高考数学二轮复习 专题20 概率（含解析）试题

一、选择题1．(文)(2015·广东文，7)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有1件次品的概率为()A．0.4 B．0.6C．0.8 D．1[答案]B[解析]5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，恰有一件次品，有6种，分别是(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，设事件A＝“恰有一件次品”，则P(A)＝eq\f(6,10)＝0.6，故选B．(理)(2015·太原市一模)某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中抽取一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是()A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,6)C．eq\f(5,6) D．eq\f(35,36)[答案]C[解析]记甲、乙各摸一次得的编号为(x，y)，则共有36个不同的结果，其中甲、乙摸出球的编号相同的结果有6个，故所求概率P＝1－eq\f(6,36)＝eq\f(5,6).[方法点拨]1.用古典概型概率计算公式P＝eq\f(m,n)求概率，必须先判断事件的等可能性．2．当某事件含有的基本事件情况比较复杂，分类较多时，可考虑用对立事件概率公式求解．3．要熟练掌握列举基本事件的方法，当古典概型与其他知识结合在一起考查时，要先依据其他知识点的要求求出所有可能的事件及基本事件数，再计算．2．(文)若不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x，,y≥－x，,2x－y－3≤0.))表示的平面区域为M，x2＋y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为()A．eq\f(π,12) B．eq\f(π,8)C．eq\f(π,6) D．eq\f(π,3)[答案]A[解析]如图，不等式组表示的平面区域M为△OAB，A(1，－1)，B(3,3)，S△OAB＝3，区域N在M中的部分面积为eq\f(π,4)，∴所求概率P＝eq\f(\f(π,4),3)＝eq\f(π,12).(理)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为()A．eq\f(2,e2) B．eq\f(2,e)C．eq\f(2,e3) D．eq\f(1,e2)[答案]A[解析]∵S阴＝2eq\i\in(0,1,)(e－ex)dx＝2(ex－ex)|eq\o\al(1,0)＝2，S正方形＝e2，∴P＝eq\f(2,e2).[方法点拨]1.当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；2．利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的测度的计算，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．3．几何概型与其他知识结合命题，应先依据所给条件转化为几何概型，求出区域的几何测度，再代入公式求解．3．(文)在长为10cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积小于24cmA．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(4,5)[答案]D[解析]设线段AC的长为xcm，其中0<x<10，则线段CB的长为(10－x)cm，那么矩形的面积为x(10－x)cm2，由x(10－x)<24，解得x<4或x>6.又0<x<10，所以0<x<4或6<x<10，故该矩形面积小于24cm2的概率为eq\f(4＋4,10)＝eq\f(4,5)，故选D．(理)在区间[1,6]上随机取一实数x，使得2x∈[2,4]的概率为()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,5)[答案]B[解析]由2x∈[2,4]知1≤x≤2，∴P(2x∈[2,4])＝eq\f(2－1,6－1)＝eq\f(1,5).4．(文)甲、乙、丙、丁四人排成一行，则甲、乙都不在两端的概率为()A．eq\f(1,12) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,24) D．eq\f(1,4)[答案]B[解析]甲、乙、丙、丁四人站成一排有24种情形，其中甲、乙都不在两边有4种情形：丙甲乙丁，丙乙甲丁，丁甲乙丙，丁乙甲丙．因此所求概率为P＝eq\f(4,24)＝eq\f(1,6).(理)在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1,2,3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为()A．eq\f(1,51) B．eq\f(1,408)C．eq\f(1,306) D．eq\f(1,68)[答案]D[解析]设选出的三人编号为a－3，a，a＋3，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3≥1,a＋3≤8))，∴4≤a≤15，共12种，从18人中选3人有Ceq\o\al(3,18)种选法，∴P＝eq\f(12,C\o\al(3,18))＝eq\f(1,68).5．(文)扇形AOB的半径为1，圆心角为90°.点C、D、E将弧AB等分成四份．连接OC、OD、OE，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为eq\f(π,8)的概率是()A．eq\f(3,10) B．eq\f(1,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,2)[答案]A[解析]所有的扇形共10个，其中面积为eq\f(π,8)的扇形共有3个，故所求概率为P＝eq\f(3,10).(理)(2015·太原二模)已知实数a，b满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤a≤4，,0≤b≤4，))x1，x2是关于x的方程x2－2x＋b－a＋3＝0的两个实根，则不等式0<x1<1<x2成立的概率是()A．eq\f(3,32) B．eq\f(3,16)C．eq\f(5,32) D．