专题3.2 中心对称与简单的图案设计（教师版）

专题3.2中心对称与简单的图案设计1.掌握中心对称图形及中心对称的概念；理解他们的区别和联系，并会判别出图形是否为中心对称图形；2.会画出给定条件的旋转对称图形或中心对称图形，会画出已知图形关于已知点成中心对称的图形；3.能利用平移和旋转设计简单的图案。知识点01中心对称与中心对称图形【知识点】1）中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．2）中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图所示，△ABC与△A’B’C’关于点O对称.3）中心对称与轴对称的区别与联系：区别中心对称轴对称有一个对称中心有一条对称轴图形绕对称中心旋转180°图形沿对称轴翻折旋转后与另一个图形重合翻折后与另一个图形重合联系都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等4）中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形.5）确定对称中心的方法：（1）连接任意一组对称点，连线的中点就是对称中心；（2）连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心.6）中心对称作图1.连接原图形的关键点与对称中心；2.延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等；3.将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形.7）中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．8）中心对称与中心对称图形的区别与联系：中心对称中心对称图形区别针对两个图形针对一个图形两个图形位置上的关系具有某种性质的一个图形对称点在两个图形上对称点在一个图形上对称中心在两个图形之间对称中心在图形上或图形内部联系如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．【知识拓展1】中心对称与中心对称图形的相关概念例1．（2022·成都市·八年级课时练习）下列说法中,正确的是(

)A．形状和大小完全相同的两个图形成中心对称B．成中心对称的两个图形必重合C．旋转后能重合的两个图形成中心对称D．成中心对称的两个图形形状和大小完全相同【答案】D【分析】根据中心对称图形的概念，即可求解．【详解】A、成中心对称的两个图形，形状和大小完全相同，但形状和大小完全相同的两个图形不一定成中心对称，故错误；B、成中心对称的两个图形能重合，但是绕中心旋转180°后能重合，未旋转时它们不是必须重合，故错误；C、旋转180°，能重合的两个图形成中心对称，故错误；D、正确．故选D．【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【即学即练】1．（2022·上海市八年级月考）下列说法中正确的是（）A．如果把一个图形绕着一个定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称;B．如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应顶点之间距离相等;C．如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为120度，那么它不是中心对称图形；D．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180°，那么它是中心对称图形。【答案】C【分析】根据中心对称图形定义及性质依次判断即可.【解析】A：只有旋转180°后重合才是中心对称，故此选项错误；B：对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，故错误；C：如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为120度，那么它不是中心对称图形，正确；D：如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180°，那么它不一定是中心对称图形，故错误；故选:C.【点睛】此题考察中心对称图形，掌握中心对称图形的定义及性质即可正确判断.【知识拓展2】中心对称图形的辨别例2．（2022·山东阳谷·初二期末）随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此依次判断即可.【解析】∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，∴A、C、D不符合，不是中心对称图形，B选项为中心对称图形.故选：B.【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握相关概念是解题关键.【即学即练】1．（2022·河南平顶山市·八年级期末）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据轴对称图形的概念与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A选项不合题意；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B选项不符合题意；C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故C选项不符合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．【知识拓展3】对称中心的相关性质例3．（2022·山东德城·初三期末）如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O任作直线EF分别交AD、BC于点E、F，下面的结论：①点E和点F，点B和点D是关于中心O对称点；②直线BD必经过点O；③四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；④△AOE与△COF成中心对称．