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平稳时间序列分析第三章差分方程与推移算子第一节非齐次线性差分方程齐次线性差分方程一、差分方程（一）差分方程的特征方程解法特征方程为特征方程的根称为特征根，记作齐次线性差分方程的通解（1）不相等实数根场合（2）有d

重实根场合（3）复根场合（二）齐次线性差分方程的特征方程解法非齐次线性差分方程的特解使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解非齐次线性差分方程的通解齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的特解之和(三)非齐次线性差分方程的特征方程解法这是关于变量yt的一阶差分方程.1，有初值的递归解法（一）一阶差分方程二、差分方程的迭代解法得到给出初值y-1以及的值，即可得到yt。2，系统的稳定性当时，系统是稳定的。当时，系统是发散的。3，初值不确定时的递归解法当时4，特征方程解法对应的齐次方程的特征方程为的通解为的一个特解为所以的通解为将上述方程改写为（二）p阶差分方程写成矩阵形式令则原p阶差分方程变为一阶向量差分方程参照一阶向量差分方程的递归解法有即上述系统的第一个方程代表了yt的值.令则给出初值y-1，y-2，…，y-p以及的值，即可得到yt。定理：矩阵F的特征根满足的特征方程为如果矩阵F的特征根是相异的，那么存在一个非奇异矩阵T使得其中令1、具有相异特征根的p阶差分方程的通解则矩阵F的第一行第一列的元素为：定理：如果矩阵F的特征根是相异的，则且其中证明：只需证令则因为是矩阵F的特征值，它满足即是与矩阵F的特征值相对应的特征向量。由此可得因为所以由此可求出此方程组的解为将此结果代入即得其中是矩阵F的相异特征根。如果从t期开始迭代，则有当时，系统是稳定的。特别，具有相异特征值的二阶差分方程的解特征方程为当或位于直线的右上方，当或位于直线的左上方，利用约当分解2、具有重复特征根的p阶差分方程的通解则若是重特征根，则有于是例如，考察有重根的二阶差分方程（三）差分方程的例（随机蛛网模型）其中：为t期农产品（如小麦）的需求为t期农产品（如小麦）的供给为t期农产品（如小麦）的市场价格当市场处于均衡时农产品（如小麦）的市场价格满足的差分方程为（一）定义

延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻记B为延迟算子，有二、滞后算子(延迟算子)若，定义其中其中，为多项式。1、2、3、4、5、6、7、（二）延迟算子的性质7、若c为常数，则8、阶差分步差分若，则9、若，则（三）用延迟算子表示差分运算1、一阶差分方程（四）利用延迟算子解差分方程若，则有2、二阶差分方程则定理：当差分方程（*）的特征方程------（*）的根都在单位元内，或者以下方程的根都在单位

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