第十一章 动荷载及交变应力

第1页共22页第十一章动荷载及交变应力内容提要一、动荷载静荷载——构件上的荷载由零逐渐增加到最终值,且保持不变,加载过程中构件的加速度很小,可忽略不计。动荷载——构件上的荷载随时间急剧变化,构件作加速运动。动荷因数(11-1)式中：、和分别为动荷载、动应力、动位移；、、分别为静荷载、静应力、静位移。二、动静法的应用动静法——构件上的荷载、惯性力、支反力在形式上构成平衡力系,把动力学问题转化为静力学问题。1、构件以匀加速度a作直线运动惯性力为,(m为质量)动荷因数为(11-2)求解这类问题时,可不必加惯性力,首先按静载求出静应力、静位移，再求出动荷因数,则,。2、构件以角加速度作等速转动。惯性力为式中：m为质量，R为回转半径，为角加速度。3、构件以角加速度作等加速转动。惯性力偶矩为三、冲击问题重量为P的重物，从高度为h处自由下落到AB杆的托盘上时，重物的速度在极短的时间内减少到零，产生向上的加速度，AB杆受到很大的冲击荷载Fd(图a，b)，但由于冲击时间极短，无法确定加速度，不能用动静法进行分析，在以下假设的基础上用能量法作近似分析。假设：1、不计冲击物的变形；2、不计被冲击物的质量，被冲击物的变形为线弹性；3、不计冲击过程中的能量损失。由机械能守恒定律，得冲击问题的计算原理为(11-3)式中：、分别为冲击物在冲击过程中动能和势能的减少，为被冲击物应变的增加。1、自由落体冲击动荷因数为(11-4)式中，h为自由落体高度，为把冲击物的重量作为静荷载加在被冲击物的冲击点处，冲击点沿冲击方向的静位移。2、水平冲击动荷因数为(11-5)式中，v为冲击物的水平速度，为把冲击物的重量作为静荷载加在被冲击物的冲击点处，冲击点沿冲击方向的静位移。对于以上两种冲击问题，可直接利用动荷因数解题。对于其它的冲击问题要利用求解。四、交变应力和金属疲劳Ⅰ、交变应力构件内一点的应力随时间t作交变变化称为交变应力，图11-2为交变应力的一个例子。应力循环——交变应力中应力每重复一次时，称为一个应力循环，应力重复变化的次数称为循环次数。交变应力的基本参量平均应力(11-6)应力幅(11-7)循环等征(11-8)称为对称循环，称为非对称循环，称为脉动循环。Ⅱ、金属的疲劳破坏金属构件在交变应力下所发生的断裂破坏称为疲劳破坏。疲劳破坏的特点：1、构件内的最大工作应力低于材料的静载作用时的强度极限；2、塑性较好的材料在断裂前也无明显的塑性变形；3、经过一定的循环次数。疲劳破坏的过程分为疲劳裂纹的形成、疲劳裂纹的扩展、脆性断裂三个阶段，断口分为光滑区和粗糙区。疲劳寿命：构件发生疲劳破坏时所经历的循环次数。材料的疲劳极限：标准试样经历无限次应力循环不发生疲劳破坏时交变应力中的最大工作应力。影响构件疲劳极限的主要因素：1、应力集中；2、尺寸大小；3、表面加工质量。对称循环下构件的强度校核对称弯曲对称拉压对称扭转式中，、为工作安全因数，为规定的安全因数，()、、()分别为尺寸因数、表面加工质量因数和应力集中因数，其大小可以有关图表中查到。例11-1如图a所示的简支梁由两根20a号工字钢组成，跨度起重设备的重量为P1=5kN，以加速度a=3m/s2起吊重量为P2=50kN的重物。已知，试校核该梁的强度。不计梁和起吊钢索的自重。解：重物P2的荷载系数为起重设备的重量P1为静荷载，以加速度a上升的重物产生的动荷载为，所以作用梁上C截面的总荷载为梁的最大弯矩为查型钢表20a工字钢的W梁的最大弯曲正应力为该梁满足强度要求。例11-2机车车轮的转速为n=300r/s，连杆AB的横截面为矩形，，，长度。车轮半径为，如图a所示。连杆材料的密度为=7.95kg/m3。试求连杆的最大弯曲正应力。解：车轮在转动过程中，自重荷载的方向始终铅垂向下，惯性力方向沿，当连杆AB旋转到最低位置时，自重和惯性力方向相同，连杆受到的铅垂力最大，如图b所示。