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D分析：由于△ABC与△CDA关于点O对称，那么可得到AB=CD、AD=BC，即四边形ABCD是平行四边形，由于平行四边形是中心对称图形，且对称中心是对角线交点，据此对各结论进行判断．【解析】△ABC与△CDA关于点O对称，则AB=CD、AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形，即点O就是▱ABCD的对称中心，则有：（1）点E和点F，B和D是关于中心O的对称点，正确；（2）直线BD必经过点O，正确；（3）四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等，正确；（5）△AOE与△COF成中心对称，正确；其中正确的个数为4个考点：(1)、中心对称；(2)、平行四边形的性质．【即学即练3】1.（2022·山东）如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC与A1B1C1是中心对称图形．则对称中心的坐标是（）A．(1，1) B．(1，0) C．(1，﹣1) D．(1，﹣2)【答案】C【分析】连结AA1，CC1，两线交点即为对称中心．【详解】如图，连接AA1，CC1，∵AA1与CC1交于点（1，-1），∴对称中心的坐标是（1，﹣1），故选：C．【点睛】本题主要考查了中心对称的概念，解题的关键是掌握对称点所连线段都经过对称中心．2．（2022·安徽九年级期中）如图，已知和关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（）．A．B．C．D．【答案】D【分析】根据三角形和中心对称的性质求解，即可得到答案．【详解】∵和关于点O成中心对称∴∴错误，其他选项正确故选：D．【点睛】本题考查了三角形和中心对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形和中心对称图形的性质，从而完成求解．【知识拓展5】对称中心图形与坐标例5．（2022·保定市八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为（1，0），（0，1），．一个电动玩具从坐标原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称：第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第五次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…，照此规律重复下去，则点的坐标为（）A．（2，2） B． C． D．【答案】C【分析】计算出前几次跳跃后，点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标，可得出规律，继而可求出点P2013的坐标．【详解】解：∵点与点关于点成中心对称，∴P1(2，0)，过P2作P2D⊥OB于点D，∵与点关于点成中心对称，∴P1B=P2B，在△P1BO和△P2BD中，∴△P1BO≌△P2BD，∴P2D=P1O=2，BD=BO=1，∴OD=2，∴P2(-2，2)，同理可求：P3(0，-2)，P4(2，2)，P5(-2，0)，P6(0，0)，P7(2，0)，从而可得出6次一个循环，∵=335…3，∴点P2013的坐标为(0，-2)．故选C．【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，以及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律．【即学即练】1．（2022·江苏南京市·八年级期中）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（6，50°）或P（6，﹣310°）或P（6，410°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（）A．Q（6，﹣490°） B．Q（6，590°） C．Q（6，﹣110°） D．Q（6，230°）【分析】根据中心对称的性质解答即可．【解答】解：∵P（6，50°）或P（6，﹣310°）或P（6，410°），∴由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（6，230°），（6，﹣490°），（6，590°），故选：C．【点评】此题考查中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答．【知识拓展6】中心对称的作图例6．（2022成都市·八年级期末）如图，平面直角坐标系的原点在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格的格点上，为格点三角形（三角形的顶点在网格的格点上）（1）直接写出下列点的坐标：（______，______），（______，______），（______，______）．（2）直接画出经过下列变换后的图形：将向右平移1个单位，再向下平移6个单位后，得到（其中：点移动后为点，点移动后为点，点移动后为点）再将其绕点顺时针旋转180°得到．（3）通过观察分析判断与是否关于某点成中心对称？如果是，直接写出对称中心的坐标；如果不是，说明理由．【答案】（1），，；（2）见解析；（3）与关于点P成中心对称，点P的坐标为．【分析】（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；（2）根据网格结构分别找出点A、B、C平移后的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；分别找出点A1、B1、C1绕点A1顺时针旋转180°的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；（3）根据网格结构和中心对称的性质确定出对称中心，并根据对称中心的位置写出坐标即可．