2023-2024学年高二上学期期末数学全真模拟试卷04（苏教版（2019）选择性必修第一册）（含答案）VIP

-2024学年高二数学上学期期末考试全真模拟04卷（测试范围：苏教版（2019）选择性必修第一册）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.2．已知圆的圆心在轴上，且经过，两点，则圆的方程是（）A. B.C. D.3．经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程是（）A. B.C. D.4．直线与曲线相切于点，则（）A. B.1 C. D.25．已知直线过点，且斜率为，若圆上有4个点到的距离为1，则的取值范围为（）A. B. C. D.6．已知数列首项为2，且，则（）A. B. C. D.7．如图,点,分别是双曲线C:(,)的左、右焦点,M是C右支上的一点,与y轴交于点P,的内切圆在边上的切点为Q,若,则C的离心率为（）A. B.3 C. D.8．已知，，，则（参考数据：）（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知等差数列为递减数列，且，，则下列结论中正确的有（）A.数列的公差为 B.C.数列是公差为的等差数列 D.10．已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，为椭圆上一点（异于左，右顶点），且的周长为6，则下列结论正确的是（）A.椭圆的焦距为1 B.椭圆的短轴长为C.面积的最大值为 D.椭圆上存在点，使得11．已知函数的定义域为，其导函数满足，则（）A. B.C. D.12．法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.如图若椭圆E：的蒙日圆为C，M为蒙日圆C上的动点，过M作椭圆E的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ与椭圆E的一个交点为N，则（）A.C的方程为B.面积的最大值为6C.若点，，则当最大时，D.若椭圆E的左、右焦点分别为，，且，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系中，若是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，则________．14.若是直线上的一点，点是曲线上的一点，则的最小值为________．15.已知动点在直线上，动点在直线上，记线段的中点为，圆，圆分别是圆，上的动点.则的最小值为__________.16．已知等差数列中，，公差，其前四项中去掉某一项后(按原来的顺序)恰好是等比数列的前三项，则______；若对任意的正整数n，恒成立，则实数λ的取值范围为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．设等差数列的前n项和为，，______．（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值．注：作答前请先指明所选条件，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．已知圆．（1）若一直线被圆C所截得的弦的中点为，求该直线的方程；（2）设不过圆心的直线与圆C交于A，B两点，把的面积S表示为m的函数，并求S的最大值．19．已知双曲线经过，两点．（1）求C标准方程；（2）若直线与C交于M，N两点，且C上存在点P﹐满足，求实数t的值．20．已知数列中的各项均为正数，，点在曲线上，数列满足，记数列的前项和为.（1）求的前项和；（2）求满足不等式的正整数的取值集合.21．如图，已知抛物线，焦点为，准线为直线，为抛物线上的一点，过点作的垂线，垂足为点．当的横坐标为3时，为等边三角形．（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线交抛物线于，两点，交直线于点，交轴于．①若，，求证：常数；②求的取值范围．22．已知函数.（1）当时，求函数的极小值；（2）若有两个零点，求的取值范围.2023-2024学年高二数学上学期期末考试全真模拟04卷（测试范围：苏教版（2019）选择性必修第一册）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】:由题知,所以,且抛物线开口向上,所以其准线方程为:.故选:D2．已知圆的圆心在轴上，且经过，两点，则圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意，设圆心坐标为，∵圆过，两点，∴，解得，则圆半径为．∴圆方程为．故选：C．3．经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，解得，故直线交点为，直线的斜率，故垂直于它的直线斜率，故所求直线方程为，整理得到.故选：B4．直线与曲线相切于点，则（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】直线与曲线相切于点将代入可得:解得:由,解得:.可得根据在上,解得:故选:.5．已知直线过点，且斜率为，若圆上有4个点到的距离为1，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为圆上有4个点到的距离为1，所以圆心到直线的距离小于1，设圆的圆心到直线的距离为，又因为过点，且斜率为的直线方程为，即，所以，解得，即.故选：C.6．已知数列首项为2，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知得，，则当时，有，经检验当时也符合该式．∴.故选：D7．如图,点,分别是双曲线C:(,)的左、右焦点,M是C右支上的一点,与y轴交于点P,的内切圆在边上的切点为Q,若,则C的离心率为（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】如图,设内切圆与的两外两个交点为R,S,则所以,即又PO垂直平分,所以即,所以又,所以离心率.故选：D8．已知，，，则（参考数据：）（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，考虑构造函数，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，因为，所以，即，所以，所以，即，又，所以，故，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知等差数列为递减数列，且，，则下列结论中正确的有（）A.数列的公差为 B.C.数列是公差为的等差数列 D.【答案】ABC【解析】由题意知，又，故可看出方程的两根，∵数列为递减数列，，．公差，故A正确；又，，故B正确；由上可知，则当时，，当时，，数列是首项为，公差为的等差数列，故C正确；由C选项知：，故，∵，，故D错误．