专题2.6 一元一次不等式组（教师版）

专题2.6一元一次不等式组1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．知识点01不等式组及其解法【知识点】1、不等式组的概念：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组．注意：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．2.一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．注意：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．3.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．【知识拓展1】一元一次不等式组的定义例1．（2022·广东·八年级专题练习）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据一元一次不等式组的概念逐一辨析．【详解】A.是一元一次不等式组，故正确；

B.是二元一次不等式组，故不正确；

C.是一元二次不等式组，故不正确；D.是分式不等式组，故不正确；故选A．【点睛】本题考查了对一元一次不等式组概念的理解，深刻理解基本定义是解决这类问题的关键．【即学即练】1．（2023·山西七年级模拟）下列各式不是一元一次不等式组的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一元一次不等式的定义判断即可得到结果；【详解】符合一元一次不等式组的定义，故A是；因为有a、b两个未知数，故B不是；符合一元一次不等式组的定义，故C是；符合一元一次不等式组的定义，故D是；故答案选B．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义，准确判断是解题的关键．【知识拓展2】解一元一次不等式组例2．（2022·湖南双峰·八年级期末）解不等式组，，并把解集在数轴上表示出来．【答案】，数轴见解析【分析】先分别求出两个不等式的解集，可得到不等式组的解集，即可求解．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为，把解集在数轴上表示出来如下图：【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．【即学即练】1．（2022·河南长垣·模拟预测）已知关于x的不等式组为，则这个不等式组的解集为_____．【答案】【分析】分别求出两个不等式的解集，即可求解．【详解】解：，解不等式①，得x≤﹣，解不等式②，得x，所以不等式组的解集是x，故答案为：x．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的基本方法是解题的关键．2．（2022·北京市九年级开学考试）解不等式组：．【答案】【分析】分别求两个不等式的解集，然后求出公共的解集即可；【详解】解：解不等式①得：解不等式②得：∴不等式组的解为．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组．解题的关键在于正确的计算求解．【知识拓展3】求一元一次不等式组的整数解例3．（2022·湖南新邵·八年级期末）不等式组的所有整数解的和是________．【答案】6【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分，然后从解集中找出所有的整数相加即可．【详解】解：，解①得：，解②得：x≤3,∴不等式组的解集是：，∴其中的整数有：0,1,2,3，∴0+1+2+3=6．故答案为6．【点睛】本题主要考查了解不等式组，不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．【即学即练】1.（2022·全国九年级）不等式组的整数解为（）A．－2，－1，0 B．－2，－1，0，1 C．－2，－3 D．－2，－1【答案】A【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出整数解．【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，不等式组的解集是，∴不等式组的整数解为：、、，故选：A【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2．（2022·四川成都市·八年级期中）不等式组的最大整数解为（）．A． B． C．1 D．0【答案】A【分析】首先分别求出每一个不等式的解集，得出不等式组的解集，进一步得出最大整数解即可．【详解】，解不等式①得：，解不等式②得：x＜,所以不等式组的解集为；x＜,最大整数解为﹣2．故选A．【点睛】本题考查求不等式组的整数解，求出不等式组的解集是解决问题的关键．【知识拓展4】解特殊不等式组例4．（2022·广西南宁·七年级期中）如图，是一个运算流程，若需要经过两次运算，才能运算出，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】若需要经过两次运算，才能运算出y，则有不等式组：，即可解出x的取值范围；【详解】由输入两次，才能计算出y的值得：，解得-2≤x＜-1．故选：D【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，并考查了学生的阅读理解能力，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．