高考物理专题-动量和能量

高考物理专题2动量和能量知识网络考点预测本专题涉及的内容是动力学内容的延续和深化．动量守恒定律、机械能守恒定律、能量守恒定律比牛顿运动定律的适用范围更广泛．它们是自然界中最基本、最普遍、最重要的客观规律，也是高中物理的重点和难点、高考考查内容的重点．其命题形式一般是能量与动量综合起来考，如：2009年全国理综卷Ⅰ第21题、第25题，2008年全国理综卷Ⅰ的第24题“下摆拉动滑块碰撞问题”，全国理综卷Ⅱ的第23题“子弹射击木块问题”，重庆理综卷的第24题“碰撞后压缩弹簧问题”．但是，由于目前全国的课改形势以及在课程标准中的内容设置，在高考中出现的这类综合题的难点主要在于功能关系的应用上，而不是在于动量守恒定律的应用上．另外，从2009年各地的高考考卷中也可发现，除了能量与动量的综合题外，单独考查功能原理的试题在卷中出现的概率也较大．要点归纳一、基本的物理概念1．冲量与功的比较eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1((1)定义式))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(冲量的定义式：I＝Ft(作用力在时间上的积累效果),功的定义式：W＝Fscosθ(作用力在空间上的积累效果)))(2)属性eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(冲量是矢量，既有大小又有方向(求合冲量应按矢,量合成法则来计算),功是标量，只有大小没有方向(求物体所受外力的,总功只需按代数和计算)))2．动量与动能的比较(1)定义式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(动量的定义式：p＝mv,动能的定义式：Ek＝\x\bo(\f(1,2)mv2)))(2)属性eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(动量是矢量(动量的变化也是矢量,求动量的变化,应按矢量运算法则来计算),动能是标量(动能的变化也是标量,求动能的变化,只需按代数运算法则来计算)))(3)动量与动能量值间的关系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝\x\bo(\r(2mEk)),Ek＝\f(p2,2m)＝\x\bo(\f(1,2)pv)))(4)动量和动能都是描述物体状态的量，都有相对性(相对所选择的参考系)，都与物体的受力情况无关．动量的变化和动能的变化都是过程量，都是针对某段时间而言的．二、动量观点的基本物理规律1．动量定理的基本形式与表达式：I＝Δp．分方向的表达式：Ix合＝Δpx，Iy合＝Δpy．2．动量定理推论：动量的变化率等于物体所受的合外力，即eq\f(Δp,Δt)＝F合．3．动量守恒定律(1)动量守恒定律的研究对象是一个系统(含两个或两个以上相互作用的物体)．(2)动量守恒定律的适用条件①标准条件：系统不受外力或系统所受外力之和为零．②近似条件：系统所受外力之和虽不为零，但比系统的内力小得多(如碰撞问题中的摩擦力、爆炸问题中的重力等外力与相互作用的内力相比小得多)，可以忽略不计．③分量条件：系统所受外力之和虽不为零，但在某个方向上的分量为零，则在该方向上系统总动量的分量保持不变．(3)使用动量守恒定律时应注意：①速度的瞬时性；②动量的矢量性；③时间的同一性．(4)应用动量守恒定律解决问题的基本思路和方法①分析题意，明确研究对象．在分析相互作用的物体总动量是否守恒时，通常把这些被研究的物体统称为系统．对于比较复杂的物理过程，要采用程序法对全过程进行分段分析，要明确在哪些阶段中，哪些物体发生相互作用，从而确定所研究的系统是由哪些物体组成的．