）转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，则下列说法错误的是______（填写序号）．①转动6次，指针都指向红色区域，说明第7次转动时指针指向红色区域；②转动10次，指针指向红色区域的次数一定大于指向蓝色区域的次数；③转动60次，指针指向黄色区域的次数正好为10．（2）怎样改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？写出你的方案．【答案】（1）①②③；（2）答案见解析．【分析】（1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案；（2）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同．【解析】解：（1）①转动6次，指针都指向红色区域，则第7次转动时指针不一定指向红色区域，故本选项说法错误；②转动10次，指针指向红色区域的次数不一定大于指向蓝色区域的次数，故本选项说法错误；③转动60次，指针指向黄色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误；故答案为：①②③．（2）将1个红色区域改成黄色，则红、黄、蓝三种颜色的区域各有2个，则指针指向每种颜色区域的可能性相同．【点睛】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：摸球的次数摸到白球的次数摸到白球的频率(1)假如摸一次，摸到黑球的概率；(2)试估算盒子里黑颜色的球有多少只？【答案】(1)(2)【分析】（1）根据频率估计概率，概率的意义即可求解；（2）根据摸到黑球的频率即可得到白球数目【解析】（1）解：∵当n很大时，摸到白球的频率将会接近，∴摸到白球的概率为，∴假如摸一次，摸到黑球的概率，故答案为：．（2）盒子里黑颜色的球有（只）．【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．19．概念理解嘉嘉和淇淇学习了随机事件的概率，老师留的作业中有一道判断题：①自然现象中，“太阳从东方升起”是必然事件；②成语“水中捞月”所描述的事件是随机事件；③若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次．真命题的序号是______；知识应用嘉嘉和淇淇做化学实验，紫色石蕊试剂是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体．（1）嘉嘉将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是______；（2）淇淇随机取了两个烧杯，滴入石蕊试剂，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率．【答案】概念理解①；知识应用（1）；（2）【分析】概念理解：根据随机事件、不可能事件和必然事件的概念逐一判断即可；知识应用：（1）直接根据概率公式求解即可；（2）将蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液分别记作、、、，列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解即可．【解析】解：概念理解：真命题的序号是①，故答案为：①；知识应用：（1）嘉嘉将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是；（2）将蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液分别记作、、、，列表如下：由表知，共有12种等可能结果，其中一杯变红、一杯变蓝的有4种结果，所以一杯变红、一杯变蓝的概率为．故答案为：．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及折线统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．20．为培养学生良好的学习习惯，某学校举行了一次整理错题集的展示活动，对部分学生整理错题集的情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息，解答下列问题：整理情况频数频率优秀0.25良好35合格不合格18(1)本次抽样共调查了多少名学生？若该校有800名学生，估计该校学生整理错题集情况优秀和良好的学生一共约多少名？(2)某学习小组4名学生的错题集中，有2本优秀（记为，），1本良好（记为B），1本合格（记为C），这些错题集形状，大小，颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的3本错题集中再抽取一本，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出两次抽到的错题集都是优秀的概率．【答案】(1)本次抽样共调查了100名学生，该校学生整理错题集情况优秀和良好的学生一共约480名(2)【分析】（1）根据良好的35人，在扇形统计图中的圆心角为，求出结果即可；利用成绩优秀和良好总的百分比乘以总人数即可求出结果；（2）先画出树状图，然后再用概率公式计算即可．【解析】（1）解：（名）；（名）．

答：本次抽样共调查了100名学生，该校学生整理错题集情况优秀和良好的学生一共约480名．（2）．

答：两次抽到的错题集都是优秀的概率为．【点睛】本题注意考查了扇形统计图，频数与频率，概率的计算，解题的关键是掌握这些知识点．21．习近平同志在二十大报告中指出，必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．为了加强学生树立和践行这一理念，王老师打算把这八个字分别制作在四张不透明的卡片上张贴在教室，这些卡片除了正面文字不同外其他完全相同，卡片分别为：绿水（A）、青山（B）、金山（C）、银山（D）．张贴前，王老师把这四张卡片背面朝上放在桌面上洗匀，先从中拿出一张卡片，再从剩余的卡片中拿出一张．(1)求王老师第一次拿出的卡片中，有“山”字的概率是______；(2)请利用列表法或画树状图的方法，求王老师在两次拿出的卡片中，有“绿水和青山”的概率．【答案】(1)(2)王老师在两次拿出的卡片中，有“绿水和青山”的概率为【分析】（1）根据概率公式即可求出该事件的概率；（2）依据题意列出表格，分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【解析】（1）解：根据题意得：王老师第一次拿出的卡片中，有“山”字的概率是；故答案为：（2）解：根据题意，列表如下：ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由表可知共有12种等可能结果，王老师在两次拿出的卡片中，有“绿水和青山”的结果数为2种，所以王老师在两次拿出的卡片中，有“绿水和青山”的概率．【点睛】本题考查的是求事件的概率，求事件的概率时要找准两点：一是全部情况的总数，二是符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．22．某校准备评选一名学生为市文明学生，根据规定的评选程序：首先由本年级200名学生干部民主投票，每人必须推荐一人（且只能推荐一人），选出了票数最多的甲、乙、丙三人．投票结果统计如图1．

