高考数学走出题海之黄金30题系列（第01期）专题05 考前必做基础30题 理（含解析）试题

1．下列命题中，真命题是（） A．，使得 B． C．函数有两个零点 D．是的充分不必要条件【答案】D【解析】试题分析：对任意的，恒成立，A错误；当时，，B错误；有三个零点（，还有一个小于0），C错误（这时就可选D），当时，一定有，但当时，也成立，故D正确.考点：复合命题的真假.2.设为非零常数，则“与解集相同”是“”的 A.既不充分也不必要条件 B.充分必要条件C.必要而不充分条件 D.充分而不必要条件【答案】A【解析】试题分析：当时，不等式“与解集均为空集，解集相同，此时，当时，，此时解集显然不同，所以“与解集相同”是“”的既不充分也不必要条件.考点：解不等式，充要条件.3.设向量，则下列结论中正确的是()A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：,,所以A不正确;,所以B不正确;因为,所以C不正确;,.故D正确.考点：1向量的模;2向量的平行,垂直关系.4.已知等差数列的前项和为，若，则=（) 【答案】D【解析】因为，所以；则.考点：等差数列.5.已知实数等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论中一定成立的A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】试题分析：设，因为所以A，B不成立,对于C,当时,,因为与同号,所以,选项C正确,对于D,取数列：-1，1，-1，1，……，不满足条件，D错.故选C考点：等比数列性质、前项和.6.设函数的图象为，下面结论中正确的是（）A．函数的最小正周期是B．图象关于点对称C．图象可由函数的图象向右平移个单位得到D．函数在区间上是增函数【答案】B【解析】试题分析：的最小正周期，∵，∴图象关于点对称，∴图象可由函数的图象向右平移个单位得到，函数的单调递增区间是，当时，，∴函数在区间上是先增后减.考点：三角函数图象、周期性、单调性、图象平移、对称性.7.若函数是R是的单调递减函数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：要使为R上的减函数，则，解得考点：函数的性质.8.设D为不等式组表示的平面区域，点为坐标平面内一点，若对于区域D内的任一点，都有成立，则的最大值等于（）（A）2（B）1（C）0（D）3【答案】A【解析】试题分析：作出区域D，如图所示，又，表示目标函数的最大值为1，可知在点（0，1）和点（1,0）处的值小于等于1，即，所以的最大值等于2.考点：简单的线性规划.9.某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是一个底面边长为的正方形，高为2的四棱锥，所以几何体的体积为：.故选D.考点：1、三视图；2、空间几何体的体积.10.在中，，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】D考点：三角函数的最值.11.若等比数列满足，且公比，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】试题分析：方法一：根据观察，数列可以为，即，那么.方法二：对于，又，则.方法三：对于，解方程可得，，那么通项，可知，，则.故选C.考点：1等比数列的基本性质;2等比数列的通项公式.12.设是两个非零的平面向量，下列说法正确的是()①若，则有；②；③若存在实数λ，使得＝λ，则；④若，则存在实数λ，使得＝λ.A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】B【解析】试题分析：①若，故①正确；②，故②错误；③若存在实数λ，使得＝λ，等价于//，即与方向相同或相反，而表示与方向相同，故③错；④若，则与方向相反，故存在实数λ，使得＝λ，故④正确.考点：向量的基本性质.13.设二项式的展开式中常数项为A，则A= A.-6 B.-4 C.4 D.6【答案】B【解析】试题分析：，由得，所以，故选B.考点：二项式定理.14.2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有种(B)种(C)种(D)种【答案】B【解析】先安排美俄两国领导人：中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，所以美俄两国领导人的安排有种不同方法；再安排其余人员，有种不同方法；所以，共有种不同方法.考点：排列组合.15.已知定义在上的函数满足:①，②，③在上表达式为，则函数与函数的图像在区间上的交点个数为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】试题分析：由⑴可得关于（1,0）对称，⑵可得关于直线对称，作出示意图知函数与函数有6个交点考点：函数与方程16.若直角坐标系内A、B两点满足：（1）点A、B都在f（x）的图像上；（2）点A、B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，可看作一个“姊妹点对”。已知函数f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】试题分析：解：设P（x，y）令x＜0，则点P关于原点的对称点为P′（-x，-y），于是即，令,，画出,的图像可得有两个交点，所以有两个解也就是说f（x）的“姊妹点对”有两个．所以选B．考点：由题目信息求“姊妹点对”.17.，则下列命题中正确命题的个数是().①函数有个零点；