【即学即练】1．（2022·南昌八年级期中）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为.如=.如果有，求x的取值范围．【答案】x＞1.【分析】首先看懂题目所给的运算法则，再根据法则得到2x﹣（3﹣x）＞0，然后去括号、移项、合并同类项，再把x的系数化为1即可．【解析】由题意得2x﹣(3﹣x)＞0，去括号得：2x﹣3+x＞0，移项合并同类项得：3x＞3，把x的系数化为1得：x＞1，解集在数轴上表示如下：【点睛】本题考查了解一元一次不等式，有理数的混合运算和在数轴上表示不等式的解集，正确掌握解不等式的基本步骤是解题的关键．2．（2022·河南卫辉·八年级期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：对于，这类不等式我们可以进行下面的解题思路分析：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可得（1），（2），从而将陌生的高次不等式化为了学过的一元一次不等式组，分别去解两个不等式组即可求得原不等式组的解集，即：解不等式组（1）得，解不等式组（2）得，所以的解集为或，请利用上述解题思想解决下面的问题：（1）请直接写出的解集．（2）对于，请根据有理数的除法法则化为我们学过的不等式（组）．（3）求不等式的解集【答案】（1）；（2）或；（3）或【分析】（1）根据阅读理解的指引把原不等式化为：①或②，再分别解两个不等式组即可得到答案；（2）根据“两数相除，同号得正，异号得负”把原不等式化为：①或②即可；（3）根据“两数相除，同号得正，异号得负”把原不等式化为：①或②，再解两个不等式组，从而可得答案．【详解】解：（1），①或②，解①得：，解②得：不等式组无解，的解集是；（2）可以化为：①或②；（3）解：根据除法法则可得：①或②，解不等式组①得：，解不等式组②得：，所以的解集是或．【点睛】本题考查的是阅读理解，根据阅读理解列不等式组，同时考查一元一次不等式组的解法，正确弄懂题意列不等式组是解题的关键．【知识拓展5】由一元一次不等式组的解集求参数例5．（2022·江苏·九年级）若不等式组解集是，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先解出不等式组的解集，然后与x＞4比较，即可求出实数m的取值范围．【详解】解：由①得2x＞4m-10，即x＞2m-5；由②得x＞m-1；∵不等式组的解集是x＞4，若2m-5=4，则m＝，此时，两个不等式解集为x＞4，x＞，不等式组解集为x＞4，符合题意；若m-1=4，则m=5，此时，两个不等式解集为x＞5，x＞4，不等式组解集为x＞5，不符合题意，舍去；故选：C．【点睛】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知数处理，将求出的解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．求不等式组的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小解不了．【即学即练】1．（2022·浙江·八年级阶段练习）不等式组的解是x＞a，则a的取值范围是（

）A．a＜3 B．a=3 C．a＞3 D．a≥3【答案】D【分析】根据不等式组的解集为x＞a，结合每个不等式的解集，即可得出a的取值范围．【详解】解：∵不等式组的解是x＞a，∴，故选：D．【点睛】本题考查了求不等式组的解集的方法，熟记口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解本题的关键．2．（2022·湖南长沙·八年级期末）如果不等式组的解集是0≤x＜1，那么a+b的值为_____．【答案】1【分析】分别求出每一个不等式的解集，结合不等式组的解集得出关于a、b的方程，解之求出a、b的值，从而得出答案．【详解】解：解不等式x＋2a≥4，得：x≥−2a＋4，解不等式，得：x＜，∵不等式组的解集为0≤x＜1，∴−2a＋4＝0，＝1，解得a＝2，b＝−1，∴a＋b＝2−1＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【知识拓展6】由一元一次不等式组的解集情况求参数例6．（2022·河北·八年级期中）如果关于x的不等式组无解，那么m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，依据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了可得答案．【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，不等式组无解，，故选：．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【即学即练】1．（2022·山东茌平·八年级期末）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则m的取值范围是______．【答案】【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组恰有3个整数解，确定出m的范围即可．【详解】解：不等式组整理得：，解得：，由不等式组恰有3个整数解，得到整数解为1，2，3，∴．故答案为：．【点睛】此题考查一元一次不等式组的整数解，根据整数解的个数得出关于m的不等式组是解题的关键．2．（2022·浙江·宁波市八年级期中）不等式组有解，m的取值范围是______．