②对各阶段所选系统内的物体进行受力分析，弄清哪些是系统内部物体之间相互作用的内力，哪些是作用于系统的外力．在受力分析的基础上根据动量守恒定律的条件，判断能否应用动量守恒定律．③明确所研究的相互作用过程，确定过程的始末状态，即系统内各个物体的初动量和末动量的值或表达式．(注意：在研究地面上物体间相互作用的过程时，各物体运动的速度均应取地球为参考系)④确定正方向，建立动量守恒方程求解．三、功和能1．中学物理中常见的能量动能Ek＝eq\f(1,2)mv2；重力势能Ep＝mgh；弹性势能E弹＝eq\f(1,2)kx2；机械能E＝Ek＋Ep；分子势能；分子动能；内能；电势能E＝qφ；电能；磁场能；化学能；光能；原子能(电子的动能和势能之和)；原子核能E＝mc2；引力势能；太阳能；风能(空气的动能)；地热、潮汐能．2．常见力的功和功率的计算：恒力做功W＝Fscosθ；重力做功W＝mgh；一对滑动摩擦力做的总功Wf＝－fs路；电场力做功W＝qU；功率恒定时牵引力所做的功W＝Pt；恒定压强下的压力所做的功W＝p·ΔV；电流所做的功W＝UIt；洛伦兹力永不做功；瞬时功率P＝Fvcos_θ；平均功率eq\o(P,\s\up6(－))＝eq\f(W,t)＝Feq\o(v,\s\up6(－))cosθ．3．中学物理中重要的功能关系能量与物体运动的状态相对应．在物体相互作用的过程中，物体的运动状态通常要发生变化，所以物体的能量变化一般要通过做功来实现，这就是常说的“功是能量转化的量度”的物理本质．那么，什么功对应着什么能量的转化呢？在高中物理中主要的功能关系有：(1)外力对物体所做的总功等于物体动能的增量，即W总＝ΔEk．(动能定理)(2)重力(或弹簧的弹力)对物体所做的功等于物体重力势能(或弹性势能)的增量的负值，即W重＝－ΔEp(或W弹＝－ΔEp)．(3)电场力对电荷所做的功等于电荷电势能的增量的负值，即W电＝－ΔE电．(4)除重力(或弹簧的弹力)以外的力对物体所做的功等于物体机械能的增量，即W其他＝ΔE机．(功能原理)(5)当除重力(或弹簧弹力)以外的力对物体所做的功等于零时，则有ΔE机＝0，即机械能守恒．(6)一对滑动摩擦力做功与内能变化的关系是：“摩擦所产生的热”等于滑动摩擦力跟物体间相对路程的乘积，即Q＝fs相对．一对滑动摩擦力所做的功的代数和总为负值，表示除了有机械能在两个物体间转移外，还有一部分机械能转化为内能，这就是“摩擦生热”的实质．(7)安培力做功对应着电能与其他形式的能相互转化，即W安＝ΔE电．安培力做正功，对应着电能转化为其他能(如电动机模型)；克服安培力做负功，对应着其他能转化为电能(如发电机模型)；安培力做功的绝对值等于电能转化的量值．(8)分子力对分子所做的功等于分子势能的增量的负值，即W分子力＝－ΔE分子．(9)外界对一定质量的气体所做的功W与气体从外界所吸收的热量Q之和等于气体内能的变化，即W＋Q＝ΔU．(10)在电机电路中，电流做功的功率等于电阻发热的功率与输出的机械功率之和．(11)在纯电阻电路中，电流做功的功率等于电阻发热的功率．(12)在电解槽电路中，电流做功的功率等于电阻发热的功率与转化为化学能的功率之和．(13)在光电效应中，光子的能量hν＝W＋eq\f(1,2)mv02．(14)在原子物理中，原子辐射光子的能量hν＝E初－E末，原子吸收光子的能量hν＝E末－E初．(15)核力对核子所做的功等于核能增量的负值，即W核＝－ΔE核，并且Δmc2＝ΔE核．(16)能量转化和守恒定律．对于所有参与相互作用的物体所组成的系统，无论什么力做功，可能每一个物体的能量的数值及形式都发生变化，但系统内所有物体的各种形式能量的总和保持不变．4．运用能量观点分析、解决问题的基本思路(1)选定研究对象(单个物体或一个系统)，弄清物理过程．(2)分析受力情况，看有什么力在做功，弄清系统内有多少种形式的能在参与转化．(3)仔细分析系统内各种能量的变化情况及变化的数量．