②若时，函数恒成立，则实数的取值范围是；

③函数的极大值中一定存在最小值；

④，对一切恒成立.A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：作出函数图象，易知函数有2个零点，①错；若时，函数恒成立，只需图象在的图象上方即可，所以只需即恒成立，又易得在时单调递减，，，所以，②正确；函数的极大值中不存在最小值，故③错；④显然正确考点：函数与方程、函数图象的综合应用18.如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数（其中，），第7题图则估计中午12时的温度近似为（）第7题图30302010Ot/hT/℃68101214A.30℃B.27℃C.25℃【答案】B【解析】试题分析：由图象可得，又周期，可得，可得，在将点（6，10）代入，可得，即，又，求得，∴．令x=12，可得，故选：B．考点：函数的性质.19.三棱锥的外接球为球O，球O的直径，且，都是等边三角形，则三棱锥的体积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：取SKIPIF1<0外接圆圆心F，连接AD的中点即球心O与F，由球的性质可知OF与平面ABC垂直，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故D到平面ABC的距离SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选A．考点：三棱锥的体积、球的性质、线面垂直.20.若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：双曲线的一条渐近线方程是，由题意圆的圆心到的距离不小于1，即，则，那么离心率，故选A.考点：双曲线的几何性质.21.已知，，的夹角为，则．【答案】【解析】试题分析：，.考点：向量的数量积和模.22.在平行四边形中，，60°，为的中点．若，则的长为．【答案】【解析】试题分析：，，则的长为．考点：向量的数量积.23.已知函数，若函数有且只有个零点，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】试题分析：若时，如左图，，则无交点，故无零点，若时，如右图，，；，，要使函数有且只有个零点，必须，即考点：函数与方程、函数零点24.函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】试题分析：在同一坐标系内作出函数与函数的图象，由图可知，方程有四个不相同的根，需满足1：当时，；2：设直线与函数的切点为，又，由得，，此时直线斜率，所以.综上，的取值范围为.考点:函数与导数、函数与方程、数形结合.25.设为双曲线C：的左、右焦点，点P为双曲线C上一点，如果，那么双曲线C的方程为____；离心率为____.【答案】;【解析】试题分析：因为，所以，得，所以双曲线C的方程为；所以离心率为.考点：1.双曲线的标准方程；2.双曲线的离心率.26.某中学校本课程共开设了共门选修课,每个学生必须且只能选修门选修课,现有该校的甲、乙、丙名学生.(Ⅰ)求这名学生选修课所有选法的总数；(Ⅱ)求恰有门选修课没有被这名学生选择的概率；(Ⅲ)求选修课被这名学生选择的人数的分布列和数学期望.【答案】(Ⅰ)64；(Ⅱ)；(Ⅲ)见解析(Ⅲ)的所有可能取值为,且,,,……………9分所以的分布列为……10分所以的数学期望.………12分或:因为选修课被每位学生选中的概率均为,没被选中的概率均为.所以的所有可能取值为,且,,,,……9分所以的分布列为……………10分所以的数学期望.…………12分考点：古典概型、分布列、期望27.从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取5名同学的成绩，得到如下茎叶图.已知甲班样本成绩的中位数为13,乙班样本成绩的平均数为16.(I)求的值；(II)试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低(只需写出结论)；(III)从两组样本成绩中分别去掉一个最低分和一个最高分，再从两组剩余成绩中分别随机选取一个成绩，求这两个成绩的和的分布列及数学期望.（注：方差，其中为，，…,的平均数.）【答案】(I)，；(Ⅱ)乙班的水平高；(III)详见解析.【解析】试题分析：(I)利用平均数的公式列方程分别求的值，利用中位数的概念求；(Ⅱ)通过比较两组数据的平均值和方差来分析两组整体水平的高低；(III)根据（I）的结果，从甲、乙两班测试中分别去掉一个最低分和最高分，则甲班：12，13，20，乙班：15，18，18.剩余成绩中分别随机选取一个成绩，共有九个不同结果，每个结果发生的概率均为，但两个成绩的和有27，28，30，31，35，38六个可能的取值，利用古典概型求出取每个可能值的概率，从而得到的分布列及数学期望.试题解析：解：（I）经计算得：甲班数据依次为，所以中位数为，得；，得．……………4分（II）乙班整体水平高.或解：，，，.因为，所以乙班的水平高.……………7分(III)从甲、乙两班测试中分别去掉一个最低分和最高分，则甲班：12，13，20，乙班：15，18，18.这两班测试成绩的和为，则，所以，，，，，.所以的分布列为272830313538所以的期望为..……………13分考点：1、茎叶图；2、平均数和中位数的概念；3、离散型随机变量的分布列与数学期望.28.如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱PD⊥底面，，是的中点，作⊥交于点.（１）证明：∥平面；（２）证明：⊥平面.222正视图侧视图俯视图【答案】（１）详见解析（２）详见解析【解析】试题分析：（１）证明线面平行，往往利用其判定定理进行证明，即先证PA平行于平面某一条直线，这可根据三角形中位线性质得到：连结交与，连结，则点是的中点.又∵是的中点，∴∥.而平面，平面，∴∥平面（２）证明线面垂直，往往利用其判定定理进行证明，即先证垂直平面内两条相交直线：已知⊥，只需证⊥.由于⊥，因此只需证⊥，又由于⊥，只需证⊥，这可由⊥底面得到.试题解析：证明：(1)连结交与，连结.∵底面是矩形，∴点是的中点.又∵是的中点∴在△中，为中位线∴∥.而平面，平面，∴∥平面.……7分(2)由⊥底面，得⊥.∵底面是正方形，∴⊥，∴⊥平面.而平面，∴⊥.①∵，是的中点，∴△是等腰三角形，⊥.②由①和②得⊥平面.而平面，∴⊥.又⊥且=，∴⊥平面.……14分考点：线面平行与垂直的判定定理.29.如图，在