【详解】解：（1），，．（2）如图所示，如图所示．（3）如图所示，与关于点P成中心对称，∵C（4,0），C2（3，-2），CP=C2P，点P的横坐标为：×（4+3）＝，纵坐标为：×（0-2）＝-1，∴P．【即学即练】1．（2022·江苏淮安市·八年级期中）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图．（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1；（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．【答案】（1）△AB1C1如图所示；见解析；（2）△A2B2C2如图所示；见解析．【分析】（1）依据△ABC绕点A顺时针旋转90°，即可得到△AB1C1；

（2）依据中心对称的性质进行作图，即可得到△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．【详解】（1）△AB1C1如图所示；（2）△A2B2C2如图所示．【点睛】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，解题时注意：旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素有旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．知识点02简单的图案设计【知识点】简单的图案设计我们可以分别利用各种图形变换方法设计图案，也可以利用它们的组合进行图案设计.(1)利用平移设计图案:先设计出基本图案，然后沿着一定的方向不断平移进行设计;(2)利用轴对称设计图案:先设计出基本图案，然后通过不断翻折进行设计;(3)利用旋转设计图案:先设计出基本图案，然后利用旋转知识，将基本图案绕着某点依次旋转进行设计;(4)利用图形变换的组合设计图案:综合利用上面的图形变换进行图案设计.【知识拓展1】图案设计1例1．（2022·吉林吉林·九年级期末）如图，下列4×4网格图都是由16个相同的小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，按下列要求涂上阴影(1)在（图1）中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形；(2)在（图2）中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据轴对称图形的定义去添加．(2)根据中心对称图形的定义添加．【解析】(1)添加图形如下：(2)添加图形如下：【点睛】本题考查了轴对称图形即将一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合，中心对称图形即将图形绕某点旋转180°与原图形完全重合的图形，正确理解定义是解题的关键．【即学即练】1．（2022·山东峄城·八年级期末）在的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图中画出你的3种方案．（每个的方格内限画一种）要求：（1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点视为相连）；（2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形（若两个方案的图形能够重合，视为一种方案）【答案】见解析【分析】直接利用轴对称图形的性质以及结合平移的性质、旋转的性质分别分析得出答案．【详解】解：如图所示：【点睛】此题主要考查了旋转变换以及轴对称图形的性质，正确掌握相关图形性质是解题关键．【知识拓展2】图案设计2例2．（2022·上海奉贤·八年级期末）如图，在等边三角形网格图中，每个等边三角形的边长是1；(1)画出△ABC绕点A逆时针旋转60°的△AB1C1；(2)△A2B2C2与△AB1C1关于点O中心对称，请画出△A2B2C2；(3)△ABC可以绕某点旋转一定角度，得到△A2B2C2，那么其旋转中心是图中点P、点M、点N中的点．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)P【分析】（1）根据题意以及网格的特点，找到逆时针旋转60°的对应点，顺次连接，则△AB1C1即为所求；（2）作A，B1，C1关于点O中心对称点，顺次连接，则△A2B2C2即为所求；（3）找到的垂直平分线的交点，即为旋转中心【解析】(1)如图所示，△AB1C1即为所求．(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．(3)找到的垂直平分线的交点，即为旋转中心，旋转中心是图中点P，故答案为：P．【点睛】本题考查了画旋转图形，中心对称图形，掌握旋转的性质是解题的关键．【即学即练】2．（2022·吉林永吉·九年级期末）如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，A，B两点均在格点上．请按要求在图①，图②(1)在图①中，画等腰△ABC，使AB为腰；(2)在图②中，画面积为8的四边形ABCD，使其为中心对称图形，C，D两点均在格点上；(3)在图③中，画△ABC，使∠ACB＝90°，点C在格点上．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）因为AB=5，作腰为5的等腰三角形即可；（2）作边长为2，高为4的平行四边形即可；（3）直接做直角三角形即可．【解析】(1)解：如图①，等腰△ABC即为所作；(2)解：如图②，四边形ABCD即为所作；(3)解：如图③，∠ACB＝90°的△ABC，即为所作；【点睛】本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运动所学知识解决问题．题组A基础过关练1．