一课时直线与平面垂直判定

第八章8.6.2直线与平面垂直

第一课时直线与平面垂直的判定本资料分享自高中数学同步资源大全QQ群483122854专注收集同步资源期待你的加入与分享联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并加以证明.2.会应用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直.课标要求素养要求在发现、推导和应用直线与平面垂直的判定定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的__________直线都垂直，那么直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.任意一条(2)有关概念垂线直线l叫做平面α的垂线垂面平面α叫做直线l的垂面垂足直线与平面唯一的________垂线段过一点作平面的垂线，该点与垂足间的线段点到平面的距离________的长度公共点垂线段点睛过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．

2.直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的__________直线垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，________＝P⇒l⊥α图形语言两条相交a∩b3.直线和平面所成的角有关概念对应图形

斜线一条直线l与一个平面α______，但不与这个平面α______，图中直线PA斜足斜线和平面的______，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点P向平面α引______PO，过______O和______A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影相交垂直交点垂线垂足斜足直线和平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是_______；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是____.取值范围01.思考辨析，判断正误×(1)若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.(

)(2)若a⊥b，b⊥α，则a∥α.(

)(3)若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内所有直线所成的角均为90°.(

)(4)若直线l与平面α所成的角为0°，则直线l∥平面α.(

)提示(1)直线l垂直于平面α内的无数条平行直线时，l与α不一定垂直.(2)还有可能a⊂α.(4)l∥α或l⊂α.×√×2.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(

) A.平面OAB B.平面OAC C.平面OBC D.平面ABC

解析

∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC.C3.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线(

) A.平行

B.相交 C.异面

D.以上皆有可能

解析

两条直线平行、相交或异面.D4.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是________(填上满足结论的序号). ①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.解析由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面，对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.①③课堂互动题型剖析2题型一线面垂直概念的理解【例1】下列命题中，正确的序号是________.①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.④⑤解析当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确.故填④⑤.1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.2.由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.思维升华【训练1】设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(

) A.若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B.若l⊥α，l∥m，则m⊥α C.若l∥α，m⊂α，则l∥m D.若l∥α，m∥α，则l∥mB解析对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面.【例2】如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值.题型二求直线与平面所成的角解由题意知A是M在平面ABC上的射影，∴MA⊥平面ABC，∴MC在平面CAB上的射影为AC.∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，求直线与平面所成角的一般步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算.(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.思维升华【训练2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1B与平面AA1D1D所成角的大小；解∵AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°，∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.(2)求A1B与平面BB1D1D所成角的大小.解连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D，∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.又0°≤∠A1BO≤90°，∴∠A1BO＝30°，∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.角度1直线与平面垂直的证明【例3】如图所示，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点. (1)求证：SD⊥平面ABC；题型三直线与平面垂直的判定定理的应用证明∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD.又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS.∴∠SDB＝∠SDA，∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，∴SD⊥平面ABC. (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明∵AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD，又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，∴BD⊥平面SAC.1.利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论.2.平行转化法(利用推论)证明线面垂直(1)a∥b，a⊥α⇒b⊥α；(2)α∥β，a⊥α⇒a⊥β.3.线线垂直和线面垂直的相互转化思维升华【训练3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于点D，求证：AD⊥平面SBC.证明因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC.又SA⊥平面ABC，所以SA⊥BC.又AC∩SA＝A，SA⊂平面SAC，AC⊂平面SAC.∴BC⊥平面SAC，因为AD⊂平面SAC，所以BC⊥AD.又SC⊥AD，SC∩BC＝C，所以AD⊥平面SBC.角度2垂直条件的确定【例4】如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝__________时，CF⊥平面B1DF.a或2a解析在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∵点D是等腰Rt△A1B1C1斜边A1C1中点，∴B1D⊥平面ACC1A1，又CF⊂平面ACC1A1，所以B1D⊥CF，故若CF⊥平面B1DF，则必有CF⊥DF.设AF＝x(0<x<3a)，则CF2＝x2＋4a2，DF2＝a2＋(3a－x)2，又CD2＝a2＋9a2＝10a2，所以10a2＝x2＋4a2＋a2＋(3a－x)2，解得x＝a或2a.故当AF＝a或AF＝2a时，CF⊥平面B1DF.探求线面、线线垂直条件的常用方法(1)借助直观想象，选取特殊点后进行证明，若满足垂直关系，则即为要求的点.(2)设出要求的点，通过计算确定点的位置，一般需要利用勾股定理构造方程解题.思维升华【训练4】如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是(

)A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH解析∵EG⊥平面α，PQ⊂平面α，∴EG⊥PQ.