(4)列方程ΔE减＝ΔE增或E初＝E末求解．四、弹性碰撞在一光滑水平面上有两个质量分别为m1、m2的刚性小球A和B以初速度v1、v2运动，若它们能发生正碰，碰撞后它们的速度分别为v1′和v2′．v1、v2、v1′、v2′是以地面为参考系的，将A和B看做系统．由碰撞过程中系统动量守恒，有：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′由于弹性碰撞中没有机械能损失，故有：eq\f(1,2)m1v12＋eq\f(1,2)m2v22＝eq\f(1,2)m1v1′2＋eq\f(1,2)m2v2′2由以上两式可得：v2′－v1′＝－(v2－v1)或v1′－v2′＝－(v1－v2)碰撞后B相对于A的速度与碰撞前B相对于A的速度大小相等、方向相反；碰撞后A相对于B的速度与碰撞前A相对于B的速度大小相等、方向相反．【结论1】对于一维弹性碰撞，若以其中某物体为参考系，则另一物体碰撞前后速度大小不变、方向相反(即以原速率弹回)．联立以上各式可解得：v1′＝eq\f(2m2v2＋(m1－m2)v1,m1＋m2)v2′＝eq\f(2m1v1＋(m2－m1)v2,m1＋m2)若m1＝m2，即两个物体的质量相等，则v1′＝v2，v2′＝v1，表示碰后A的速度变为v2，B的速度变为v1．【结论2】对于一维弹性碰撞，若两个物体的质量相等，则碰撞后两个物体互换速度(即碰后A的速度等于碰前B的速度，碰后B的速度等于碰前A的速度)．若A的质量远大于B的质量，则有：v1′＝v1，v2′＝2v1－v2；若A的质量远小于B的质量，则有：v2′＝v2，v1′＝2v2－v1．【结论3】对于一维弹性碰撞，若其中某物体的质量远大于另一物体的质量，则质量大的物体碰撞前后速度保持不变．至于质量小的物体碰后速度如何，可结合结论1和结论2得出．在高考复习中，若能引导学生推导出以上二级结论并熟记，对提高学生的解题速度是大有帮助的．热点、重点、难点一、动量定理的应用问题动量定理的应用在高考中主要有以下题型：1．定性解释周围的一些现象；2．求打击、碰撞、落地过程中的平均冲力；3．计算流体问题中的冲力(或反冲力)；4．根据安培力的冲量求电荷量．●例1如图2－1所示，一个下面装有轮子的贮气瓶停放在光滑的水平地面上，瓶的底端与竖直墙壁接触．现打开右端阀门，气体向外喷出，设喷口的面积为S，气体的密度为ρ，气体向外喷出的速度为v，则气体刚喷出时贮气瓶底端对竖直墙壁的作用力大小是()图2－1A．ρvSB．eq\f(ρv2,S)C．eq\f(1,2)ρv2SD．ρv2S【解析】Δt时间内喷出气体的质量Δm＝ρSv·Δt对于贮气瓶、瓶内气体及喷出的气体所组成的系统，由动量定理得：F·Δt＝Δm·v－0解得：F＝ρv2S．[答案]D【点评】动量定理对多个物体组成的系统也成立，而动能定理对于多个物体组成的系统不适用．★同类拓展1如图2－2所示，质量为M的木块位于光滑水平面上，在木块与墙之间用轻弹簧连接，开始时木块静止在A位置．现有一质量为m的子弹以水平速度v0射向木块并嵌入其中，则当木块回到A位置时的速度v以及此过程中墙对弹簧的冲量I的大小分别为()图2－2A．v＝eq\f(mv0,M＋m)，I＝0B．v＝eq\f(mv0,M＋m)，I＝2mv0C．v＝eq\f(mv0,M＋m)，I＝eq\f(2m2v0,M＋m)D．v＝eq\f(mv0,M)，I＝2mv0【解析】设在子弹射入木块且未压缩弹簧的过程中，木块(含子弹)的速度为v1，由动量守恒定律得：mv0＝(m＋M)v1解得：v1＝eq\f(mv0,m＋M)对木块(含子弹)压缩弹簧再返回A点的过程，由动能定理得：eq\f(1,2)(m＋M)v2－eq\f(1,2)(m＋M)v12＝W总＝0可知：v＝v1＝eq\f(mv0,m＋M)取子弹、木块和弹簧组成的系统为研究对象，由动量定理得：I＝(m＋M)·(－v)－(m＋M)v1＝－2mv0负号表示方向向左．