第-10-讲-李雅普诺夫稳定性理论

第10讲李雅普诺夫稳定性理论1掌握内容

李氏稳定性的概念稳定性判别方法2系统稳定分类1、外部稳定性：假设系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，那么称该系统是外部稳定的。(外部稳定性也称为BIBO〔BoundedInputBoundedOutput〕稳定性)线性定常连续系统的传递函数矩阵为

当且仅当极点都在s的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO稳定）的。2、内部稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作用无关。系统的稳定性都是相对平衡状态而言的。3自动控制系统的出现伴随着稳定性问题失稳10.1稳定性研究的历史4利用微分方程进行稳定性分析Maxwell特性方程的根决定稳定性特征方程的系数判据RouthHurwitz5稳定性研究决定了频率特性的开展Black创造反响放大器NyquistBodeNyquist判据相角裕量增益裕量6李亚普诺夫理论成为现代控制理论与非线性控制的重要根底1892年，发表“论稳定性的一般问题〞线性系统非线性系统7天遇：混沌与稳定性的起源8稳定性是一个控制系统工作的首要、必要条件。经典控制理论判稳方法：劳斯判据、根轨迹法、奈氏判据、对数频率判据:适用范围：线性定常系统，不适用于非线性和时变系统。1892年俄国学者李雅普诺夫〔Lyapunov〕提出的稳定性理论不仅适用于单变量线性系统，还适用于多变量、非线性、时变系统,它是确定系统稳定性的更一般理论。9线性系统稳定性分析的理论框架

第一方法第二方法稳定性分析1892年俄国数学家李雅普诺夫SISO的代数分析方法解析方法Routh判据Houwitz判据根据SISO闭环特征方程的系数判定系统的稳定性根据状态方程A阵判定系统的稳定性1010.2稳定性的概念与定义平衡稳定性稳定？扰动11不稳定稳定渐近稳定12定义XX0Xe状态向量初始状态孤立平衡状态13平衡点：状态xe称为系统的一个平衡点，如果一旦x(t)=xe,那么此后状态永远停留在xe.平衡点满足方程对线性时不变系统14对于孤立平衡状态，总可以经过适当的坐标平移变换，将它变换到状态空间原点。因此，经常以原点作为平衡状态来讨论系统的稳定性。说明15李雅普诺夫意义下的稳定如果对任一实数ε>0,都对应地存在一个实数δ(ε，t0)>0,使得由满足不等式||x0-xe||≤δ(ε,t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动都满足不等式||Φ(t;x0,t0)-xe||≤ε那么称xe在李雅普诺夫意义下稳定。16x0xeS(ε)S(δ)Φ(t)任给存在17一致稳定假设上述δ的选取只与ε有关，而和t0无关，那么称平衡状态是一致稳定。任一初始时刻出现的扰动运动都是稳定的18渐近稳定孤立平衡状态xe=0在时刻t0渐近稳定，Xe是李雅普诺夫意义下稳定的〔must)相对于平衡状态xe=0满足渐近性使系统为渐近稳定的最大区域称吸引域。19x0xeS(ε)S(δ)Φ(t)吸引域不稳20全局稳定假设以状态空间的任一有限非零点为初始状态的受扰运动都有界，且成立那么系统的原点平衡状态是大范围〔全局〕渐近稳定。21不稳定设系统的孤立平衡状态为xe。假设对某个实数ε>0和任意实数δ>0,不管δ多小，在S(δ)内总会存在一个状态x0，使从x0出发的轨迹将离开S(ε),那么称该孤立平衡状态是不稳定的。22x0xeS(ε)S(δ)Φ(t)无论多大无论多小2310.3李雅普诺夫第一方法

〔线性化方法或间接法〕根本思路将非线性系统运动方程在平衡状态附近进行泰勒展开，舍去高次项，导出一次近似的线性化系统。根据线性化系统特征值在复平面上的分布来判断系统在平衡状态附近的稳定性。24忽略A非线性系统25雅可比矩阵26非线性系统在平衡点的

线性化方程27线性化定理线性化系统非线性系统平衡点渐近稳定稳定不稳定不稳定临界稳定未知28A的特征值具有负实部A的特征值具有正实部稳定不稳定A的特征值实部为零？线性化系统非线性系统29例线性化30例：判断局部稳定性原点渐近稳定31AleksandrLyapunov

(June61857–November3,1918)

1876,圣彼得堡大学学习，师从切比雪夫1892，获博士学位并成为教授1901，俄罗斯科学院院士1908，参加第4届数学大会，并参与欧拉选集的编辑出版工作1918，夫人去世，随之自杀，不治身亡Lyapunov‘scentrallimittheorem

、Lyapunovequation

、Lyapunovexponent

Lyapunovfunction

、Lyapunovstability

3210.4李雅普诺夫第二方法

〔直接法〕阻尼系统33能量替换能量的导数34是否对所有系统都成立？稳定35V(x)是向量x的标量函数，S是x空间包含原点的封闭有限区域，假设对于S中的所有x，都有V(x)对于向量x中各分量有连续的偏导数V(0)=0当x≠0，V(x)>0正定函数36正定半正定半负定不定37二次型函数Sylvester定理当P是对称矩阵时，V(x)为正定的充分必要条件是P的顺序主子行列式都为正38二次型函数的正定性等价于其加权矩阵P的正定性。实对称阵P为负定的充分必要条件是其各阶主子式满足(i

为偶数)(i

为奇数)39正定40李雅普诺夫稳定性定理给定一个定常系统的运动方程和平衡状态，假设对该系统可以找到单值标量函数V(x)，且V(x)对各状态分量均具有一阶连续偏导数，假设成立V(x)正定V`(x)负定那么xe=0是局部渐近稳定的平衡状态，称V(x)是系统的一个李雅普诺夫函数41若成立系统的原点平衡状态为大范围渐近稳定42放宽后的条件负半定不恒等于零43直观理解系统的运动伴随能量的变化,假设能使系统能量变化的速率始终为负(能量为单调减少),系统的受扰运动最终会回到平衡状态.李亚普诺夫函数能量函数44x1x245说明普适性(线性\非线性\时变)直观性(广义能量)函数的选取缺少有效方法充分条件(假设找不到李氏函数,不意味不稳定)46不稳定的判别定理对LTI自治系统,假设可构造标量函数V(x),V(0)=0,以及围绕状态空间原点的一个区域,使对所有非零状态x满足V(x)为正定V`(x)为正定那么系统原点平衡状态x=0为不稳定47例原点(x1=0,x2=0)是唯一的平衡状态正定函数48负定平衡点大范围渐近稳定4910.5连续时间线性系统状态稳定性判据稳定50对n维LTI系统,原点平衡状态xe=0是渐近稳定的充分必要条件为,对任给一个n*n正定对称矩阵Q,李亚普诺夫方程有唯一正定对称解阵P51说明Q常取为对角阵或单位阵其实质是给出了矩阵A的特征值具有负实部的充要条件其意义主要用于理论推导和分析52例判断稳定性53渐近稳定5410.6外部稳定性和内部稳定性〔了解〕LTI系统BIBO稳定传递函数矩阵G(s)所有极点均具有负实部外部稳定性BIBO稳定性55内部稳定性由任意时刻t0的非零初始状态x0引