eq\f(9,16)[答案]A[解析]设f(x)＝x2－2x＋b－a＋3，∵方程f(x)＝0的两实根x1，x2满足0<x1<1<x2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0>0，,f1<0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b－a＋3>0，,b－a＋2<0，))作出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤a≤4，,0≤b≤4，))表示的平面为正方形OABC，其中满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b－a＋3>0，,b－a＋2<0，))的部分如图中阴影部分所示，阴影部分的面积S1＝eq\f(1,2)×2×2－eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(3,2)，正方形的面积S＝4×4＝16，故所求概率P＝eq\f(S1,S)＝eq\f(3,32).[易错分析]本题易发生两个错误：一是不能对方程x2－2x＋b－a＋3＝0的两根x1，x2满足0<x1<1<x2正确地进行转化；二是无法合理地求解几何概型的测度．事实上，对于几何概型的问题，关键是对测度的正确求解．纠错的方法有：①加强对几何概型测度的理解与求解；②平时注意积累解决几何概型的方法，如长度法、面积法、体积法等．6．(文)一个正方体玩具，其各面标有数字－3、－2、－1、0、1、2，随机投掷一次，将其向上一面的数字记作m，则函数f(x)＝x3＋mx在(－∞，－eq\f(2,3))上单调的概率为()A．eq\f(3,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)[答案]D[解析]f′(x)＝3x2＋m，当m≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增；当m<0时，令f′(x)＝0得，x＝±eq\r(\f(－m,3))，∴f(x)在(－∞，－eq\r(\f(－m,3)))上单调增加，∵eq\f(\r(3),3)<eq\f(2,3)<eq\f(\r(6),3)，∴－eq\f(\r(6),3)<－eq\f(2,3)<－eq\f(\r(3),3)，∴当m＝－1时，f(x)在(－∞，－eq\f(2,3))上单调递增，∴所求概率P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(理)(2014·东北三省三校一模)一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a、b、c，当且仅当a>b，b<c时称为“凹数”(如213,312等)，若a、b、c∈{1,2,3,4}且a、b、c互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是()A．eq\f(1,6) B．eq\f(5,24)C．eq\f(1,3) D．eq\f(7,24)[答案]C[解析]解法1：任取3个数，共能构成24个三位数，A＝“该数为凹数”，则A＝{213,214,312,314,412,412,324,423}共包括8个基本事件，∴P(A)＝eq\f(8,24)＝eq\f(1,3).解法2：从4个不同数中任取3个，这3个数字共组成6个不同三位数，其中凹数有2个，∴P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).7．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10.5,14.5)2[14.5,18.5)4[18.5,22.5)9[22.5,26.5)18[26.5,30.5)11[30.5,34.5)12[34.5,38.5)8[38.5,42.5)2根据样本的频率分布估计，数据落在[30.5,42.5)内的概率约是()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)[答案]B[解析]由已知可得，[30.5,42.5)的数据共有22个，所以数据落在[30.5,42.5)内的概率约是eq\f(22,66)＝eq\f(1,3)，选B．8．(文)(2014·陕西理，6)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)[答案]C[解析]如图，基本事件共有Ceq\o\al(2,5)＝10个，小于正方形边长的事件有OA，OB，OC，OD共4个，∴P＝1－eq\f(4,10)＝eq\f(3,5).(理)从eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(m、n∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(4,7)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)[答案]B[解析]当m，n∈{－1,2,3}时，eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线)共有7个，(m，n)的取值分别为(－1，－1)，(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)，(2，－1)，(3，－1)，其中表示焦点在x轴上的双曲线方程有4个，(m，n)的取值分别为(3,2)，(3,3)，(2,2)，(2,3)，故所求的概率为eq\f(4,7)，选B．二、填空题9．(文)在三棱锥的六条棱中任选两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是________．[答案]eq\f(1,5)[解析]从六条棱中任选两条有15种可能，其中构成异面直线的有3种情况，故所求概率为P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(理)从正方体六个面的对角线中任取两条，这两条直线成60°角的概率为________．[答案]eq\f(8,11)[解析]六个面的对角线共有12条，从中任取两条共有Ceq\o\al(2,12)＝66种不同的取法．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与面对角线AC成60°角的面对角线有B1C，BC1，A1D，AD1，AB1，A1B，DC1，D1C，共8条，同理与DB成60°角的面对角线也有8条，因此一个面上的对角线与其他四个相邻面上的对角线成60°角的情形共有16对，故6个面共有16×6＝96对，因为每对被计算了2次，因此共有eq\f(1,2)×96＝48对，∴所求概率P＝eq\f(48,66)＝eq\f(8,11).