[答案]B二、动能定理、机械能守恒定律的应用1．对于单个平动的物体：W总＝ΔEk，W总指物体所受的所有外力做的总功．2．系统只有重力、弹力作为内力做功时，机械能守恒．(1)用细绳悬挂的物体绕细绳另一端做圆周运动时，细绳对物体不做功．(2)轻杆绕一端自由下摆，若轻杆上只固定一个物体，则轻杆对物体不做功；若轻杆上不同位置固定两个物体，则轻杆分别对两物体做功．(3)对于细绳连接的物体，若细绳存在突然绷紧的瞬间，则物体(系统)的机械能减少．3．单个可当做质点的物体机械能守恒时，既可用机械能守恒定律解题，也可用动能定理解题，两种方法等效．发生形变的物体和几个物体组成的系统机械能守恒时，一般用机械能守恒定律解题，不方便应用动能定理解题．●例2以初速度v0竖直向上抛出一质量为m的小物块．假定物块所受的空气阻力f大小不变．已知重力加速度为g，则物块上升的最大高度和返回到原抛出点的速率分别为[2009年高考·全国理综卷Ⅱ]()A．eq\f(v02,2g(1＋\f(f,mg)))和v0eq\r(\f(mg－f,mg＋f))B．eq\f(v02,2g(1＋\f(f,mg)))和v0eq\r(\f(mg,mg＋f))C．eq\f(v02,2g(1＋\f(2f,mg)))和v0eq\r(\f(mg－f,mg＋f))D．eq\f(v02,2g(1＋\f(2f,mg)))和v0eq\r(\f(mg,mg＋f))【解析】方法一：对于物块上升的过程，由动能定理得：－(mgh＋fh)＝0－eq\f(1,2)mv02解得：h＝eq\f(v02,2g(1＋\f(f,mg)))设物块返回至原抛出点的速率为v，对于整个过程应用动能定理有：eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mv02＝－f·2h解得：v＝v0eq\r(\f(mg－f,mg＋f))．方法二：设小物块在上升过程中的加速度大小为a1，由牛顿第二定律有：a1＝eq\f(mg＋f,m)故物块上升的最大高度h＝eq\f(v02,2a1)＝eq\f(v02,2g(1＋\f(f,mg)))设小物块在下降过程中的加速度为a2，由牛顿第二定律有：a2＝eq\f(mg－f,m)可得：v＝eq\r(2a2h)＝v0eq\r(\f(mg－f,mg＋f))．[答案]A【点评】动能定理是由牛顿第二定律导出的一个结论，对于单个物体受恒力作用的过程，以上两种方法都可以用来分析解答，但方法二的物理过程较复杂．例如涉及曲线运动或变力做功时，运用动能定理更为方便．★同类拓展2一匹马拉着质量为60kg的雪橇，从静止开始用80s的时间沿平直冰面跑完1000m．设在运动过程中雪橇受到的阻力保持不变，已知雪橇在开始运动的8s时间内做匀加速直线运动，从第8s末开始，马拉雪橇做功的功率保持不变，使雪橇继续做直线运动，最后一段时间雪橇做的是匀速直线运动，速度大小为15m/s；开始运动的8s内马拉雪橇的平均功率是8s后功率的一半．求：整个运动过程中马拉雪橇做功的平均功率和雪橇在运动过程中所受阻力的大小．【解析】设8s后马拉雪橇的功率为P，则：匀速运动时P＝F·v＝f·v即运动过程中雪橇受到的阻力大小f＝eq\f(P,v)对于整个过程运用动能定理得：eq\f(P,2)·t1＋P(t总－t1)－f·s总＝eq\f(1,2)mvt2－0即eq\f(P,2)×8＋P(80－8)－eq\f(P,15)×1000＝eq\f(1,2)×60×152解得：P＝723W故f＝48.2N再由动能定理可得eq\o(P,\s\up6(－))t总－f·s＝eq\f(1,2)mvt2解得：eq\o(P,\s\up6(－))＝687W．[答案]687W48.2N●例3如图2－3所示，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态．