【答案】m＜2【分析】根据不等式组得到m+3＜x＜5，【详解】解：解不等式组，可得，m+3＜x＜5，∵原不等式组有解∴m+3＜5，解得：m＜2，故答案为：m＜2．【点睛】本题主要考查了不等式组的计算，准确计算是解题的关键．【知识拓展7】不等式组与二元一次方程组结合例7．（2022·重庆·八年级期末）若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的所有整数a的和为（）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【分析】先将二元一次方程组的解用a表示出来，然后再根据题意列出不等式组求出的取值范围，进而求出所有a的整数值，最后求和即可．【详解】解：解关于x，y的二元一次方程组，得，∵关于x，y的二元一次方程组的解为正数，∴，∴3＜a＜7，∴满足条件的所有整数a的和为4+5+6＝15．故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组等知识点，根据题意求得a的取值范围是解答本题关键．【即学即练】1．（2022·山东·八年级期末）已知：方程组的解中，是非负数，是正数．求整数的值．【答案】0，1，2【分析】先加减消元法解二元一次方程求出，根据是非负数，是正数．列不等式组解不等式组求出即可．【详解】解：，①+②得3x=-k+2，解得，把代入①得：所以方程组的解为，∵是非负数，是正数．，解不等式得①，解不等式的②，∴，∵为整数，∴整数的值为0，1，2．【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，列不等式组与解不等式组，根据范围确定整数解，掌握二元一次方程组的解法，加减消元法与代入消元法，列不等式组与解不等式组，根据范围确定整数解是解题关键．2．（2022·四川简阳·八年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x＞y，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的和为_____．【答案】【分析】解二元一次方程组，根据x＞y列出不等式，即可求得，解不等式组，根据不等式组无解求得，进而根据题意求得符合条件的整数，求和即可【详解】解：①+②得解得，将代入②得：解得解得由解不等式③得：解不等式④得：不等式组无解解得则所有符合条件的整数a为：,其和为故答案为：7【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，根据题意求得符合题意的整数是解题的关键．知识点02一元一次不等式组的应用【知识点】1、一元一次不等式组的应用：列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．注意：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．2.利用不等式（组）解决最佳方案（最值）问题做一件事，有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案作是有必要的。在选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题常用到函数。最佳方案往往是最多或者最少时，而我们知道，一次函数是一条倾斜的直线，在坐标轴上无最大值与最小值。但是，实际问题中，函数的取值范围通常是一个有限的范围，在这个范围内，函数是有最大值与最小值的。具体分析步骤如下：=1\*GB3①根据题干信息，列写函数关系（与列等式方程思路类似）；=2\*GB3②根据实际情况，列写自变量的取值范围不等式（组），并求解出自变量的取值范围；=3\*GB3③根据函数的增减性（上升或下降趋势）和自变量的取值范围确定最值和最佳方案。【知识拓展1】一元一次不等式组的应用1例1．（2021·黑龙江·七年级期中）若干名学生住宿舍，每间住人，人无处住；每间住人，空一间还有一间不空也不满，问多少学生多少宿舍？设有间宿舍，则可列不等式组为____【答案】【分析】先根据“每间住人，人无处住”可得学生人数，再根据“每间住人，空一间还有一间不空也不满”建立不等式组即可得．【详解】设有间宿舍，则学生有人，由题意得：，故答案为：．【点睛】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键．【即学即练1】1．（2022·重庆沙坪坝·七年级期中）把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，则共有学生___人．【答案】11或12##12或11【分析】根据每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，得出5x+7≥6（x-1）+1，且6（x-1）+3＞5x+7，分别求出即可．【详解】解：假设共有学生x人，根据题意得出：，解得：10＜x≤12．因为x是正整数，所以符合条件的x的值是11或12，故答案为：11或12．【点睛】此题主要考查一元一次不等式组的应用，根据题意找出不等关系得出不等式组是解决问题的关键．2．（2022·上海复旦五浦汇实验学校期中）已知某校六年级学生超过130人，而不足150人，将他们按每组12人分组，多3人，将他们按每组8人分组，也多3人，该校六年级学生有多少人？【答案】147【分析】由12和8的最小公倍数为24，可设该校六年级学生有（24x+3）人，根据“该校六年级学生超过130人，而不足150人”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为正整数即可确定x的值，再将其代入（24x+3）中即可得出结论．