高考数学二轮复习 专题七 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想试题

第1讲函数与方程思想、数形结合思想一、选择题1.直线eq\r(3)x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于()A.eq\r(3)或－eq\r(3) B.－eq\r(3)或3eq\r(3)C.－3eq\r(3)或eq\r(3) D.－3eq\r(3)或3eq\r(3)解析圆的方程(x－1)2＋y2＝3，圆心(1，0)到直线的距离等于半径⇒eq\f(|\r(3)＋m|,\r(3＋1))＝eq\r(3)⇒|eq\r(3)＋m|＝2eq\r(3)⇒m＝eq\r(3)或m＝－3eq\r(3).答案C2.已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lgx解的个数是()A.5 B.7 C.9 D.10解析由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数.又f(x)＝lgx，则x∈(0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点.答案C3.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为()A.(－1，1) B.(－1，＋∞) C.(－∞，－1) D.(－∞，＋∞)解析f′(x)＞2转化为f′(x)－2＞0，构造函数F(x)＝f(x)－2x，得F(x)在R上是增函数.又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)＝4，f(x)＞2x＋4，即F(x)＞4＝F(－1)，所以x＞－1.答案B4.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A.eq\r(2) B.2eq\r(2) C.eq\r(3) D.2解析如图，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(CA,\s\up6(→))＝a－c，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b－c.由题意知eq\o(CA,\s\up6(→))⊥eq\o(CB,\s\up6(→))，∴O，A，C，B四点共圆.∴当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(2).答案A二、填空题5.(2014·江苏卷)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6解析因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4.答案46.若不等式|x－2a|≥eq\f(1,2)x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________.解析作出y＝|x－2a|和y＝eq\f(1,2)x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤eq\f(1,2).答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))7.经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________.解析如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB＞0，kPA＜0，又kPA＝eq\f(－2－（－1）,1－0)＝－1，kPB＝eq\f(－1－1,0－2)＝1，∴－1≤k≤1.又当0≤k≤1时，0≤α≤eq\f(π,4)；当－1≤k＜0时，eq\f(3π,4)≤α＜π.故倾斜角α的取值范围为α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).答案[－1，1]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))8.满足条件AB＝2，AC＝eq\r(2)BC的三角形ABC的面积的最大值是________.解析可设BC＝x，则AC＝eq\r(2)x，根据面积公式得S△ABC＝xeq\r(1－cos2B)，由余弦定理计算得cosB＝eq\f(4－x2,4x)，代入上式得S△ABC＝xeq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－x2,4x)))\s\up12(2))＝eq\r(\f(128－（x2－12）2,16)).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(2)x＋x＞2，,x＋2＞\r(2)x，))得2eq\r(2)－2＜x＜2eq\r(2)＋2.故当x＝2eq\r(3)时，S△ABC的最大值为2eq\r(2).答案2eq\r(2)三、解答题9.已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通项an；(2)求{an}前n项和Sn的最大值.解(1)设{an}的公差为d，由已知条件，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝1，,a1＋4d＝－5，))解出a1＝3，d＝－2.所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5.(2)Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2.所以n＝2时，Sn取到最大值4.10.椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为eq\r(2)，离心率为eq\f(\r(2),2)，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→)).(1)求椭圆C的方程；(2)求m的取值范围.解(1)设椭圆C的方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，设c＞0，c2＝a2－b2，由题意，知2b＝eq\r(2)，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以a＝1，b＝c＝eq\f(\r(2),2).故椭圆C的方程为y2＋eq\f(x2,\f(1,2))＝1.即y2＋2x2＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，由题意求得m＝±eq\f(1,2)；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,2x2＋y2＝1，))得(k2＋2)x2＋2kmx＋m2－1＝0，Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2＝4(k2－2m2＋2)＞0，(*)x1＋x2＝eq\f(－2km,k2＋2)，x1x2＝eq\f(m2－1,k2＋2).因为eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，所以－x1＝3x2.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－2x2，,x1x2＝－3xeq\o\al(2,2).))所以3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0.所以3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2km,k2＋2)))eq\s\up12(2)＋4·eq\f(m2－1,k2＋2)＝0.整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，即k2(4m2－1)＋(2m2－2)＝0.当m2＝eq\f(1,4)时，上式不成立；当m2≠eq\f(1,4)时，k2＝eq\f(2－2m2,4m2－1)，由(*)式，得k2＞2m2－2，又k≠0，所以k2＝eq\f(2－2m2,4m2－1)＞0.解得－1＜m＜－eq\f(1,2)或eq\f(1,2)＜m＜1.综上，所求m的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).11.设函数f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝bx2－lnx(a，b∈R)，已知它们在x＝1处的切线互相平行.(1)求b的值；(2)若函数F(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x），x≤0，,g（x），x＞0，))且方程F(x)＝a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围.解函数g(x)＝bx2－lnx的定义域为(0，＋∞)，(1)f′(x)＝3ax2－3a⇒f′g′(x)＝2bx－eq\f(1,x)⇒g′(1)＝2b－1，依题意得2b－1＝0，所以b＝eq\f(1,2).(2)x∈(0，1)时，g′(x)＝x－eq\f(1,x)＜0，即g(x)在(0，1)上单调递减，x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝x－eq\f(1,x)＞0，即g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，g(x)取得极小值g(1)＝eq\f(1,2)；当a＝0时，方程F(x)＝a2不可能有四个解；当a＜0，x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，即f(x)在(－∞，－1)上单调递减，x∈(－1，0)时，f′(x)＞0，即f(x)在(－1，0)上单调递增，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝2a，又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图(1)所示，从图象可以看出F(x)＝a2不可能有四个解.当a＞0，x∈(－∞，－1)时，f′(