高考数学二轮复习 高难拉分攻坚特训（六）理试题

高难拉分攻坚特训(六)1．已知函数f(x)＝eq\f(x＋1,ex)－ax有两个零点，则实数a的取值范围是()A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,e)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,e)))答案A解析f(x)＝eq\f(x＋1,ex)－ax，令f(x)＝0，可得ax＝eq\f(x＋1,ex)，当x＝0时，上式显然不成立；可得a＝eq\f(x＋1,xex)(x≠0)有且只有2个不等实根，等价为函数g(x)＝eq\f(x＋1,xex)的图象和直线y＝a有且只有两个交点．由g′(x)＝eq\f(ex－x2－x－1,xex2)<0恒成立，可得当x＞0时，g(x)单调递减；当x＜0时，g(x)单调递减．且g(x)＝eq\f(x＋1,xex)>0在x>0或x<－1时恒成立，作出函数g(x)的大致图象，如图，由图象可得a>0时，直线y＝a和y＝g(x)的图象有两个交点．故选A.2．已知底面是正六边形的六棱锥P－ABCDEF的七个顶点均在球O的表面上，底面正六边形的边长为1，若该六棱锥体积的最大值为eq\r(3)，则球O的表面积为________．答案eq\f(25π,4)解析因为六棱锥P－ABCDEF的七个顶点均在球O的表面上，由对称性和底面正六边形的面积为定值知，当六棱锥P－ABCDEF为正六棱锥时，体积最大．设正六棱锥的高为h，则eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6×\f(1,2)×1×1×sin60°))h＝eq\r(3)，解得h＝2.记球O的半径为R，根据平面截球面的性质，得(2－R)2＋12＝R2，解得R＝eq\f(5,4)，所以球O的表面积为4πR2＝4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))2＝eq\f(25π,4).3．已知函数f(x)＝x2－1＋aln(1－x)，a∈R.(1)若函数f(x)为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)存在两个极值点x1，x2，且x1<x2.证明：eq\f(fx1,x2)>eq\f(fx2,x1).解(1)由题意可知，函数f(x)的定义域为(－∞，1)，∵f′(x)＝2x－eq\f(a,1－x)＝eq\f(－2x2＋2x－a,1－x)(x<1)，对于y＝－2x2＋2x－a，∵Δ＝4－8a，①若Δ≤0，即a≥eq\f(1,2)，则－2x2＋2x－a≤0恒成立，∴f(x)在(－∞，1)上为单调减函数．②若Δ>0，即a<eq\f(1,2)，方程－2x2＋2x－a＝0的两根为x1＝eq\f(1－\r(1－2a),2)，x2＝eq\f(1＋\r(1－2a),2)，x2>eq\f(1,2)>x1，∴当x∈(－∞，x1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(1,2)))时，f′(x)>0，f(x)单调递增，不符合题意．综上，实数a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).(2)证明：因为函数f(x)有两个极值点，所以f′(x)＝0，在x<1上有两个不等实根．即－2x2＋2x－a＝0在(－∞，1)上有两个不等的实根x1，x2，设x1<x2，∴0<a<eq\f(1,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝1，,x1x2＝\f(a,2)，))∴x1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))eq\f(fx1,x2)＝eq\f(x\o\al(2,1)－1＋aln1－x1,x2)＝－(1＋x1)＋2x1ln(1－x1)，同理：eq\f(fx2,x1)＝－(1＋x2)＋2x2ln(1－x2)．设g(x)＝－(1＋x)＋2xln(1－x)，x∈(0,1)，则g′(x)＝－1＋2ln(1－x)－eq\f(2x,1－x)，设h(x)＝－1＋2ln(1－x)－eq\f(2x,1－x)，x∈(0,1)，∴h′(x)＝－eq\f(2,1－x)－eq\f(2,1－x2)<0，在(0,1)上恒成立，所以h(x)为(0,1)上的减函数．∴h(x)<h(0)＝－1<0，即g′(x)<0在(0,1)恒上成立，因此g(x)在(0,1)上单调递减．∵x1<x2，∴g(x1)>g(x2)，∴eq\f(fx1,x2)>eq\f(fx2,x1).4．武汉又称江城，是湖北省省会，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，黄鹤楼与东湖便是其中的两个．为合理配置旅游资源，现对已参观黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否参观东湖的概率均为eq\f(1,2)，游客之间选择意愿相互独立．(1)从游客中随机抽取3人，记这3人的总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；(2)①若从游客中随机抽取m(m∈N*)人，记这m人的总分恰为m分的概率为Am，求数列{Am}的前10项和；②在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的人的累计得分恰为n分的概率为Bn，探讨Bn与Bn－1(n≥2)之间的关系，并求数列{Bn}的通项公式．解(1)X的所有可能取值为3,4,5,6.P(X＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(1,8)，P(X＝4)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(3,8)，P(X＝5)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(3,8)，P(X＝6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(1,8).所以X的分布列为X3456Peq\f(1,8)eq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)所以E(X)＝3×eq\f(1,8)＋4×eq\f(3,8)＋5×eq\f(3,8)＋6×eq\f(1,8)＝eq\f(9,2).(2)①总分恰为m分的概率Am＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))m，所以数列{Am}是首项为eq\f(1,2)，公比为eq\f(1,2)的等比数列．所以其前10项和S10＝eq\f(\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,210))),1－\f(1,2))＝eq\f(1023,1024).②因为已调查过的人的累计得分恰为n分的概率为Bn，得不到n分的情况只有先得(n－1)分，再得2分，概率为eq\f(1,2)Bn－1(n≥2)．所以1－Bn＝eq\f(1,2)Bn－1(n≥2)，即Bn＝－eq\f(1,2)Bn－1＋1(n≥2)，所以Bn－eq\f(2,3)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Bn－1－\f(2,3)))(n≥2)，所以Bn－eq\f(2,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B1－\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1，易知B1＝