【详解】解：∵12和8的最小公倍数为24，∴设该校六年级学生有（24x+3）人．依题意，得：，解得：5＜x＜6．又∵x为正整数，∴x＝6，∴24x+3＝147（人）．答：该校六年级学生有147人．【点睛】本题考查了一元一次不等式组．解题的关键在于通过确定两数的最小公倍数得到数量关系，正确的列不等式组．【知识拓展2】一元一次不等式组的应用2-方案问题例2．（2022·江苏·七年级专题练习）为缓解并最终解决能源的供需矛盾，改善日益严峻的环境状况，我国大力提倡发展新能源．新能源汽车市场发展迅猛，国家不仅在购买新能源车方面有补贴，而且还有免缴购置税等利好政策．某汽车租赁公司准备购买、两种型号的新能源汽车10辆．新能源汽车厂商提供了如下两种购买方案：方案汽车数量（单位：辆）总费用（单位：万元）第一种购买方案64170第二种购买方案82160(1)、两种型号的新能源汽车每辆的价格各是多少万元？(2)为了支持新能源汽车产业的发展，国家对新能源汽车发放一定的补贴．已知国家对、两种型号的新能源汽车补贴资金分别为每辆3万元和4万元．通过测算，该汽车租赁公司在此次购车过程中，可以获得国家补贴资金不少于34万元，公司需要支付资金不超过145万元，请你通过计算求出有几种购买方案．【答案】(1)型号新能源汽车每辆的价格是15万元，型号新能源汽车每辆的价格是20万元(2)共有三种购车方案，方案一：购买型号新能源汽车4辆，则购买型号新能源汽车6辆；方案二：购买型号新能源汽车5辆，则购买型号新能源汽车5辆；方案三：购买型号新能源汽车6辆，则购买型号新能源汽车4辆【分析】（1）设A种型号的新能源汽车每辆的价格为x万元，B种型号的新能源汽车每辆的价格为y万元，根据总价=单价×数量结合汽车厂商提供的两种购买方案，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该汽车租赁公司购进A种型号的新能源汽车a辆，则购进B种型号的新能源汽车（10-a）辆，根据国家补贴资金不少于34万元及公司需要支付资金不超过145万元，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再结合a为整数即可得出各购买方案．【详解】(1)设型号新能源汽车每辆的价格是万元，型号新能源汽车每辆的价格是万元.由题意得：解得：.型号新能源汽车每辆的价格是15万元，型号新能源汽车每辆的价格是20万元.(2)设购买型号新能源汽车辆，则购买型号新能源汽车辆.由题意得：解得：.∵a是整数，∴a=4，5或6∴共有三种购车方案方案一：购买型号新能源汽车4辆，则购买型号新能源汽车6辆方案二：购买型号新能源汽车5辆，则购买型号新能源汽车5辆方案三：购买型号新能源汽车6辆，则购买型号新能源汽车4辆【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．【即学即练】1．（2022·湖南洪江·八年级期末）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．(1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值．(2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x正整数），求有哪几种购买方案．【答案】(1)的值为10，的值为14(2)共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜【分析】（1）由购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克的费用=430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克的费用=212元，再列二元一次方程组解答；（2）利用投入资金不少于1160元又不多于1168元，确定不等关系列一元一次不等式组求解．【详解】(1)解：依题意，得：，解得：．答：的值为10，的值为14．(2)解：依题意，得：，解得：．又∵x为正整数，∴可以为58，59，60，∴共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜．【点睛】此题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．【知识拓展3】一元一次不等式组的应用3-最优解问题例3．（2022·山东庆云·八年级期末）为了净化空气，美化校园环境，某学校计划种植，两种树木．已知购买棵种树木和棵种树木共花费元；购买棵种树木和棵种树木共花费元．（1）求，两种树木的单价分别为多少元（2）如果购买种树木有优惠，优惠方案是：购买种树木超过棵时，超出部分可以享受八折优惠．若该学校购买（，且为整数）棵种树木花费元，求与之间的函数关系式．（3）在（2）的条件下，该学校决定在，两种树木中购买其中一种，且数量超过棵，请你帮助该学校判断选择购买哪种树本更省钱．【答案】（1）种树木的单价为80元，种树木的单价为72元；（2）；（3）当时，选择购买种树木更省钱；当时，选择购买两种树木的费用相同；当时，选择购买种树木更省钱．【分析】（1）设种树每棵元，种树每棵元，根据“购买20棵种树木和15棵种树木共花费2680元；购买10棵种树木和20棵种树木共花费2240元”列出方程组并解答；（2）分，两种情况根据（1）求出的单价即可得与之间的函数关系式；（3）根据种树的单价和（2）求得的函数关系式进行解答即可．【详解】解：（1）设种树木的单价为元，种树木的单价为元．