专题03 勾股定理（解析版）

专题03勾股定理知识点框架知识点讲解勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么。变式：，，,,.适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。用拼图的方法验证勾股定理的思路是：1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理勾股定理的证明方法：方法一（图一）：，，化简可证．方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为，所以方法三（图三）：，，化简得证图一图二图三勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数常见的勾股数：如；；；等典型题型考查题型一用勾股定理解三角形1．（2022·江苏常州·八年级期中）如图，在中，，，，则点到直线的距离是（

）A． B．3 C． D．2【答案】C【分析】作于点，根据勾股定理可以求得的长，然后根据三角形的面积为定值即可求出点到直线的距离．【详解】解：作于点，如图所示，，，，，，，解得，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，解题的关键是明确三角形的面积为定值，点到直线之间垂线段最短．2．（2022·江苏宿迁·八年级期中）如图，长为8cm的橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B然后把中点C竖直向上拉升3cm至点D处，则拉长后橡皮筋的长为（）A．8cm B．11cm C．18cm D．10cm【答案】D【分析】根据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长后的距离．【详解】解：中，，；根据勾股定理，得：；同理可得，；故拉长后橡皮筋的长度为．故选：D．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．3．（2022·江苏南京·八年级期中）在中，的对应边分别是，则下列式子成立的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，可得为斜边，为直角边，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵在中，的对应边分别是，∴为斜边，为直角边，∴，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．4．（2022·江苏·南京市第二十九中学八年级期中）如图，在中，，点D是上的一点，且，则的值为（

）A．4 B．9 C．16 D．25【答案】C【分析】在中，得到①，在中，得到②，①②即可求解．【详解】解：在中，①，在中，②，①②得：故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解题的关键．考查题型二勾股数的问题5．（2022·江苏盐城·八年级期中）下列各组数中，是勾股数的一组是（）A．6、7、8 B．3、4、5 C．0.6、0.8、1 D．2、4、5【答案】B【分析】根据勾股数的定义逐项判断即可．【详解】解：，因此6、7、8不是一组勾股数，A选项不符合题意；，因此3、4、5是一组勾股数，B选项符合题意；0.6和0.8不都是正整数，因此0.6、0.8、1不是一组勾股数，C选项不符合题意；，因此2、4、5不是一组勾股数，D选项不符合题意；故选B．【点睛】本题考查勾股数，解题的关键是掌握勾股数的定义，即满足

的三个正整数a、b、c称为勾股数．6．（2022·江苏·宿迁市宿豫区教育局教研室八年级期中）下列各组数中不是勾股数的是（

）．A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．11，60，61【答案】B【分析】根据勾股数的定义：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数；据此解答即可．【详解】解：A、，是勾股数，不符合题意；B、，不是勾股数，符合题意；C、，是勾股数，不符合题意；D、，是勾股数，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了勾股数的定义，熟记定义是解本题的关键．7．（2022·江苏无锡·八年级期中）下列各组数中是勾股数的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】B【分析】欲判断是否为勾股数，第一条必须根据勾股数是正整数，第二条还需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方．用这两条即可判断【详解】解：A．，不是勾股数；B．是勾股数；C．，，中，都不是正整数，故不是勾股数；D．，不是正整数，故不是勾股数．故选择：B．【点睛】本题考查了勾股数，掌握勾股数是正整数，满足勾股定理，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用是解题关键．考查题型三以直角三角形三边为边长的图形面积8．（2022·江苏盐城·八年级期末）用三张正方形纸片，按如图所示方式构成图案，若要使所围成阴影部分的三角形是直角三角形，则选取的三个正方形纸片的面积不可以是（）A．1，2，3 B．2，2，4 C．3，4，5 D．2，3，5【答案】C【分析】设直角三角形的两直角分别为，斜边为，根据勾股定理可得：，由此可得两个小正方形的面积和等于大正方形的面积，由此即可求解．【详解】解：设直角三角形的两直角分别为，斜边为，三个正方形的面积分别为、、根据勾股定理可得：可得两个小正方形的面积和等于大正方形的面积而C选项，不符合，选项错误，不符合题意，故选C【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．9．（2022·江苏盐城·八年级期末）如图，已知正方形B的面积为144，正方形C的面积为169时，那么正方形A的面积为（