其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试．各项成绩如表所示：测试项目测试成绩/分甲乙丙笔试919095面试859580如图2是某同学根据上表绘制的一个不完全的条形图．

请你根据以上信息解答下列问题：(1)补全图1和图2；(2)若每名候选人得一票记1分，计算出投票、笔试、面试三项得分的平均分，请计算甲、乙、丙三人各自的平均分，并确定平均分高的同学为市文明学生；(3)若学校决定从这甲、乙、丙三人中随机选两名进行学习经验介绍，求甲和乙被选中的概率．（要求列表或画树状图）【答案】(1)见解析(2)甲、乙、丙三人的平均分分别为：；乙为市文明学生(3)【分析】（1）根据百分比和为1即可求得乙所占的百分比，因而可补全图1；根据三人成绩表中甲的面试成绩可补全条形统计图；（2）计算出三人的票数得分，再计算出三人三项得分的平均数，比较平均数即可；（3）列表或画出树状图，得到所有可能的结果数，甲乙被选中的可能结果数，由概率公式即可求得概率．【解析】（1）解：乙所得票数的百分比为：补全的图1、图2如下：

（2）解：甲的票数得分为：（分），乙的票数得分为：（分），丙的票数得分为：（分）；∴甲的平均分为：（分），乙的平均分为：（分），丙的平均分为：（分），而，故乙同学为市文明学生；（3）解：列表如下：甲乙丙甲甲乙甲丙乙甲乙乙丙丙甲丙乙丙∵所有可能的结果数有6种，其中抽到甲乙的可能结果数有2种，∴甲和乙被选中的概率为：．【点睛】本题是条形统计图与扇形统计图信息相关联问题，用列表法或树状图求概率，求平均数并用平均数做决策，关键是从统计图表中获取相关的信息．23．某水果公司以9元/千克的成本从果园购进10000千克特级柑橘，在运输过程中，有部分柑橘损坏，该公司对刚运到的特级柑橘进行随机抽查，并得到如下的“柑橘损坏率”统计图．由于市场调节，特级柑橘的售价与日销售量之间有一定的变化规律，如下表是近一段时间该水果公司的销售记录特级柑橘的售价（元/千克）1415161718特级柑橘的日销售量（千克）1000950900850800（1）估计购进的10000千克特级柑橘中完好的柑橘的总重量为_____千克；（2）按此市场调节的观律，①若特级柑橘的售价定为16.5元/千克，估计日销售量，并说明理由②考虑到该水果公司的储存条件，该公司打算12天内售完这批特级柑橘（只售完好的柑橘），且售价保持不变求该公司每日销售该特级柑橘可能达到的最大利润，并说明理由．【答案】（1）9000千克；（2）①当售价定为16.5元/千克，日销售量为875千克，理由见解析；②最大利润售价为19元/千克，每日的最大利润为7500元，理由见解析【分析】（1）根据图形即可得出柑橘损坏的概率，再用整体1减去柑橘损坏的概率即可得出柑橘完好的概率，根据所得出柑橘完好的概率乘以这批柑橘的总质量即可．（2）①根据表格求出销售量y与售价x的函数关系式，代入x=16.5计算即可；②12天内售完9000千克完好的柑橘，求出日最大销售量即可求出售价的范围，再根据利润=（售价-进价）×销售量求出利润与售价的函数关系式即可；【解析】（1）由图可知损坏率在0.1上下波动，并趋于稳定故所求为千克（2）①设销售量y与售价x的函数关系式为由题意可得函数图像过及两点得∴与的函数关系式为把代入，∴当售价定为16.5元/千克，日销售量为875千克②依题意得：12天内售完9000千克柑橘故日销售量至少为：（千克）∴解得设利润为w元，则∴对称轴为∴当时w随x的增大而增大∴当时销售利润最大，最大利润