根据题意，得，解得：，答：种树木的单价为80元，种树木的单价为72元；（2）根据题意得，当时，；当时，，与之间的函数关系式为；（3）当时，解得：，即当时，选择购买种树木更省钱；当时，解得：，即当时，选择购买两种树木的费用相同；当时，解得：，即当时，选择购买种树木更省钱．答：当时，选择购买种树木更省钱；当时，选择购买两种树木的费用相同；当时，选择购买种树木更省钱．【点睛】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．【即学即练】1．（2022·天津南开·八年级期中）某商场为了抓住夏季来临，衬衫热销的契机，决定用46000元购进、、三种品牌的衬衫共300件，并且购进的每一种衬衫的数量都不少于90件.设购进种型号的衬衣件，购进种型号的衬衣件，三种品牌的衬衫的进价和售价如下表所示：型号进价（元/件）100200150售价（元/件）200350300（Ⅰ）直接用含、的代数式表示购进种型号衬衣的件数，其结果可表示为______；（Ⅱ）求与之间的函数关系式；（Ⅲ）如果该商场能够将购进的衬衫全部售出，但在销售这些衬衫的过程中还需要另外支出各种费用共计1000元.①求利润（元）与（件）之间的函数关系式；②求商场能够获得的最大利润.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）①P=-50x+44000；②商场能够获得的最大利润为39500元.【分析】（1）根据购进A种品牌的羽绒服x件，B种品牌的羽绒服y件，购进A、B、C三种品牌的羽绒服共300件，表示出C即可；（2）根据进价表格，利用用46000元购进A、B、C三种品牌的羽绒服共300件，得出等式即可；（3）①根据表格得出进价与售价进而得出每件利润，得出总利润即可，②首先求出x的取值范围，利用一次函数的增减性得出最大利润即可．【详解】（Ⅰ）（Ⅱ）依题意，得：整理得：.（Ⅲ）①②∵购进的每一种衬衫的数量都不少于90件，，解得，∵在中，，∴随的增大而减小，∴当时，（元）.答：商场能够获得的最大利润为39500元.【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式组的应用和一次函数的增减性等知识，根据已知得出y与x的函数关系式是解题关键．【知识拓展4】一元一次不等式组的应用4-调配问题例4．（2022·湖北恩施·中考模拟）某县有A、B两个大型蔬菜基地，共有蔬菜700吨.若将A基地的蔬菜全部运往甲市所需费用与B基地的蔬菜全部运往甲市所需费用相同.从A、B两基地运往甲、乙两市的运费单价如下表:（1）求A、B两个蔬菜基地各有蔬菜多少吨？（2）现甲市需要蔬菜260吨，乙市需要蔬菜440吨.设从A基地运送吨蔬菜到甲市，请问怎样调运可使总运费最少？【答案】（1）A、B两基地的蔬菜总量分别为300吨和400吨；（2）当A基地运300吨到乙市，B基地运260吨到甲市，B基地运140吨到乙市时，总运费最少为14760元.【分析】（1）设A、B两基地的蔬菜总量分别为吨、吨，根据题意列方程组求出x、y的值即可；（2）先根据题意列不等式组求出m的取值范围，根据A、B两基地运往甲、乙两市的运费得出总费用w的表达式，根据一次函数的性质求出w的最小值即可得答案.【详解】（1）设A、B两基地的蔬菜总量分别为吨、吨.根据题意得：解得：，答：A、B两基地的蔬菜总量分别为300吨和400吨.（2）由题可知：∴∵.∵4>0，∴随的增大而增大，∴=14760.答：当A基地运300吨到乙市，B基地运260吨到甲市，B基地运140吨到乙市时，总运费最少为14760元.【点睛】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组的应用及一次函数的性质，正确得出等量关系列出方程组并熟练掌握一次函数的性质是解题关键.【即学即练】1．（2022·黑龙江伊春·中考模拟）为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．（1）A城和B城各有多少吨肥料？（2）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求出最少总运费．（3）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时怎样调运才能使总运费最少？【答案】（1）A城和B城分别有200吨和300吨肥料；（2）从A城运往D乡200吨，从B城运往C乡肥料240吨，运往D乡60吨时，运费最少，最少运费是10040元；（3）当0＜a<4时，A城200吨肥料都运往D乡，B城240吨运往C乡，60吨运往D乡；当a=4时，在0≤x≤200范围内的哪种调运方案费用都一样；当4＜a＜6时，A城200吨肥料都运往C乡，B城40吨运往C乡，260吨运往D乡.【分析】（1）根据A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，列方程或方程组得答案；（2）设从A城运往C乡肥料x吨，用含x的代数式分别表示出从A运往运往D乡的肥料吨数，从B城运往C乡肥料吨数，及从B城运往D乡肥料吨数，根据：运费=运输吨数×运输费用，得一次函数解析式，利用一次函数的性质得结论；（3）列出当A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元时的一次函数解析式，利用一次函数的性质讨论，得结论．