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文档简介

仿拓扑群与半拓扑群的若干问题仿拓扑群与半拓扑群是拓扑代数中一个重要的分支。拓扑代数的理论起源于SophusLie约于19世纪与20世纪之间创立的李群理论。泛函分析与微分几何的研究促进了这门学科的发展。它是一门以研究拓扑结构和代数结构以某种方式相容为目标的综合性学科。在近代数学中,它与分析、代数、几何与拓扑紧密的联系在一起,成为学习与研究近代数学中不可或缺的内容。在本文中,我们主要探讨了仿拓扑群与半拓扑群中的若干问题,主要包括以下三部分内容:1.在第一章中,我们证明了每一个饱和的、有可数弱extent数的仿拓扑群一定是w-narrow的。这部分回答了Arhangel’skii等在[3,Problem5]提出的问题。这一结论推广了Sanchez关于拓扑群的结果。利用这个结果,我们能证明每个满足T2分离公理的、饱和的、有可数π特征且有可数weakextent的仿拓扑群能压缩到有可数基的豪斯道夫拓扑空间。同时,我们构造了一个没有可数伪特征的w-balanced仿拓扑群。这肯定地回答了Sanchez在[36.Problem2.13]中提出的问题。2.在第二章中,我们证明了若仿拓扑群的稠密子群是ω-narrow,则这个仿拓扑群一定是w-narrow的。这肯定地回答了Arhangel’skii等在[1,OpenProblem5.2.1]中提出的问题。进一步,我们证明了对于每个满足T3分离公理的半拓扑群,若它存在稠密子群且其稠密子群是ω-narrow及P空间,则它一定是ω-narrow。同时,我们还研究了仿拓扑群与半拓扑群的稠密子群的其他拓扑性质。例如,2伪紧、预紧、拓扑周期性等等。另外,我们给出了这样一个拓扑空间,使得无论在其上赋予何种代数结构都不能成为半拓扑群。3.在第三章中,我们主要证明了对于正则仿拓扑群而言2-伪紧具有三空间性质。这部分解决了Tkachenko在[40,Problem5.7]提出的问题。同时,我们证明了对于每个仿拓扑群来讲,ω-narrow有三空间性质。利用这个性质,我们能证明对拓扑群来讲,第二可数具有三空间性质。这给出第二可数的拓扑群的一个刻画。

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