①又EG⊥平面α，FH⊥平面α.∴EG∥FH，则EG与FH共面，为使PQ⊥GH，只需PQ⊥平面EGHF.若EF⊥平面β，由PQ⊂平面β，

得EF⊥PQ.又∵EG与EF相交于点E，从而PQ⊥平面EGHF，则PQ⊥GH.1.利用线面垂直的判定定理判定一条已知直线和一个平面垂直，关键是在这个平面内找出两条相交直线都与已知直线垂直，即线线垂直⇒线面垂直.2.求直线与平面所成的角步骤为一作、二证、三求、四答，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的突破口.3.证明线面垂直主要方法：(1)线面垂直定义；(2)线面垂直的判定定理；(3)借助两个结论：①若a∥b，a⊥α则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.

课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题1.已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面(

) A.有且只有一个

B.至多有一个 C.有一个或无数个

D.不存在

解析若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在.B2.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是(

) A.平行

B.垂直

C.相交

D.不确定

解析由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.B3.线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为(

) A.30° B.45° C.60° D.120°C∴∠ABC＝60°.故AB与平面α所成的角为60°.4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是(

)C解析连接AC.因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩

MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.A解析取BC的中点D，连接AD，B1D，∵AD⊥BC且AD⊥BB1，∴AD⊥平面BCC1B1，∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角.二、填空题6.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是________.l⊥AC解析∵AB⊥α，l⊂α，∴AB⊥l，又BC⊥β，l⊂β，∴BC⊥l，又AB∩BC＝B，且AB，BC⊂平面ABC，∴直线l⊥平面ABC，故l⊥AC.30°解析由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角.∴∠PCA＝30°，即PC与平面ABCD所成的角为30°.8.如图，四棱锥S－ABCD底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个.4①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角.解析∵SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴SD⊥AC.∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，且SB⊂平面SBD，∴AC⊥SB，故①正确.∵AB∥CD，AB⊄平面SDC，CD⊂平面SDC，∴AB∥平面SCD，故②正确.∵SD⊥平面ABCD，∴SA在底面上的射影为AD，∴SA与底面ABCD所成的角为∠SAD，③正确.∵AB∥CD，故④也正确.三、解答题9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，求： (1)D1B与平面ABCD所成角的余弦值；解如图所示，连接DB，∵D1D⊥平面ABCD，∴DB是D1B在平面ABCD内的射影，则∠D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角.(2)EF与平面A1B1C1D1所成的角.解∵E是A1A的中点，A1A⊥平面A1B1C1D1，∴∠EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角.在Rt△EA1F中，∵F是A1D1的中点，∴∠EFA1＝45°，即EF与平面A1B1C1D1所成的角为45°.10.如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明

(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.11.在三棱锥S－ABC中，SA＝SB＝SC，则点S在平面ABC的射影一定在(

) A.BC边的中线上

B.BC边的高线上 C.BC边的中垂线上

D.∠BAC的平分线上

解析设点S在平面ABC上的射影为O，连接OA，OB，OC. ∵SA＝SB＝SC，SO⊥平面ABC， ∴OA＝OB＝OC， ∴点O是△ABC的外心，故点O在BC边的中垂线上.C12.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，正方形ABCD的面积为16，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为________.解析∵S正方形ABCD＝16，∴AB＝CB＝4，∵AB⊥平面BB1C1C，故∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角，即∠AC1B＝30°.13.如图，PA⊥矩形