【详解】（1）设A城有化肥a吨，B城有化肥b吨，根据题意，得，解得，答：A城和B城分别有200吨和300吨肥料；（2）设从A城运往C乡肥料x吨，则运往D乡（200﹣x）吨，从B城运往C乡肥料（240﹣x）吨，则运往D乡（60+x）吨，设总运费为y元，根据题意，则：y=20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）=4x+10040，∵，∴0≤x≤200，由于函数是一次函数，k=4＞0，所以当x=0时，运费最少，最少运费是10040元；（3）从A城运往C乡肥料x吨，由于A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，所以y=（20﹣a）x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）=（4﹣a）x+10040，当4﹣a>0时，即0＜a<4时，y随着x的增大而增大，∴当x=0时，运费最少，A城200吨肥料都运往D乡，B城240吨运往C乡，60吨运往D乡；当4-a=0时，即a=4时，y=10040，在0≤x≤200范围内的哪种调运方案费用都一样；当4﹣a＜0时，即4＜a＜6时，y随着x的增大而减小，∴当x=240时，运费最少，此时A城200吨肥料都运往C乡，B城40吨运往C乡，260吨运往D乡.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等，弄清题意、根据题意找准等量关系、不等关系列出方程组，列出一次函数解析式是关键．注意（3）小题需分类讨论．题组A基础过关练1．（2022·台州市书生中学七年级期中）下列不等式组是一元一次不等式组的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据不等式组中只含有一个未知数并且未知数的次数是一次的，可得答案．【详解】A、是二元一次不等式组，故A错误；B、是一元一次不等式组，故B正确；C、是一元二次不等式组，故C错误；D、不是一元一次不等式组，故D错误；故选：B．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，不等式组中只含有一个未知数并且未知数的最高次的次数是一次的．2．（2021·福建厦门市·九年级期末）不等式组的解集是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出2x≥-1的解集，再确定不等式组的解集即可．【详解】解：解不等式①得，，解不等式②得，x>-1，∴不等式组的解集为：故选：C．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3．（2022·山西·七年级期末）若方程组的解，的值都不大于，则的取值范围是______．【答案】【分析】解关于x、y的二元一次方程组得，根据，的值都不大于，得到关于的不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：解关于x、y的二元一次方程组得，∵，的值都不大于，∴，解不等式组得．故答案为：【点睛】本题为二元一次方程组与不等式组综合题，正确解出关于x、y的方程组，根据题意得到关于a的不等式组是解题关键．4．（2022·河北·石家庄八年级期末）已知关于x的不等式组的解集是﹣1＜x＜3，则（m＋n）2021＝_______．【答案】-1【分析】分别求得两个不等式的解集（含m、n的式子表示），然后根据不等式组的解集为-1＜x＜3得到关于m、n的二元一次方程组，可求得m、n的值，最后即可求得代数式（m+n）2021的值．【详解】解：解不等式x-3m＜0得：x＜3m，解不等式n-3x＜得：x＞，∵不等式组的解集为-1＜x＜3，∴，解得：，∴（m+n）2021=-1．故答案为：-1．【点睛】本题是一道综合性的题目．考查了不等式组和二元一次方程组的解法，将不等式组问题转化为方程组问题是解题的关键．5．（2022·广东·东莞市一模）求不等式组的整数解．【答案】该不等式的整数解为-2，-1，0，1．【分析】首先求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据大小小大中间确定不等式的解集即可．【详解】解：，由①得：x＞-3，由②得x≤1，不等式组的解集为：-3＜x≤1，则该不等式的整数解为-2，-1，0，1．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律，同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．6.（2022·浙江宁波·八年级期末）解不等式组．【答案】1＜x≤2【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式①，得：x＞1，解不等式②，得：x≤2，则不等式组的解集为1＜x≤2．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．7．（2022·湖南娄底市·八年级期末）解不等式组，并在数轴上把不等式的解集表示出来．【答案】，数轴上解集见解析．【分析】分别计算两个不等式的解集，并将解集表示在数轴上，找到公共解集即可解题．【详解】解：由①得解得；由②得解得，将不等式组的解集表示在数轴上：原不等式组的解集为：．【点睛】本题考查解不等式组、在数轴上表示不等式组的解题等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解关键．8．（2022·浙江缙云·八年级期末）某校为了表彰“新时代好少年”决定购买一些笔记本和文具盒做奖品．已知笔记本单价是9元，文具盒的单价是4元，若购买两种奖品的数量总共30个，购买费用不低于140元，且不高于150元．求学校有哪几种购买方案？【答案】学校有三种购买方案：方案一：购买笔记本4个，文具盒26个；方案二：购买笔记本5个，文具盒25个；方案三：购买笔记本6个，文具盒24个．