[方法点拨]解答概率与其他知识交汇的问题，要通过审题，将所要解决的问题转化为相应的概率模型，然后按相应公式计算概率，转化时要特别注意保持等价．10．(文)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是________．[答案]eq\f(π,4)[解析]考查了几何概型．总面积2×1＝2.半圆面积eq\f(1,2)×π×12＝eq\f(π,2).∴p＝eq\f(\f(π,2),2)＝eq\f(π,4).(理)(2015·呼和浩特第二次调研)在区间(0，eq\f(π,2))上任取一个数x，使得tanx<∫eq\f(π,2)0cosxdx成立的概率是________．[答案]eq\f(1,2)[解析]求出定积分后结合三角函数的图象解不等式．因为∫eq\f(π,2)0cosxdx＝sinx|eq\f(π,2)0＝1，所以原不等式即为tanx<1，x∈(0，eq\f(π,2))，解得0<x<eq\f(π,4)，故所求概率为eq\f(\f(π,4),\f(π,2))＝eq\f(1,2).[易错分析]考生不能正确计算定积分，或者不能正确解简单的三角不等式，都会导致几何概型计算错误，所以几何概型问题，正确运算是关键．三、解答题11．(文)(2015·太原市一模)为了考查某厂2000名工人的生产技能情况，随机抽查了该厂a名工人某天的产量(单位：件)，整理后得到如下的频率分布直方图(产量的分组区间分别为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35])，其中产量在[20,25)的工人有6名．(1)求这一天产量不小于25的工人人数；(2)工厂规定从产量低于20件的工人中选取2名工人进行培训，求这2名工人不在同一分组的概率．[解析](1)由题意得，产量为[20,25)的频率为0.06×5＝0.3，∴n＝eq\f(6,0.3)＝20，∴这一天产量不小于25的工人人数为(0.05＋0.03)×5×20＝8.(2)由题意得，产量在[10,15)的工人人数为20×0.02×5＝2，记他们分别是A，B，产量在[15,20)的工人人数为20×0.04×5＝4，记他们为a，b，c，d，则从产量低于20件的工人中选取2位工人的结果为：(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共15种不同的结果，其中2位工人不在同一分组的结果为(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，共有8种，∴所求概率为P＝eq\f(8,15).(理)某电视台举办“青工技能大赛”，比赛共设三关，第一、二关各有两个问题，两个问题全解决方可进入下一关，第三关有三个问题，只要解决其中的两个问题，则闯关成功．每过一关可依次获得100分、300分、500分的积分．小明对三关中每个问题正确解决的概率依次为eq\f(4,5)、eq\f(3,4)、eq\f(2,3)，且每个问题正确解决与否相互独立．(1)求小明通过第一关但未过第二关的概率；(2)用X表示小明的最后积分，求X的分布列和期望．[解析](1)设事件A＝“小明通过第一关但未过第二关”，第一关第i个问题正确解决为事件Ai(i＝1,2)，第二关第i个问题正确解决为事件Bi(i＝1,2)，则P(A1)＝P(A2)＝eq\f(4,5)，P(B1)＝P(B2)＝eq\f(3,4).又∵A＝A1·A2·(eq\x\to(B1)·eq\x\to(B2)＋B1·eq\x\to(B1)＋eq\x\to(B1)·B2)，∴P(A)＝P(A1)·P(A2)·(1－P(B1)·P(B2))＝(eq\f(4,5))2×[1－(eq\f(3,4))2]＝eq\f(7,25).(2)X∈{0,100,400,900}．P(X＝0)＝1－(eq\f(4,5))2＝eq\f(9,25)，P(X＝100)＝eq\f(7,25).P(X＝400)＝(eq\f(4,5))2×(eq\f(3,4))2×[(eq\f(1,3))2＋Ceq\o\al(1,3)×eq\f(2,3)×(eq\f(1,3))2]＝eq\f(7,25)，P(X＝900)＝1－eq\f(9,25)－eq\f(7,25)－eq\f(7,25)＝eq\f(4,15).∴X的分布列为X0100400900Peq\f(9,25)eq\f(7,25)eq\f(7,75)eq\f(4,15)E(X)＝0×eq\f(9,25)＋100×eq\f(7,25)＋400×eq\f(7,75)＋900×eq\f(4,15)＝eq\f(916,3).12．(文)(2015·河南商丘市二模)某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有5名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测评，该班的A，B两个小组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如右图所示，其中B组一同学的分数已被污损，但知道B组学生的平均分比A组学生的平均分高1分．(1)若在B组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率；(2)现从A组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m，n，求|m－n|≤8的概率．[解析](1)A组学生的平均分为eq\f(94＋88＋86＋80＋77,5)＝85(分)，∴B组学生平均分为86分，设被污损的分数为x，由eq\f(91＋93＋83＋x＋75,5)＝86，∴x＝88，故B组学生的分数分别为93,91,88,83,75，则在B组学生随机选1人所得分超过85分的概率P＝eq\f(3,5).(2)A组学生的分数分别是94,88,86,80,77，在A组学生中随机抽取2名同学，其分数组成的基本事件(m，n)有(94,88)，(94,86)，(94,80)，(94,77)，(88,86)，(88,80)，(88,77)，(86,80)，(86,77)，(80,77)共10个，随机抽取2名同学的分数m，n满足|m－n|≤8的事件有(94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)共6个．