人教版中职数学《第十章,立体几何初步》全章课件

第十章，立体几何初步10.1平面的基本性质主讲人：王老师10.1平面的基本性质一、点、线、面的表示：1.点：表示位置，通常用一个大写的英文字母表示如：点A,点B,点C等…….B.A.C

2.直线：通常用两个大写英文字母或一个小写英文字母表示如：直线AB,直线CD,直线EF等，或直线a,直线b,直线cABab3.平面：一般用希腊字母α，β，γ表示，或平行四边形的对角线顶点的字母来表示。如：平面α，平面β，平面AC等αα4、点，线，面位置关系的表示

公理1，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。

公理2的推论

推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

例1，在长方体ABCD-A’B’C’D’中，点P是棱A’B’的中点，画出由P,B,C’三点所确定的平面α与长方体表面的交线。

课堂练习1、判断下列命题的真假（1）如果两个平面有两个公共点A,B,那么它们就有无数多个公共点，并且这些公共点都在直线AB上（）（2）经过一条直线的平面有无数多个（）（3）两个相交平面存在三个公共点，这三个公共点不在一条直线上（）（4）空间三点确定一个平面（）（5）线段AB在平面α内，则直线AB在平面α内（）2、为什么自行车要支起后轮旁一只撑脚就能使自行车立在地面上3、用集合符号表示下列语句（1）点A在直线L上（2）点B不在直线L上（3）直线l在平面α内（4）直线m与平面α有且只有一个公共点P∩∈⊂解：（1）A∈l(2)Bl(3)l⊂α（4）m∩α=P谢谢观看2020.3.1510.2空间两条直线的位置关系一、空间两条直线的位置关系(相交，平行，异面）

1、相交：在同一个平面内，有且只有一个公共点。

2、平行：在同一个平面内，没有公共点。

3、异面：不在任何一个平面内，没有公共点。

.（1）与AB异面的棱：CC’,DD’,A’D’,B’C’

(2)与CC’异面的棱：A’B’,AB,AD,A’D’

二、直线平行

1、公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。(空间平行线的传递性）2、平行公理（初中学过）：经过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行。cabABOA'B'O'例1、在长方体ABCD-A’B’C’D’中，已知点E,F分别是棱AB,BC上的中点，求证：EF//A’C’3、空间四边形：顺次连接空间不共线的四点的图形.

例2、空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，

求证：四边形EFGH是平行四边形

练习10-2

1、已知长方体ABCD-A’B’C’D’,写出在这个长方体中与AA’平行的所有的棱:BB’,CC’,DD’2、把一张长方形的纸对折两次，打开后如图所示，说明为什么这些折痕是互相平行的。.3、已知AC,BD是空间四边形ABCD的对角线，如图，且AC=BD,且E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，

求证：四边形EFGH是菱形.证明：因为E,F是AB,BC的中点

所以EF//AC

同理GH//AC

所以EF//GH所以四边形EFGH是平行四边形所以EF=GH=AC同理FG=EH=BD又因为AC=BD所以EF=FG所以四边形EFGH是菱形三、异面直线:不在任何一个平面内的两条直线1.异面直线的判定：经过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线

2.异面直线所成的角：a,b是两条异面直线，经过空间任意一点O,作直线a’,b’,使a’//a,b’//b,直线a’,b’所成的锐角（或直角）

3、异面直线垂直：两条异面直线所成的角是直角

例3、已知：正方体ABCD-A’B’C’D’

(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线BA’是异面直线

（2）求异面直线AB与A’D’所成的角

（3）求异面直线A’B与AC所成的角

练习10-31、判断下列命题是否正确，并说明理由：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；真（2）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；假（3）过直线外一点有无数条直线与已知直线成异面直线。真2、如图，在长方体ABCD-A’B’C’D’中，哪些棱所在直线与直线AB成异面直线且互相垂直？解：CC’,DD’,A’D’,B’C’,3、如果两条直线没有公共点，则这两条直线的位置关系是（D）（A)平行（B）异面(C)共面(D)平行或异面4、在两个相交平面内各画一条直线，使它们成为：（1）平行直线（2）相交直线（3）异面直线5、指出下列命题是否正确，并说明理由：（1）若a//b,c⊥a,则cb正确(2)若a⊥c,b⊥c,则a//b不正确4、⊥10.3直线与平面的位置关系一、直线与平面的位置关系：(1)直线a在平面α内：有无数个公共点aα(2)直线a与平面α相交：有且只有一个公共点aα=A(3)直线a与平面α平行：没有公共点a//αααaaa二、直线与平面平行