）A．313 B．144 C．169 D．25【答案】D【分析】设三个正方形的边长依次为，由于三个正方形的三边组成一个直角三角形，利用勾股定理即可解答．【详解】设三个正方形的边长依次为，由于三个正方形的三边组成一个直角三角形，所以，故，即.故选：D10．（2022·江苏·星海实验中学八年级期中）如图，在中，，分别以AB、AC、BC为直径向外作半圆，它们的面积分别记作、、，若，，则为（

）A．9 B．11 C．32 D．41【答案】A【分析】根据圆的面积公式及勾股定理得出，进而即可求解．【详解】解：∵在中，分别以AB、AC、BC为直径向外作半圆，它们的面积分别记作、、∴在中，∴即，∴故选A．【点睛】本题考查勾股定理和圆的面积，解题关键是将勾股定理和圆的面积公式进行灵活的结合和应用．11．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】连接AC，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解．【详解】解：连接AC，由勾股定理得AB2+BC2=AC2，AD2+CD2=AC2，∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系．考查题型四勾股定理与网格问题12．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（

）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】利用直角三角形的勾股定理即可求出答案．【详解】解：∵在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，∴任意两个格点间的距离为，，，1，2，3，，，．∴任意两个格点间的距离不可能是，故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．13．（2022·江苏盐城·八年级期末）如图，若每个小方格的面积为1，则图中以格点为端点且长度为的线段有（）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【答案】C【分析】由是直角三角形的斜边，通过勾股定理而得，把进行直角两夹边化处理后，分析发现是竖3横2的直角三角形的斜边，或竖2横3的直角三角形斜边，按此规律查找即可．【详解】如图所示，将把进行直角两夹边化处理，只要满足夹直角的两边分别为2和3即满足△AGD，△BHE，△EGC，△AMF，共四个．故选择：C【点睛】本题考查的线段的条数问题，掌握把无理数化为夹直角两边组成直角三角形的斜边是关键．14．（2022·江苏南通·八年级期中）如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD的长为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】如图，△ABC的面积=×BC×AE=2，由勾股定理得，AC=，则××BD=2，解得BD=，故选A．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．考查题型五利用沟谷定理求两条线段的平方和（差）15．（2022·江苏盐城·八年级期中）在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2=

（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理根据斜边AB的长，可得出AB的平方及两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，即可求出值．【详解】解：∵△ABC为直角三角形，斜边AB＝2，∴AC2＋BC2＝AB2＝4，则AB2＋BC2＋AC2＝AB2＋（BC2＋AC2）＝4＋4＝8．故选D．【点睛】此题考查了勾股定理的运用，勾股定理为：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．16．（2022·江苏·泰州市海陵学校八年级期末）如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据勾股定理解得的值，再结合正方形的面积公式解题即可．【详解】在中，，，，以为一条边向三角形外部作的正方形的面积为，故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．17．（2021·江苏扬州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（

）A．29 B．32 C．36 D．45【答案】D【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）＝AC2−AB2＝45．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．考查题型六勾股定理的证明18．（2022·福建·漳州三中八年级期中）意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题．【详解】解：由勾股定理可得，由题意，可得，故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图像信息．19．（2022·河北邢台·八年级期末）课堂上，王老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出两种图形，能证明勾股定理的是（

）A．①行，②不行 B．①不行，②行 C．①，②都行 D．①，②都不行【答案】A【分析】根据图①可以得到（a+b）2＝ab×4+c2，然后化简即可；根据图①，无法确定a、b、c的关系．【详解】解：由图①可得，（a+b）2＝ab×4+c2，化简，得：a2+b2＝c2，故图①可以证明勾股定理；根据图②中的条件，无法证明勾股定理；故选：A．【点睛】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20．（2022·重庆市南坪中学校八年级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据面积公式推理论证判断即可．【详解】∵中，根据面积关系，得到，∴选项A能证明勾股定理；∵中，根据面积关系，得到，故，∴选项B能证明勾股定理；∵中，根据面积关系，得到，故，∴选项C能证明勾股定理；∵中，根据面积关系，得到，∴选项D不能证明勾股定理；故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，熟练掌握勾股定理的证明和完全平方公式的几何意义是解题的关键．21．（2022·河北承德·八年级期末）如图，已知直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，以直角三角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形．那么，这四个图形中，直角三角形外，其他几个图形面积分别记作、、．结论Ⅰ：、、满足只有（4）；结论Ⅱ：∵，∴的有（1）（2）（3）．对于结论Ⅰ和Ⅱ，判断正确的是（