一条不可伸长的轻绳绕过两个轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩．开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段沿竖直方向．若在挂钩上挂一质量为m3的物体C，则B将刚好离地．若将C换成另一个质量为m1＋m3的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度大小是多少？(已知重力加速度为g)图2－3【解析】开始时A、B静止，即处于平衡状态，设弹簧的压缩量为x1，则有：kx1＝m1g挂上C后，当B刚要离地时，设弹簧的伸长量为x2，则有：kx2＝m2g此时，A和C的速度均为零从挂上C到A和C的速度均为零时，根据机械能守恒定律可知，弹性势能的改变量为：ΔE＝m3g(x1＋x2)－m1g(x1＋x2)将C换成D后，有：ΔE＋eq\f(1,2)(m1＋m3＋m1)v2＝(m1＋m3)g(x1＋x2)－m1g(x1＋x2)联立解得：v＝eq\r(\f(2m1(m1＋m2)g2,k(2m1＋m3)))．[答案]eq\r(\f(2m1(m1＋m2)g2,k(2m1＋m3)))【点评】含弹簧连接的物理情境题在近几年高考中出现的概率很高，而且多次考查以下原理：①弹簧的压缩量或伸长量相同时，弹性势能相等；②弹性势能的变化取决于弹簧的始末形变量，与过程无关．三、碰撞问题1．在高中物理中涉及的许多碰撞过程(包括射击)，即使在空中或粗糙的水平面上，往往由于作用时间短、内力远大于外力，系统的动量仍可看做守恒．2．两滑块在水平面上碰撞的过程遵循以下三个法则：①动量守恒；②机械能不增加；③碰后两物体的前后位置要符合实际情境．3．两物体发生完全非弹性碰撞时，机械能的损耗最大．●例4如图2－4所示，在光滑绝缘水平面上由左到右沿一条直线等间距的静止排着多个形状相同的带正电的绝缘小球，依次编号为1、2、3……每个小球所带的电荷量都相等且均为q＝3.75×10－3C，第一个小球的质量m＝0.03kg，从第二个小球起往下的小球的质量依次为前一个小球的eq\f(1,3)，小球均位于垂直于小球所在直线的匀强磁场里，已知该磁场的磁感应强度B＝0.5T．现给第一个小球一个水平速度v＝8m/s，使第一个小球向前运动并且与后面的小球发生弹性正碰．若碰撞过程中电荷不转移，则第几个小球被碰后可以脱离地面？(不计电荷之间的库仑力，取g＝10m/s2)图2－4【解析】设第一个小球与第二个小球发生弹性碰撞后两小球的速度分别为v1和v2，根据动量和能量守恒有：mv＝mv1＋eq\f(1,3)mv2eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)mv12＋eq\f(1,6)mv22联立解得：v2＝eq\f(3,2)v同理，可得第n＋1个小球被碰后的速度vn＋1＝(eq\f(3,2))nv设第n＋1个小球被碰后对地面的压力为零或脱离地面，则：qvn＋1B≥(eq\f(1,3))nmg联立以上两式代入数值可得n≥2，所以第3个小球被碰后首先离开地面．[答案]第3个【点评】解答对于多个物体、多次碰撞且动量守恒的物理过程时，总结出通项公式或递推式是关键．★同类拓展3如图2－5所示，质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上，平衡时，弹簧的压缩量为x0．一个物块从钢板的正上方相距3x0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动．已知物块的质量也为m时，它们恰能回到O点；若物块的质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时还具有向上的速度．求物块向上运动所到达的最高点与O点之间的距离．