（2022·江苏南通市·九年级期末）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据中心对称图形的定义即可求得，中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．【详解】A.是中心对称图形，符合题意；B.是轴对称图形，不符合题意；C.是轴对称图形，不符合题意；D.是轴对称图形，不符合题意；故选A.【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的特征是解题的关键，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（2022·黑龙江·九年级月考）下列冬奥会会徽图案中，既是轴对称图形、又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据轴对称图形及中心对称图形可直接进行求解．【详解】A选项既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；B选项既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；C选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；D选项既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键．3．（2022·山西晋城·初二期末）如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有（）A．4种 B．5种 C．6种 D．7种【答案】B【解析】根据轴对称的定义及题意要求画出所有图案后即可得出答案：得到的不同图案有：共5个．故选B．4．（2022·河北安平·初二期末）如图，在方格纸上有三点A、B、C，请你在格点上找一个点D，作出以A、B、C、D为顶点的四边形并满足下列条件.(1)使得图甲中的四边形是轴对称图形而不是中心对称图形.(2)使得图乙中的四边形不是轴对称图形而是中心对称图形.(3)使得图丙中的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形.【答案】见解析【分析】（1）利用轴对称图形的性质得出符合题意的图形即可；（2）利用中心对称图形的性质得出符合题意的图形即可；（3）利用轴对称图形以及中心对称图形的性质得出即可.【解析】【点睛】本题考查利用轴对称设计图案以及利用利用旋转设计图案，熟练掌握轴对称图形的性质以及中心对称图形的性质是解题关键.5．（2021·浙江宁波·一模）图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形）（1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．（2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案；（2）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案．【详解】解：（1）如图所示：是轴对称图形，但不是中心对称图形．（2）如图所示：既是轴对称图形，又是中心对称图形．．【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确掌握相关定义是解题关键．6．（2022·江苏苏州市·八年级期中）正方形网格中（每个小正方形边长是1，小正方形的顶点叫做格点），的顶点均在格点上，请在所给的平面直角坐标系中解答下列问题：（1）作出绕点逆时针旋转90°后的；（2）作出关于原点成中心对称的.【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）本题考查图形的旋转变换以及作图，根据网格结构找出点、、绕点逆时针旋转90°后的点、、的位置，然后顺次连接即可．（2）本题考查中心对称图形的作图，找出点、、关于原点成中心对称的点、、的位置，然后顺次连接即可．【详解】【点睛】解答此类型题目首先要清楚旋转图形和中心对称图形的性质，按照图形定义进行作图，作图时先找点，继而由点连成线．7．（2022·河北九年级期中）如图，已知和及点O．（1）画出关于点O对称的；（2）若与关于点对称，请确定点的位置．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【分析】（1）分别作A、B、C三点关于点O对称点，再顺次连接即可；（2）若与关于点对称，连接两组对应点的连线的交点即为所求点.【详解】（1）如图，分别作A、B、C三点关于点O对称点,连接，则所得为所求三角形；（2）如图，连接、相交于点、则点即为所求点.【点睛】本题考查旋转变换作图，在找旋转中心时，要抓住“动”与“不动”，解题的关键是看图.题组B能力提升练1．（2022·湖北鹤峰·模拟预测）数学世界中充满了许多美妙的几何图形，等待着你去发现，如图是张老师用几何画板画出的四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A．①勾股树B．②分形树C．③谢尔宾斯三角形D．④雪花【答案】D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A、①既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、②是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、③是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、④既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（2022·福建·福州八年级期中）如图，将长为，宽为的四个矩形如图所示摆放在坐标系中，若正比例函数的图像恰好将所组成的图形分为面积相等的两部分，则的值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设矩形①和矩形②的对称中心为A，设矩形③和矩形④的对称中心为B，求出AB的解析式，得到C、D两点坐标，从而得到CD中点E的坐标，代入正比例函数表达式求出k即可．