车轮的角速度为AB杆的自重和惯性力集度分别为AB杆的总荷载集度为连杆最大弯曲正应力为例11-3AB杆的重量为P，直径为d，长度为l，以角速度绕铅垂轴O—O转动，如图a所示。试求1、AB杆和O—O轴的夹角；2、AB杆内最大的弯曲正应力。解：AB杆的受力图如图b所示，自重的集度为P/l，惯性力的集度为垂直于AB杆的荷载分量如图c所示。1、求在图b中，由，得2、求由图c得弯矩方程为其中令，得，在处弯矩为最大，最大弯矩为AB杆的最大正应力为例11-4正方形刚架，绕刚架平面内的铅垂轴O—O以等角度转动，如图a所示，刚架各杆的直径均为d，材料的密度为，弹性模量为E，试画刚架的内力图。不计自重荷载并不计剪力和轴力如位移的影响。解：水平杆和竖直杆惯性力的集度分别为，刚架的受力图如图b所示，由于刚架的结构和受力均是关于AB轴和CD轴为对称的，取1/4刚架CB(图c)进行分析。在B截面处反对称的剪力为零，刚架铅垂方向的荷载为零，故轴力为零，仅有多余未知力弯矩X。各段的弯矩方程及其对X的偏导数分别为，，位移条件为得刚架的轴力图、剪力图和弯矩分别如图d、e、f所示。例11-5平均半径为R的小曲率杆圆环，绕圆环平面内的铅垂轴Oy以等角速度转动，如图a所示。圆环的弯曲刚度为EI，横截面面积为A，材料的密度为，弹性模量为E。不计自重荷，并不计轴力和剪力对位移的影响，试求：1、圆环的最大弯矩及作用面位置；2、圆环A、B两点的相对位移。解：1、求最大弯矩惯性力的集度为圆环的受力图如图b所示。由于圆环的结构和荷载均对称于、，所以取出圆环进行研究。B截面处的反对称的剪力为零，由于圆环上无铅垂荷载，故轴力为零，仅有弯矩为多余未知力X。弯矩方程及其X的偏导数为由位移条件得弯矩方程为由，，解得或。所以最大弯矩发生在B截面，最大负弯矩发生在C截面，其值为(以圆环外侧受拉时弯矩为正)根据对称性可知，，2、求A、B间的相对位移在B截面处虚加水平力(图c)，弯矩方程及其对的偏导数为令，则AB间的相对位移为例11-6重量为的重物自高度为处落下冲击到梁上，如图a所示。梁为工字钢，，，CD杆的直径，。梁和CD杆的材料相同，，，，稳定安全因数。试校核该梁的强度和CD杆的稳定性。不计CD杆的变形。解：1、按静载荷问题解超静定以重物P作为静载，为多余未知力(图b)，位移条件为，即得AB梁的弯矩图如图c所示。2、求动荷因数3、校核AB梁的强度AB梁满足强度要求。4、校核CD杆的稳定性CD杆所受的冲击压力为求CD杆的临界力校核CD杆的稳定性CD杆满足稳定性要求。例11-7重量为的重物，自高度处落下冲击到刚架的B点处，如图a所示。各杆的直径均为，，，，。试求刚架B点的冲击位移，并校核刚架的强度。解：1、解超静定以P为静载，为多余未知力(图b)，位移条件为，由叠加法，得2、求动荷因数及B点的冲击位移B点的冲击位移为3、校核刚架的强度按第三强度理论计算危险截面(A截面)上由静载产生的相当应力。刚架的冲击应力为故刚架满足强度要求。例11-8如图a所示，重量为的重物从高度处落下冲击到梁的E点处，梁AB的横截面为矩形。，，BD杆的直径，。梁和立柱的材料相同，，，梁的许用应力，立柱的稳定安全因数。试校核梁的强度和立柱的稳定性。解：1、校核梁的强度以重物P作为静荷，(图b)，其弯矩图如图c所示。E截面的挠度即为静位移，略去BD杆的轴向变形，由叠加法得动荷因数为梁的最大冲击应力为可见梁满足强度要求。2、校核立柱的稳定性立柱受到的压力为求立柱的临界力立柱的稳定条件得所以立柱满足稳定性要求。例11-9图a所示结构中，AC梁和CD压杆均为矩形截面，，，，，长度。梁上作用的静荷载，重量为的重物从高度处自由落下冲击到梁上。梁和压杆的材料相同，，，梁的许用应力，压杆的稳定安全因数。试校核梁的强度和压杆CD的稳定性。不计CD杆的轴向变形。解：1、解超静把P作为静荷载，解超静定，求出A处的支反力再由平衡方程求出C处支反力，其结果如图b所示。静位移为动荷因数为冲击荷载为只有静荷载F作用时比照图b可得A、C处的支反力如图c所示。