图2－5【解析】物块与钢板碰撞前瞬间的速度为：v0＝eq\r(6gx0)设质量为m的物块与钢板碰撞后瞬间的速度为v1，由动量守恒定律有：mv0＝2mv1设弹簧的压缩量为x0时的弹性势能为Ep，对于物块和钢板碰撞后直至回到O点的过程，由机械能守恒定律得：Ep＋eq\f(1,2)×2m×v12＝2mgx0设质量为2m的物块与钢板碰撞后瞬间的速度为v2，物块与钢板回到O点时所具有的速度为v3，由动量守恒定律有：2mv0＝3mv2由机械能守恒定律有：Ep＋eq\f(1,2)×3m×v22＝3mgx0＋eq\f(1,2)×3m×v32解得：v3＝eq\r(gx0)当质量为2m的物块与钢板一起回到O点时，弹簧的弹力为零，物块与钢板只受到重力的作用，加速度为g；一过O点，钢板就会受到弹簧向下的拉力作用，加速度大于g，由于物块与钢板不粘连，故在O点处物块与钢板分离；分离后，物块以速度v3竖直上升，由竖直上抛的最大位移公式得：h＝eq\f(v32,2g)＝eq\f(x0,2)所以物块向上运动所到达的最高点与O点之间的距离为eq\f(x0,2)．[答案]eq\f(x0,2)【点评】①物块与钢板碰撞的瞬间外力之和并不为零，但这一过程时间极短，内力远大于外力，故可近似看成动量守恒．②两次下压至回到O点的过程中，速度、路程并不相同，但弹性势能的改变(弹力做的功)相同．③在本题中，物块与钢板下压至回到O点的过程也可以运用动能定理列方程．第一次：0－eq\f(1,2)×2m×v12＝W弹－2mgx0第二次：eq\f(1,2)×3m×v32－eq\f(1,2)×3m×v22＝W弹－3mgx0．四、高中物理常见的功能关系1．摩擦生热——等于摩擦力与两接触面相对滑动的路程的乘积，即Q＝f·s相．●例5如图2－6所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ＝30°，皮带在电动机的带动下始终以v0＝2m/s的速率运行．现把一质量m＝10kg的工件(可看做质点)轻轻放在皮带的底端，经时间t＝1.9s，工件被传送到h＝1.5m的皮带顶端．取g＝10m/s2．求：(1)工件与皮带间的动摩擦因数μ．(2)电动机由于传送工件而多消耗的电能．图2－6【解析】(1)由题意可知，皮带长s＝eq\f(h,sin30°)＝3m工件的速度达到v0前工件做匀加速运动，设经时间t1工件的速度达到v0，此过程工件的位移为：s1＝eq\f(1,2)v0t1达到v0后，工件做匀速运动，此过程工件的位移为：s－s1＝v0(t－t1)代入数据解得：t1＝0.8s工件加速运动的加速度a＝eq\f(v0,t1)＝2.5m/s2据牛顿第二定律得：μmgcosθ－mgsinθ＝ma解得：μ＝eq\f(\r(3),2)．(2)在时间t1内，皮带运动的位移s2＝v0t1＝1.6m工件相对皮带的位移Δs＝s2－s1＝0.8m在时间t1内，因摩擦产生的热量Q＝μmgcosθ·Δs＝60J工件获得的动能Ek＝eq\f(1,2)mv02＝20J工件增加的势能Ep＝mgh＝150J电动机多消耗的电能E＝Q＋Ek＋Ep＝230J．[答案](1)eq\f(\r(3),2)(2)230J2．机械能的变化——除重力、弹簧的弹力以外的力做的功等于系统机械能的变化．●例6一面积很大的水池中的水深为H，水面上浮着一正方体木块，木块的边长为a，密度为水的eq\f(1,2)，质量为m．开始时木块静止，有一半没入水中，如图2－7甲所示，现用力F将木块缓慢地向下压，不计摩擦．图2－7甲(1)求从开始压木块到木块刚好完全没入水的过程中，力F所做的功．(2)若将该木块放在底面为正方形(边长为eq\r(2)a)的盛水足够深的长方体容器中，开始时，木块静止，有一半没入水中，水面距容器底的距离为2a，如图2－7乙所示．现用力F将木块缓慢地压到容器底部，不计摩擦，求这一过程中压力做的功．