判定定理：如果平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行

abαml性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行βm例1、已知空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点，

求证：EF//平面BCD证明：连接BD,在ABD中，E,F是AB,AD的中点,所以EF//BD又因为BD是平面ABD与平面BCD的交线,EF⊄平面BCD,所以EF//平面BCDCDEF例2、一个长方体木块，要经过平面A’C’内一点P和棱BC将木块锯开，应怎么画线？作法：在平面A’C’内过P作EF//B’C’分别交A’B’,C’D’于点E,F连接BE,CF,则BE,CF和EF就是所要画的线练习10-41、判断下列命题是否正确，并说明理由：（1）过平面外一点有无数条直线和这个平面平行；正确（2）过直线外一点有无数个平面和这条直线平行；正确（3）如果一条直线不在平面内，那么这条直线就平行于这个平面。错误2、如图，在长方体ABCD-A’B’C’D’六个面所在的平面中：（1）与直线AB平行的平面是（平面CD’,平面A’C’）（2）与直线AA’平行的平面是（平面CD’,平面CB’）（3）与直线AD平行的平面是(平面BC’,平面A’C’)3、已知，如图，α∩β=m,a⊂α,b⊂β,且a//b,求证：a//m,b//m

证明：因为a⊂α,b⊂β,且a//b，所以a//β,又因为α∩β=m，所以a//m;同理可证b//m三、直线与平面垂直1、定义：与平面内任意直线都垂直的直线，与这个平面垂直。AΒCBˊCˊ2、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

αmnΑl例3、如图，已知a//b,a⊥α,求证：b⊥αnmαab证明：在平面α内做两条相交直线m，n因为a⊥α,根据直线和平面垂直的定义可知a⊥m,a⊥n又因为b//a所以b⊥m,b⊥n又因为m⊂α,n⊂α,m,n是两条相交直线，所以b⊥α判定定理的推论：在两条平行直线中，如果有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

nmα3、性质定理：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

.αβΑΒlAˊBˊ4、直线和平面所成的角.αΑOP例4、已知长方体ABCD-A’B’C’D’中，AB=2,AD=1,AA’=1,求直线AC’与平面ABCD所成的角的正弦值解：连接AC因为CC’⊥ABCD所以CC’⊥AC所以ACC’是RT所以AC=√AB+BC=√2+1=√5AC’=√AC+CC’=√6所以sin∠CAC’===√6166例5、已知AD和AB分别是平面α的垂线和斜线，O和B分别是垂足和斜足，l,l⊥OB，求证：l⊥ABαABOl证明：因为AO⊥

α,l⊂α所以l⊥AO又因为l⊥OB,AOOB=O所以l⊥平面ABO又因为AB⊂平面ABO所以l⊥AB练习10-51.过一点有多少条直线与已知平面垂直？过一点有多少平面与已知直线垂直？2.已知直线l,m,n与平面α，判断下列命题是否正确，并说明理由：（1）若l⊥α,则l与α相交；（2）若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α;（3）若l//m,m⊥α,则l//m.BCDOP3.如图，正方形ABCD所在的平面为α，且PA⊥α,如果BD与AC相交于点O,那么PO是否垂直于BD?为什么？α4、如图，已知PA⊥α,PB⊥β,垂足分别是A,B,且α

β=l,求证：l⊥平面APBl5、如图，已知正方体ABCD-A’B’C’D’,求直线AC’与平面ABCD所成角的正弦值。10.4平面与平面的位置关系一、平面与平面的位置关系平行：没有公共点相交：有一条公共直线①②αβa二、平面与平面平行.1.两平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行2、推论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两平面平行αβabP.3.两平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行αβγab例1、已知：长方体ABCD-A’B’C’D’