在静载F和动荷载共同作用下A、C处的支反力分别为梁的弯矩图如图d所示。2、校核梁的强度未超的5%，故梁的强度条件满足要求。3、校核CD杆的稳定性临界力为故CD杆的稳定性满足要求。讨论：当结构同时受静荷载和冲击荷载作用时，动荷因数中的静位移，是把冲击物的重量P作用静荷载，作用于梁的受冲击点处，仅由P产生的梁上受冲击点的静位移；冲击荷载为。然后再计算在静载荷F和冲击荷载同时作用时的内力。例11-10外伸梁AC的弯曲刚度为EI，重量为P的重物自高度h处落下冲击到梁的C点处。为了减少梁内的冲击应力，采用两种方式设置缓冲弹簧，分别如图a、b所示。设弹簧的刚度系数为k。试分别导出两种情况的动荷因数，并比较两种缓冲装置的效果。解：两种情况下均为自由落体冲击，动荷因数为1、图a以重物P为静荷载(图c)，其静位移为令则动荷因数为2、图b以重物P为静荷载，弹簧的支反力X为多余未知力(图d)，其位移条件为梁的挠度等于弹簧的缩短量，即引入得静位移为动荷因数为3、比较两种缓冲装置的效果设重物下落的高度h远大于相应的静位移，可将动荷因数简化为两种情况下梁内的最大冲击应力分别为其最大冲击应力之比为当时，图a的缓冲效果较好，当时，图b的缓冲效果较好。例11-11悬臂梁AB的弯曲刚度为EI，A端为固定端，B端和支座的距离为，重量为P的重物以速度冲击梁，如图a所示。试求B截面和支座刚接触时重物的速度之值。解：因为梁在冲击荷载作用下，B截面和支座刚好接触，所以B截面的冲击位移，B截面的支反力。以重物P为静荷载(图b)，C截面的静位移为动荷因数为B截面的静位移和动位移分别为令，即得例11-12如图a所示，AC杆上端重物的重量为P，AC杆以角速度绕A点转动，冲击到梁AB的D点，梁的EI和W为已知。试求动荷因数及梁内的最大冲击应力。解：1、求动荷因数该题即非自由落体冲击，也非水平冲击，其动荷因数要根据机械能守恒定律进行推导。重物以水平速度为冲击到梁的D点，梁的冲击荷载为，冲击位移为，如图b所示。将重物P作为静荷载，静位移为，如图c所示。其中重物减少的动能和势能分别为梁的应变能为由机械能守恒定律，得用卡氏定理求，在图c中，，动荷因数为2、求最大冲击应力例11-13在图a所示结构中，AB杆的拉伸刚度为EA，重量为P的重物自高度h处落下冲击到AB杆的盘上。，弹簧的刚度系数为k。试求AB杆的冲击应力。解：AB杆在冲击荷载作用下，B端的位移受到弹簧的约束，弹簧受到压力。重物减少的势能转化为AB杆和弹簧的应变能之和。显然由重物减少的势能仅转化AB杆的应变能导出的公式已不适用，需要重新推导。位移关系及受力图如图b所示。图中，为AB杆的动位移，为弹簧的动位移，且。AB杆和弹簧的冲击荷载分别为和。重物P减少的势能为AB杆和弹簧的应变能分别为式中，由能量守恒原理，得得AB杆的动位移为AB杆的冲击荷载和冲击应力分别为例11-14图a所示结构中，三根杆的长度均为l，拉伸(压缩)刚度均为EA，将重量为P的重物置于托盘上，突然松手，。求各杆的轴力。解：位移关系如图b所示。三根杆的动变形分别为,三根杆的动轴力分别为、、，由胡克定理得，重物减小的势能为各杆和结构的应变能分别为由能量守恒原理，得各杆的轴力分别为例11-15AB、CD梁的弯曲刚度均为EI，自由端的距离，重量为P的重物自高度h落下冲击到AB梁的B端，如图a所示。求梁受到的冲击荷载。解：二梁的位移关系和自由端的受力关系如图b所示，二梁的动挠度分别为和，冲击荷载为和。重物势能的减少为式中，二梁的应变能为由能量守恒原理，得AB和CD梁的动挠度为AB和CD梁受到冲击的冲击荷载分别，二梁所受的总的冲击荷载为例11-16梁AB和CD的弯曲刚度均为EI，重量为P的重物自高度为h处以初速度冲击到梁的B点处，如图a所示。试求其动荷因数。解：1、推导动荷因数公式设作用在B点的冲击荷载为，B点的冲击位移为，将重物P以静载方式作用在B点处，B点的位移为，其中