【分析】设购买笔记本个，则购买文具盒个，根据题意列出一元一次不等式组求出的取值范围，并求出购买方案解答即可．【详解】解：设购买笔记本个，则购买文具盒个，由题意得：，解得：，为整数，或或，当时，，当时，，当时，，购买方案有3种：方案一：购买笔记本4个，文具盒26个；方案二：购买笔记本5个，文具盒25个；方案三：购买笔记本6个，文具盒24个．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，找出数量关系，解题的关键是正确列出一元一次不等式组．题组B能力提升练1．（2022·广东禅城·八年级期末）不等式组有两个整数解，则实数m的取值范围为（）A．﹣5≤m＜﹣4 B．﹣5＜m＜﹣4 C．﹣5＜m≤﹣4 D．﹣5≤m≤﹣4【答案】A【分析】根据不等式组有两个整数解知不等式组的整数解为﹣3，﹣4，据此求解可得答案．【详解】解：∵不等式组有两个整数解，∴不等式组的解集为∴不等式组的整数解为﹣3，﹣4，则﹣5≤m＜﹣4，故选A．【点睛】本题主要考查了不等式组的整数解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．2．（2022·江苏·七年级专题练习）不等式组的解集为，则a满足的条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先解不等式组，解集为且，再由不等式组的解集为，由“同小取较小”的原则，求得取值范围即可．【详解】解：解不等式组得，且不等式组的解集为，∴，∴．故选：．【点睛】本题考查了不等式组解集的四种情况：①同大取较大，②同小取较小，③小大大小中间找，④大大小小解不了，熟悉相关性质是解题的关键．3．（2022·浙江·宁波市八年级期中）已知关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在﹣1≤x≤3的范围内，则a的取值范围是（）A．﹣5≤a≤6 B．a≥6或a≤﹣5 C．﹣5＜a＜6 D．a＞6或a＜﹣5【答案】B【分析】根据解不等式组，可得不等式组的解集，根据不等式组的解集是与﹣1≤x≤3的关系，可得答案．【详解】解：不等式组，得a﹣3＜x＜a+4，由不等式组的解集中任意一个x的值均不在﹣1≤x≤3的范围内，得a+4≤﹣1或a﹣3≥3，解得a≤﹣5或a≥6，故选：B．【点睛】本题考查了不等式的解集，利用解集中任意一个x的值均不在﹣1≤x≤3的范围内得出不等式是解题关键．4．（2022·浙江·金华市八年级期中）不等式的整数解是1，2，3，4．则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先确定再分析不符合题意，确定再解不等式，结合不等式的整数解可得：，从而可得答案.【详解】解：显然：当时，不等式的解集为：，不等式没有正整数解，不符合题意，当时，不等式的解集为：不等式的整数解是1，2，3，4，由①得：由②得：所以不等式组的解集为：故选A【点睛】本题考查的是根据不等式的整数解确定参数的取值范围，掌握“解不等式时，不等式的左右两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向改变”是解题的关键.5．（2022·成都市锦江区八年级阶段练习）若方程组的解是（m为常数），方程组的解x、y满足，则m的取值范围为______．【答案】【分析】先将转化为与已知的方程组联合起来代数求出和的值即可．【详解】方程组，可转换为，∵方程组的解集为，∴方程组的解为：，由②-①得：，，把代入①得：，∴，∴，故答案为：m>2．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解不等式，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入法是解题的关键．6．（2022·浙江·杭州八年级期中）若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是______．【答案】a＞3【分析】由题意直接根据不等式组的解集的表示方法进行分析可得答案．【详解】解：由题意得：a＞3，故答案为：a＞3．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．7．（2022·黑龙江前进·九年级期末）若不等式组无解，则m的取值范围是______．【答案】【分析】求得第一个不等式的解集，借助数轴即可求得m的取值范围．【详解】解不等式，得x>2因不等式组无解，把两个不等式的解集在数轴上表示出来如下：观察图象知，当m≤2时，满足不等式组无解故答案为：【点睛】本题考查了根据不等式组解的情况确定参数的取值范围，借助数轴数形结合是关键．8．（2022·四川·沐川县八年级期末）已知不等式的正整数解恰好是1、2、3，则的取值范围是______．【答案】【分析】首先求得不等式的解集，其中方程的解可用a表示，根据不等式的正整数解即可得到一个关于a的不等式组，即可求得a的范围．【详解】解：解不等式得：，根据题意得：，解得：，故答案为．【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，根据x的取值范围正确确定的范围是解题的关键．解不等式时要根据不等式的基本性质．9.阅读材料：形如的不等式，我们就称之为双连不等式，求解双连不等式的方法一，转化为不等式组求解，如；方法二，利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去1，得，然后同时除以2，得．解决下列问题：（1）请你将双连不等式转化为不等式组．（2）利用不等式的性质解双连不等式．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据阅读材料中的方法将双连不等式化为不等式组即可；（2）利用不等式的基本性质求出所求即可．解：（1）转化为不等式组为．（2），不等式的左、中、右同时减去3，得，同时除以，得【点拨】此题考查解一元一次不等式组，以及不等式的定义，弄清阅读材料中的转化方法是解本题的关键．题组C培优拔尖练1．（2022·重庆八年级阶段练习）如果关于x的不等式组有且只有3个奇数解，且关于y的方程3y+6a=22-y的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的积为（