）．A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对【答案】D【分析】分别表示出、、的面积，根据勾股定理判断即可．【详解】解：直角三角形的三边长分别为、、，，图1中，，，，则，，，同理，图2、图3、图4，都符合结论Ⅰ：，对于Ⅱ：，但是都符合，故结论Ⅱ错误．故选：D．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么，掌握勾股定理是解题的关键．考查题型七以弦图为背景的计算题22．（2022·江苏·阳山中学八年级期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（

）A．13 B．10 C．15 D．9【答案】D【分析】根据小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，求得小正方形的面积，再计算其算术平方根即可．【详解】因为小正方形的面积=，所以小正方形的边长为，故选D．【点睛】本题考查了弦图的计算，熟练掌握图形的面积分割法计算，会求算术平方根是解题的关键．23．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校八年级期中）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）A．90 B．100C．110 D．121【答案】C【详解】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，所以KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此矩形KLMJ的面积为10×11=110．故选：C．24．（2022·江苏·星海实验中学八年级期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】解：如图所示，∵（a+b）2=21∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，即：a2+b2=13，∴2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=5．故选C．25．（2022·江苏无锡·八年级期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①，②，③，④.其中说法正确的是(

)A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【详解】可设大正方形边长为a，小正方形边长为b，所以据题意可得a2=49,b2=4；根据直角三角形勾股定理得a2=x2+y2，所以x2+y2=49，式①正确；因为是四个全等三角形，所以有x=y+2，所以x-y=2，式②正确；根据三角形面积公式可得，而大正方形的面积也等于四个三角形面积加上小正方形的面积，所以，化简得2xy+4=49，式③正确；因为x2+y2=49，2xy+4=49，所以所以，因而式④不正确．故答案为B．26．（2022·江苏无锡·八年级期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书（周髀算经）中早有记载；如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内若直角三角形两直角边分别为6和8，则图中阴影部分的面积为（

）A．20 B．24 C．28 D．无法求出【答案】B【分析】将图2阴影部分分割成正方形和长方形，根据直角三角形的三边关系即可求解．【详解】解：将图2阴影部分分割成正方形和长方形，如图，根据勾股定理得：斜边长=10，∴阴影部分面积为（10﹣8）×10+（10﹣8）×（8﹣6）=24，故选：B．【点睛】本题考查勾股定理、正方形的面积公式、长方形的面积公式，会利用割补法解决问题是解答的关键．考查题型八用勾股定理构造图形解决问题27．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB′，再根据BB′=AB-AB′即可得出答案．【详解】解：∵AC=10m，BC=6m，∠ABC=90°，∴AB=m，∵AC′=10m，B′C′=8m，∠AB′C′=90°，∴AB′=m，∴BB′=AB-AB′=2m；故选：B．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，根据已知条件求出AB和AB′是解题的关键．28．（2022·江苏宿迁·八年级期中）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行人校体温检测．如图，人校学生要求沿着直线AB单向单排通过校门口，测温仪C与直线AB的距离为3m，已知测温仪的有效测温距离为5m，则学生沿直线AB行走时测温的区域长度为（

）A．4m B．5m C．6m D．8m【答案】D【分析】根据题干画出图形，即可求出答案，图形见详解【详解】如图根据题干条件，，，，则根据勾股定理，则．故答案选D【点睛】本题考查勾股数的应用，需熟记常见的勾股数，利用图形更容易求出答案．29．（2022·江苏南通·八年级期末）△ABC中，，，高，则△ABC的面积为（

）A．66 B．126 C．54或44 D．126或66【答案】D【分析】把三角形分为高在三角形内部和外部的两种情况，如图1，2，利用勾股定理求出BC的长，然后根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：由题意知，分两种情况求解：①如图1，在内部在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得∴∴；②如图2，在外部在中，由勾股定理得