【详解】解：如图，设矩形①和矩形②的对称中心为A，设矩形③和矩形④的对称中心为B，可知A（2.5，3），B（1，1.5），设直线AB的解析式为y=k′x+b，则，解得：，∴直线AB的解析式为y=x+0.5，当x=0，则y=0.5，当x=3，则y=3.5，∴C（3，3.5），D（0，0.5），取线段CD的中点E，则E（1.5，2），∵CF∥OD，∴∠EDO=∠ECF，∵∠DEO=∠CEF，CE=DE，∴△DEO≌△CEF（ASA），∴S△DEO=S△CEF，∴直线OE等分所组成的图形的面积，把E（1.5，2）代入y=kx，解得：k=，故选D．【点睛】此题考查中心对称图形的性质、用待定系数法求一次函数的解析式及矩形的性质，此题难度较大．3．（2022·福建建阳·九年级期中）如图，平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2020A2021B2021的顶点A2021的坐标是___【答案】【分析】首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为(1，)，B1的坐标为(2，0)；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2021的坐标是多少即可．【详解】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，∴A1的坐标为(1，)，B1的坐标为(2，0)，∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，∵，，∴点A2的坐标是，∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，∵，，∴点A3的坐标是，∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，∵，∴点A4的坐标是，……，∴An的横坐标是：2n-1，当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是，∴顶点A2021的坐标是，故答案为：．【点睛】此题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特点、坐标与图形的性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质，通过找规律判断出An的横坐标和纵坐标是解题的关键．4．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是_________．【答案】2【分析】根据中心对称的性质AD=DE及∠D=90゜，由勾股定理即可求得AE的长．【详解】∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，∴△ABC≌△DEC，∴AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，∠D＝∠BAC＝90°，∴AD＝2，∵∠D＝90°，∴AE＝，故答案为．【点睛】本题考查了中心对称的性质，勾股定理等知识，关键中心对称性质的应用．5．（2022·天津河西·九年级期中）如图①，，，，为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是__________；如图②，，，，，为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是__________．【答案】

过与交点O的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分

，，，为所求【分析】利用中心对称图形进行分析即可．【详解】解：，，如图①（提示：答案不唯一，过与交点O的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分）；，O，如图②（提示：答案不唯一，如，，，等均可）．【点睛】本题考查了图形的对称中心,可根据所给的圆的圆心组成的图形的形状进行分析．注意：过中心对称图形的中心的任意一条直线都可以把图形的面积等分．6．（2022·浙江杭州·模拟预测）图1，图2都是由边长为1的小正方形构成的网格，的三个顶点都在格点上，请在该的网格中，分别按下列要求画一个与有公共边的三角形：（1）使得所画出的三角形和组成一个轴对称图形．（2）使得所画出的三角形和组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质分析得出答案；（2）直接利用中心对称图形的性质分析得出答案．【解析】解：（1）如图所示：（答案不唯一）；（2）如图所示：（答案不唯一）．【点睛】此题主要考查了利用旋转设计图案以及轴对称变换，正确掌握相关定义是解题关键．7．（2022·江苏）如图与图，在边长均为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点及点均在格点上．请仅用无刻度直尺完成作图（保留作图痕迹）．（1）在图中，作关于点成中心对称的；（2）在图中．①作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的；②请直接写出：点到的距离为．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②2．【分析】（1）如图；连接AO并延长使得OA＇=OA,得到A的对应点A＇,同样的方法找到B＇、C＇，最后顺次连接即可；（2）①如图：运用相同的方法旋转AC、AB得到B＇、C＇，然后连接B＇、C＇即可；②点B＇到AC＇的距离即为点到的距离．【详解】（1）如图中，即为所求；（2）①如图中，即为所求；②如图2∵点B＇到AC＇的距离为2∴点到的距离．