故选：ABC10．已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，为椭圆上一点（异于左，右顶点），且的周长为6，则下列结论正确的是（）A.椭圆的焦距为1 B.椭圆的短轴长为C.面积的最大值为 D.椭圆上存在点，使得【答案】BC【解析】由已知得，，解得，，对于A，椭圆的焦距为，故A错误；对于B，椭圆的短轴长为，故B正确；对于C，设，，当点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时，所以面积的最大值为，故C正确；对于D，假设椭圆上存在点，使得，设，所以，，，所以是方程，其判别式，所以方程无解，故假设不成立，故D错误.故选：BC.11．已知函数的定义域为，其导函数满足，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】构造函数，其中，则，所以，函数为上的增函数，则，即，所以，，A错B对；因为，则，即，所以，，C对D错.故选：BC.12．法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.如图若椭圆E：的蒙日圆为C，M为蒙日圆C上的动点，过M作椭圆E的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ与椭圆E的一个交点为N，则（）A.C的方程为B.面积的最大值为6C.若点，，则当最大时，D.若椭圆E的左、右焦点分别为，，且，则【答案】ACD【解析】过点向椭圆引切线，当切线斜率不存在时：，蒙日圆半径为，蒙日圆方程为：；当切线斜率存在时，设，过点的切线方程为，联立，整理可得：，则，整理可得：，是方程的两根，由题意可知：，即，也即，综上所述：圆E：的蒙日圆为，故选项正确；由可得：为蒙日圆的直径：所以面积的最大值为，故选项错误；由题意可知：如下图：当与蒙日圆在第三象限相切时，最大，设切线的方程为，即，由圆心到直线的距离，解得：，所以，因为，且，所以，此时最大，最大为，所以，故选项正确；由椭圆的定义可知：，又因为，所以，即，解得：或，不妨设：，则，又因，所以，则，所以在中，，则，，所以，故选项正确；故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系中，若是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，则________．【答案】【解析】将点的坐标代入抛物线方程可得，即点，易知点，由抛物线的定义可得.故答案为：14.若是直线上的一点，点是曲线上的一点，则的最小值为________．【答案】【解析】因为点是曲线上的一点，故设，所以到直线的距离为，令，则当单调递增；当单调递减；所以，所以所以的最小值为故答案为：15.已知动点在直线上，动点在直线上，记线段的中点为，圆，圆分别是圆，上的动点.则的最小值为__________.【答案】【解析】由题意，动点在直线上，动点在直线上，线段的中点为，可得点在直线上，且易知与已知两圆相离，又圆半径分别为，对于任意点，要使最小，只需，点关于直线对称点，且，则，所以的最小值为.故答案为：16．已知等差数列中，，公差，其前四项中去掉某一项后(按原来的顺序)恰好是等比数列的前三项，则______；若对任意的正整数n，恒成立，则实数λ的取值范围为______．【答案】①.3②.【解析】由题意，可知，，，，①当去掉的是，则，，，由数列是等比数列，则，即，化简可得，解得，不符合题意；②当去掉的是，则，，，由数列是等比数列，则，即，化简可得，解得或，不符合题意；③当去掉的是，则，，，由数列是等比数列，则，即，化简可得，解得或，则符合题意；④当去掉是，则，，，由数列是等比数列，则，即，化简可得，解得，不符合题意.故等差数列中首项，公差，则；故等比数列中，，，公比，则.由，则，即，令令，，令，则，由，则，单调递增极大值单调递减当时，；当时，.的最大值为，则，即.故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．设等差数列的前n项和为，，______．（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值．注：作答前请先指明所选条件，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）；（2）49.【解析】（1）选①，设等差数列的首项为，公差为d，依题意，，解得，所以数列的通项公式为.选②，设等差数列的首项为，公差为d，依题意，，解得，所以数列的通项公式为.选③，设等差数列的首项为，公差为d，依题意，，解得，所以数列的通项公式为.（2）由（1）知，，所以当时，取得最大值49．18．已知圆．（1）若一直线被圆C所截得的弦的中点为，求该直线的方程；（2）设不过圆心的直线与圆C交于A，B两点，把的面积S表示为m的函数，并求S的最大值．【答案】（1）；（2），；.【解析】（1）圆圆心，半径，显然点在圆C内，由圆的性质知，当为圆C弦的中点时，该弦所在直线垂直于直线，直线的斜率，则有所求直线斜率为1，方程为：，即，所以该直线的方程为.（2）直线与圆相交时，圆心C到直线l的距离，解得，又直线l不过圆心，即，因此且，，的面积，因为且，则，当，即或时，，所以，，当或时，.19．已知双曲线经过，两点．（1）求C标准方程；（2）若直线与C交于M，N两点，且C上存在点P﹐满足，求实数t的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知可得，，解得，所以C的标准方程为.（2）设，，.联立直线与双曲线的方程，整理可得.由韦达定理可得，所以.所以，.则由可得，，解得，即.因为点在双曲线上，所以有，整理可得，解得.20．已知数列中的各项均为正数，，点在曲线上，数列满足，记数列的前项和为.（1）求的前项和；（2）求满足不等式的正整数的取值集合.【答案】（1）；（2）正整数的取值集合为.【解析】（1）依题意，，即有，而，因此数列是首项为2，公差为1的等差数列，则有，，所以.（2）由（1）知，，，由，得，即，设，则，显然，当时，，即数列从第3项起是递减的，因为，则当时，有，所以正整数的取值集合为.21．如图，已知抛物线，焦点为，准线为直线，为抛物线上的一点，过点作的垂线，垂足为点．当的横坐标为3时，为等边三角形．（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线交抛物线于，两点，交直线于点，交轴于．①若，，求证：常数；②求的取值范围．【答案】（1）（2）①证明见解析；②【解析】（1）抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，因为横坐标为3时，为等边三角形，直线与直线垂直，所以，，，所以，解得所以抛物线的方程（2）①当直线的斜率不存在时，直线与准线没有交点，与已知矛盾，故设直线的方程为，则，由得，设，，所以，，因为；；；所