求证：平面AB’D’//平面BC’D.证明：因为ABCD-A’B’C’D’是长方体

所以D’C’//A’B’//AB且D’C’=A’B’=AB

所以ABC’D’是平行四边形

所以AD’//BC’

同理B’D’//BD

所以平面AB’D’//平面BC’D

练习10-61.判断下列命题是否正确（1）若平面α内的两条直线分别和平面β平行，则α与β平行；（2）若平面α内有无数条直线分别和平面β平行，则α与β平行;（3）若平面α内的任意一条直线都和平面β平行，则α与β平行；（4）平行于同一条直线的两个平面平行。2.（平行平面的传递性）如果平面α//平面β,平面β//平面γ,是否必然有平面α//平面γ?为什么？3.如图，设E,F,E’,F’分别是长方体ABCD-A’B’C’D’的棱AB,,CD,A’B’,C’D’的中点，求证：平面ED’//平面BF’.4.如图，已知平面α//平面β，点P是平面α，β外一点，直线PAB,PCD分别与平面α，β相交于点A,B,C,D.且PA=4cm,AB=5cm,PC=3cm.求PD的长。E′F′EFABCDPαβ1.解：（1）否；（2）否；（3）是；（4）否2.解：是3.证明：因为E,F’是正方体的棱AB,A’B’的中点，可知

EB//A’E’且EB=A’E’所以四边形EBE’A’是平行四边形，所以A’E//E’B由正方体知A’D’//BC,又因为A’D’∩A’E=A’所以平面ED’//平面BF’4.解：因为AC//BD,所以PA/PB=PC/PD,即4/(4+5)=3/PD,解得

PD=27/4三、二面角1、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形ABαβl2、两面角的平面角：在二面角α-l-β的棱l上任意一点O,以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则∠AOB就是二面角的平面角。0°≤α≤180°例2、已知：正方体ABCD-A’B’C’D’

（1）求二面角D’-AB-D的大小

（2）求二面角A’-AB-D的大小

解：（1）正方体ABCD-A’B’C’D’中

AB⊥平面ADD’A’

所以∠D’AD即为二面角D’-AB-D的平面角

所以∠D’AD=45°是所求二面角的大小

（2）∠A’AD=90°是所求二面角的大小四、平面与平面垂直1、判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。2、性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与他们交线的直线垂直于另一个平面。αβl例3、已知：正方体ABCD-A’B’C’D’

求证：平面ACC’A’⊥平面BDD’B’.证明：因为ABCD-A’B’C’D’是正方体

所以AA’⊥平面AC

又因为BD⊂平面ACA’A⊥BD

又因为AC⊥BD且AA’∩AC=A

所以BD⊥平面ACC’A’

又因为BD⊂平面BDD’B’

所以平面ACC’A’⊥平面BDD’B’

练习10-71、判断下列命题是否正确（1）经过平面外一点只可做一个平面与已知平面垂直；（2）经过平面外任意一条直线都可作无数个平面与一直平面垂直；（3）若α⊥γ,β⊥γ,则α//β;（4）若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ;（5）若α//α’,β//β’,α⊥β,则α’⊥β’2.地面为矩形的教室里，气相邻墙所在的平面是否垂直？3、如图，在棱长为a的正方体ABCD-A’B’C’D’中，求：

（1）平面A’ABB’与平面ABCD所成的角的大小；

（2）二面角C’-BD-C的正切值。练习10-7（答案）1、（1）假、（2）假、（3）假、（4）假、（5）真2、是3、（1）因为平面ABCD平面A’ABB’=AB,AA’⊥AB,DA⊥AB,所以角DAA’是平面A’ABB’与平面ABCD所成的二面角的平面角，因为AA’⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以AA’⊥AD,所以平面A’ABB’与平面ABCD所成的角是90度。（2）因为C’B=C’D,O是BD的中点，所以C’O⊥BD,又因为AC⊥BD,所以角COC’是二