）A．-3 B．3 C．-4 D．4【答案】A【分析】先求解不等式组，根据解得范围确定的范围，再根据方程解的范围确定的范围，从而确定的取值，即可求解．【详解】解：由关于x的不等式组解得∵关于x的不等式组有且只有3个奇数解∴，解得关于y的方程3y+6a=22-y，解得∵关于y的方程3y+6a=22-y的解为非负整数∴，且为整数解得且为整数又∵，且为整数∴符合条件的有、、符合条件的所有整数a的积为故选：A【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法及一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法及一元一次方程的解法是解题的关键．2．（2022·重庆丰都·八年级期末）如果关于的不等式组的整数解仅有，，那么适合这个不等式组的整数，组成的有序数对共有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】解不等式组，然后根据不等式组的整数解仅有1，2即可确定，的范围，即可确定，的整数解，即可求解．【详解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，不等式组的解集为，不等式组的整数解仅有1、2，，，解得：，，整数有1；2；3，整数有；，整数、组成的有序数对有；；；；；，共6个，故选：B．【点睛】此题主要考查了不等式组的整数解，根据不等式组整数解的值确定，的取值范围是解决问题的关键．3．（2022·重庆实验外国语学校八年级期中）如果关于x的方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x有整数解，且关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先解关于y的不等式组可得解集为，根据关于y的不等式组有解可得，由此可得，再解关于x的方程可得解为，根据关于x的方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x有整数解可得的值为整数，由此可求得整数a的值，由此即可求得答案．【详解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，∴不等式组的解集为，∵关于y的不等式组有解，∴，解得：，∵ax﹣3（x+1）＝1﹣x，∴ax﹣3x﹣3＝1﹣x，∴ax﹣3x＋x＝1＋3，∴(a﹣2)x＝4，∵关于x的方程ax﹣3（x+1）＝1﹣x有整数解，a为整数，∴a﹣2＝4，2，1，﹣1，﹣2，﹣4，解得：a＝6，4，3，1，0，﹣2，又∵，∴a＝4，3，1，0，﹣2，∴符合条件的所有整数a的个数为5个，故选：C【点睛】此题考查了解一元一次不等式组、解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．4．（2022·重庆市九年级月考）随着中秋节的逐渐临近，红梅超市计划购进甜味型、咸味型、麻辣味型三种共50盒月饼，其中咸味型月饼数量不超过甜味型月饼数量，且咸味型月饼数量不少于麻辣味型月饼数量的一半．已知甜味型月饼每盒60元，咸味型月饼每盒80元，麻辣味型月饼每盒100元．在价格不变的条件下，小王实际购进甜味型月饼是计划的倍，麻辣味型月饼购进了12盒，结果小王实际购进三种月饼共35盒，且比原计划少支付1240元，则小王原计划购进甜味型月饼_____盒．【答案】18【分析】设小王原计划购进甜味型月饼x盒，咸味型月饼y盒，则麻辣味型月饼（50－x－y）盒，根据题意，列出二元一次方程，然后根据x、y均为正整数，求出方程的解，再根据题意列出不等式组即可求出x的取值范围，从而求出结论．【详解】设小王原计划购进甜味型月饼x盒，咸味型月饼y盒，则麻辣味型月饼（50－x－y）盒根据题意可得整理可得：∴∵x、y均为正整数∴x为6的倍数∴，，，，由题意可得∴解①，得解②，得∴∴故答案为：18．【点睛】此题考查的是二元一次方程的应用和不等式的应用，掌握实际问题中的等量关系和不等关系是解题关键．5．（2022·重庆南开中学八年级开学考试）若整数使关于的一次函数不经过第三象限，且使关于的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为______．【答案】5【分析】先根据一次函数不经过第三象限，得出，根据不等式组的解集不等式组的解集为，有且仅有4个整数解为2，1，0，-1，得出，综合得出，根据a为整数，求出a的值，再求和即可．【详解】解：关于的一次函数不经过第三象限，，解得，，解不等式①得，解不等式②，∴不等式组的解集为，∵不等式组有且仅有4个整数解为2，1，0，-1，∴，解得，∴，∵为整数，∴或，∴2+3=5．故答案为：5．【点睛】本题考查一次函数的性质，解不等式组，根据不等式组的整数解列不等式组，掌握一次函数的性质，解不等式组，根据不等式组的整数解列不等式组是解题关键．6．（2022·四川绵阳·七年级期末）若关于的不等式组的所有整数