故学生得分m，n满足|m－n|≤8的概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(理)(2015·河北衡水中学一模)已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)若a，b分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次正面朝上出现的点数，求满足函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a，b)是区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－8≤0，,x>0，,y>0))内的随机点，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．[解析](1)∵函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝eq\f(2b,a).要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a>0且eq\f(2b,a)≤1，即2b≤a.基本事件共有36个；所求事件包含基本事件：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(6,3)．所求事件包含基本事件的个数是9∴所求事件的概率为P＝eq\f(9,36)＝eq\f(1,4).(2)由(1)知当且仅当2b≤a且a>0时，函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数．依条件可知试验的全部结果所构成的区域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－8≤0,a>0,b>0))))))，表示的三角形OAB，其中，O(0,0)，A(8,0)，B(0,8)，构成所求事件的区域为三角形OAC部分．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b－8＝0,b＝\f(a,2)))得交点C坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)，\f(8,3))).故所求事件的概率为P＝eq\f(\f(1,2)×8×\f(8,3),\f(1,2)×8×8)＝eq\f(1,3).13．(文)(2015·石家庄市一模)某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元．若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元，若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元．(1)若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：件，n∈N)的函数解析式；(2)商店记录了50天该商品的日需求量n(单位：件)，整理得下表：日需求量89101112频数91115105若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[400,500]的概率．[解析](1)当日需求量n≥10时，利润为y＝50×10＋(n－10)×30＝30n＋200；当日需求量n<10时，利润为y＝50×n－(10－n)×10＝60n－100所以，y关于日需求量n函数关系式为：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(30n＋200，n≥10，n∈N,60n－100，n<10，n∈N)).(2)50天内有9天获得的利润380元，有11天获得的利润为440元，有15天获得利润为500元，有10天获得的利润为530元，有5天获得的利润为560元．若利润在区间[400,550]时，日需求量为9件、10件、11件该商品，其对应的频数分别为11天、15天、10天．则利润区间[400,550]的概率为：p＝eq\f(11＋15＋10,50)＝eq\f(18,25).(理)(2014·东北三省四市联考)太阳岛公园引进了两种植物品种甲与乙，株数分别为18与12，这30株植物的株高编写成茎叶图如图所示(单位：cm)，甲乙9866516297654217377743218157820191572017若这两种植物株高在185cm以上(包括185cm)定义为“优秀品种”，株高在185cm以下(不包括185cm)定义为“非优秀品种”．(1)求乙品种的中位数；(2)在以上30株植物中，如果用分层抽样的方法从“优秀品种”和“非优秀品种”中抽取5株，再从这5株中选2株，那么至少有一株是“优秀品种”的概率是多少？(3)若从所有“优秀品种”中选3株，用X表示3株中含甲类“优秀品种”的株数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．[解析](1)乙的中间有两个数187和188，因此乙的中位数为187.5cm.(2)根据茎叶图知“优秀品种”有12株，“非优秀品种”有18株，用分层抽样的方法抽取，每株被抽中的概率是eq\f(5,30)＝eq\f(1,6)，故样本中“优秀品种”有12×eq\f(1,6)＝2(株)，“非优秀品种”有18×eq\f(1,6)＝3(株)．用事件A表示“至少有一株‘优秀品种’被选中”，则P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10)，因此从5株植物中选2株，至少有一株“优秀品种”的概率是eq\f(7,10).(3)依题意，一共有12株“优秀品种”，其中乙种植物有8株，甲种植物有4株，则X的所有可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,12))＝eq\f(14,55)；P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,4),C\o\al(3,12))＝eq\f(28,55)；P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(2,4),C\o\al(3,12))＝eq\f(12,55)；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,12))＝eq\f(1,55).因此X的分布列如下：X0123Peq\f(14,55)eq\f(28,55)eq\f(12,55)eq\f(1,55)所以E(X)＝0×eq\f(14,55)＋1×eq\f(28,55)＋2×eq\f(12,55)＋3×eq\f(1,55)＝1.14．(文)某高中社团进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的称为“时尚族”，否则称为“非时尚族”．通过调查分别得到如图1所示统计表和如图2所示的各年龄段人数频率分布直方图.组数分组时尚族的人数