图2-7乙【解析】方法一：(1)因水池的面积很大，可忽略因木块压入水中所引起的水深变化，木块刚好完全没入水中时，图2－7丙中原来处于划斜线区域的水被排开，结果等效于使这部分水平铺于水面，这部分水的质量为m，其势能的改变量为(取容器底为零势能面)：图2－7丙ΔE水＝mgH－mg(H－eq\f(3,4)a)＝eq\f(3,4)mga木块势能的改变量为：ΔE木＝mg(H－eq\f(a,2))－mgH＝－eq\f(1,2)mga根据功能原理，力F所做的功为：W＝ΔE水＋ΔE木＝eq\f(1,4)mga．(2)因容器的底面积为2a2，仅是木块的底面积的2倍，故不可忽略木块压入水中所引起的水深变化．如图2－7丁所示，木块到达容器底部时，水面上升eq\f(1,4)a，相当于木块末状态位置的水填充至木块原浸入水中的空间和升高的水面处平面，故这一过程中水的势能的变化量为：图2－7丁ΔE水′＝mga＋mg(2a－eq\f(a,4)＋eq\f(a,8))＝eq\f(23,8)mga木块的势能的变化量ΔE木′＝－mg·eq\f(3,2)a根据功能原理，压力F做的功为：W′＝ΔE水′＋ΔE木′＝eq\f(11,8)mga．方法二：(1)水池的面积很大，可忽略因木块压入水中引起的水深变化．当木块浮在水面上时重力与浮力的大小相等；当木块刚没入水中时，浮力的大小等于重力的2倍，故所需的压力随下压位移的变化图象如图2－7戊所示．图2－7戊故WF＝eq\f(1,2)mg·eq\f(a,2)＝eq\f(1,4)mga．(2)随着木块的下沉水面缓慢上升，木块刚好完全没入水中时，水面上升eq\f(a,4)的高度，此时木块受到的浮力的大小等于重力的2倍．此后，木块再下沉eq\f(5,4)a的距离即沉至容器底部，故木块下沉的整个过程中压力的大小随位移的变化图象如图2－7己所示图2－7己故WF′＝eq\f(1,2)mg·eq\f(a,4)＋mg·eq\f(5,4)a＝eq\f(11,8)mga．[答案](1)eq\f(1,4)mga(2)eq\f(11,8)mga【点评】①通过两种方法对比，深刻理解功能关系．②根据功的定义计算在小容器中下压木块时，严格的讲还要说明在0～eq\f(a,4)的位移段压力也是线性增大的．3．导体克服安培力做的功等于(切割磁感线引起的)电磁感应转化的电能．●例7如图2－8所示，竖直放置的光滑平行金属导轨MN、PQ相距L，在M点和P点间接有一个阻值为R的电阻，在两导轨间的矩形区域OO1O1′O′内有垂直导轨平面向里、宽为d的匀强磁场，磁感应强度为B．一质量为m、电阻为r的导体棒ab垂直地搁在导轨上，与磁场的上边界相距d0．现使ab棒由静止开始释放，棒ab在离开磁场前已经做匀速直线运动(棒ab与导轨始终保持良好接触且下落过程中始终保持水平，导轨的电阻不计)．图2－8(1)求棒ab离开磁场的下边界时的速度大小．(2)求棒ab在通过磁场区的过程中产生的焦耳热．(3)试分析讨论棒ab在磁场中可能出现的运动情况．【解析】(1)设棒ab离开磁场的边界前做匀速运动的速度为v，产生的感应电动势为：E＝BLv电路中的电流I＝eq\f(E,R＋r)对棒ab，由平衡条件得：mg－BIL＝0解得：v＝eq\f(mg(R＋r),B2L2)．(2)设整个回路中产生的焦耳热为Q，由能量的转化和守恒定律可得：mg(d0＋d)＝Q＋eq\f(1,2)mv2解得：Q＝mg(d0＋d)－eq\f(m3g2(R＋r)2,2B4L4)故Qab＝eq\f(r,R＋r)[mg(d0＋d)－eq\f(m3g2(R＋r)2,2B4L4)]．(3)设棒刚进入磁场时的速度为v0，由mgd0＝eq\f(1,2)mv02解得：v0＝eq\r(2gd0)棒在磁场中匀速运动时的速度v＝eq\f(mg(R＋r),B2L2)，则①当v0＝v，即d0＝eq\f(m2g(R＋r)2,2B4L4)时，棒进入磁场后做匀速直线运动；②当v0＜v，即d0＜eq\f(m2