【点睛】本题主要考查了旋转变换和中心对称变换，掌握旋转变换和中心变换的定义和性质以及数形结合思想成为解答本题的关键．题组C培优拔尖练1．（2022·浙江瓯海·八年级阶段练习）对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A的坐标为（2，0），点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（8，6），则△ABC的面积是（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】A【分析】连接CQ，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定得到∠ACB＝90，延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．【详解】解：连接CQ，如图：由中心对称可知，AQ＝BQ，由轴对称可知：BQ＝CQ，∴AQ＝CQ＝BQ，∴∠QAC＝∠ACQ，∠QBC＝∠QCB，∵∠QAC+∠ACQ+∠QBC+∠QCB＝180°，∴∠ACQ+∠QCB＝90°，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形，延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，如图，∵A（2，0），C（8，6），∴AF＝CF＝6，∴△ACF是等腰直角三角形，∵，∴∠AEC＝45°，∴E点坐标为（14，0），设直线BE的解析式为y＝kx+b，∵C，E点在直线上，可得：，解得：，∴y＝﹣x+14，∵点B由点A经n次斜平移得到，∴点B（n+2，2n），由2n＝﹣n﹣2+14，解得：n＝4，∴B（6，8），∴△ABC的面积＝S△ABE﹣S△ACE＝×12×8﹣×12×6＝12，故选：A．【点睛】本题考查轴对称的性质，中心对称的性质，等腰三角形的判定与性质，求解一次函数的解析式，得到的坐标是解本题的关键．2．（2022·四川师范大学附属中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为(2，1)，(6，1)，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若ABC与关于点P成中心对称，则点的坐标为（）A．(﹣4，-5) B．(﹣5，﹣4) C．(﹣3，﹣4) D．(﹣4，﹣3)【答案】A【分析】先证明△ABC为等腰直角三角形，得到点A坐标，直线AB的解析式，根据ABC与关于点P成中心对称，得到P为的中点，设（m，n），利用中点公式求出m、n．【详解】解：∵点B，C的坐标分别为(2，1)，(6，1)，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC∥x轴，△ABC为等腰直角三角形，BC=4，过点A作AD⊥BC与D，交x轴于E，则AD=BD=CD=2，∴OE=4，AE=3，∴A（4,3），设直线BC的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线AB的解析式为y=x-1，当x=0时，y=-1，则P（0，-1），∵ABC与关于点P成中心对称，∴P为的中点，设（m，n），∴，解得m=-4，n=-5，∴点的坐标为（-4，-5），故选：A．【点睛】此题考查等腰直角三角形的判定及性质，求一次函数解析式，中心对称的定义，两点中点的计算公式，熟记各知识点并综合应用解决问题是解题的关键．3．（2022·河南中原·初三月考）已知：如图，等边三角形的边长为边在轴正半轴上，现将等边三角形绕点逆时针旋转，每次旋转则第次旋转结束后，等边三角形中心的坐标为A． B． C． D．【答案】D【分析】先找到等边三角形OAB的中心点，再根据等边三角形的三线合一可得出E，OE=2，最后根据规律即可求解．【解析】解：过点B作BD⊥OA于D，过点O作OF⊥AB于F，BD与OF相交于点E，则点E是等边三角形的中心．∵等边三角形OAB的边长为∴OD=，∠AOF=∴DE=∴E，OE=2依题意可知：OE每次逆时针旋转，那么每6次又回到原位置．∴故选：D【点睛】此题主要考查等边三角形三线合一的性质及规律探究，熟练运用性质和发现规律是解题关键．4.（2022·吉林南关·七年级期末）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，AB⊥a于点B，D⊥b于点D，若OB＝5，OD＝3，则阴影部分的面积之和为_____．【答案】15【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．【详解】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝5，OD＝3，∴AB＝2，∴图形①与图形②面积相等，∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×5＝15．故答案为：15．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称的概念是解题的关键．5．（2022·全国·八年级）如图是由五个边长为1的小正方形拼成的图形，点P是其中四个小正方形的公共顶点，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度为_____．【答案】【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM＝AB，利用勾股定理即可求得．【详解】如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分，由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD，∴AM＝PB，∴PM＝AB，∵PM＝＝，∴AB＝，故答案为：．【点睛】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．6．（2022·全国·八年级课时练习）如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”．请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换