随机变量函数的数学期望

随机变量x及它所取的数和相应频率的乘积和,称为x的平均数(属于加权平均)也称为随机变量的数学期望或均值.

(一)离散型随机变量的数学期望定义1

离散型随机变量X有概率函数

P(X=xk)=Pk(k=1,2,....)若级数绝对收敛,则称这个级数为X的数学期望=第一页第二页，共47页。例1甲在机床上生产某产品,若一等品能赚5元,二等品赚3元,次品亏2元.甲生产时一等品、二等品及次品的概率为0.6,0.3,0.1.问生产每件产品平均能创造多少财富?分析:x-235p0.10.30.6数学期望为3.7元.表示生产一件产品能创造3.7元第二页第三页，共47页。

(二)连续型随机变量的数学期望定义设连续型随机变量有概率密度若

绝对收敛,则称为的数学期望

随机变量X的数学期望是随机变量的平均数.它是将随机变量

x及它所取的数和相应频率的乘积和.

=(1)

)23()(-=òµµ-dxxxEjx第三页第四页，共47页。

例2计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量的数学期望可见均匀分布的数学期望为区间的中值.第四页第五页，共47页。2.随机变量函数的数学期望定理1设Y是随机变量X的函数,Y=g(X)(g是连续函数)(1)若X是离散型随机变量,它的分布律为P{X=xk}=pk.K=1,2,..若

(2)若X是连续型随机变量,它的概率密度为f(x).

定理1表示:求E(Y)时,不必知道Y的分布,而只要知道X的分布

第五页第六页，共47页。

定理2

设Z是随机变量X和Y的函数,Z=g(X,Y)(g是连续函数),那么Z也是一个随机变量,设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则这里假设上式右边的积分绝对收敛.

若(X,Y)为离散型随机变量,其分布律为P{X=,Y=}=,i,j=1,2,...

则第六页第七页，共47页。

例3已知X在[-a,a]上服从均匀分布,试求Y=X3-kX和Y2=(X3-kX)2的数学期望解:由(8)式,得到第七页第八页，共47页。3.数学期望的性质

(1)E(C)=C.

(2)E(+C)=E+C

证明：对离散型随机变量对连续型随机变量

第八页第九页，共47页。

（3）证明：若C=0，则是一个常数0，由性质1可知它成立。第九页第十页，共47页。

（4）

（5）两个随机变量之和的数学期望等于这两个随机变量数学期望的和。证明：设是离散型随机变量这个性质可以推广到有限多个hxhxEEpyxppypxpyxEjjjiiijjjiijjiiijjjii+=+=+=+=+ååååååååµ=µ=µ=µ=µ=µ=)2()1(111111)()(第十页第十一页，共47页。

推理：

（6）两个相互独立的随机变量乘积的数学期望等于它们数学期望的乘积。

证明：因为相互独立，

连续型随机变量第十一页第十二页，共47页。

分析:因为不独立,只能用(3-6)式进行计算.91011p0.30.50.267p0.40.6

例7仪器由二部分组成，其总长为二部分长度的和。求第十二页第十三页，共47页。

下面介绍几个常用的公式第十三页第十四页，共47页。

定义如果随机变量的数学期望存在,称为随机变量的离差,显然不论正偏差大或是负偏差大,同样是离散程度大,用来衡量和的偏差

定义3-4随机变量离差平方的数学期望,称为随机变量的方差,

记或而称为的标准差

(一)方差的定义第十四页第十五页，共47页。

若是离散型随机变量,且若是连续型随机变量,有概率密度随机变量的方差是一个正数,当的可能值在它的期望值附近,方差小,反之则大.方差表示随机变量的离散程度.第十五页第十六页，共47页。

例8甲乙两个射手，射击点和目标的距离分别为，且分布律808590951008587.59092.595p0.20.20.20.20.2p0.20.20.20.20.2

求甲,乙双方的数学期望相同,表示他们的准确度相同.由于乙的方差小,表示乙射手比甲射手好第十六页第十七页，共47页。(二)方差的性质1、常数的方差等于0证明：2、随机变量和常数之和的方差就等于这个随机变量的方差。证明：3、常数和随机变量乘积的方差等于这个常数的平方和随机变量方差的乘积。证明：

第十七页第十八页，共47页。4.两个独立的随机变量之和的方差等于两个随机变量方差的和证明：若独立第十八页第十九页，共47页。

进一步可得到：n个相互独立的随机变量算术平均数的方差等于其方差算术平均数的1/n倍。5、任意随机变量的方差等于这个随机变量平方的期望和它期望的平方之差，即证明：

这个公式用来简化方差计算。且说明随机变量平方的数学期望大于期望的平方。)173()(22--=xxxEED第十九页第二十页，共47页。例9计算在区间[a，b]上服从均匀分布的随机变量的方差

第二十页第二十一页，共47页。

对于二维随机变量(X,Y),方差D(X,Y)=[D(X),D(Y)](20)

当(X,Y)为离散型随机变量时,有

当(X,Y)为连续型随机变量时,有第二十一页第二十二页，共47页。§4.2几个重要分布的数学期望及方差（一）两点分布

x10pkp1-p

第二十二页第二十三页，共47页。（二）二项分布（具有独立和‘是与否’二种结果的条件。当n=1时，它为两点分布。）第二十三页第二十四页，共47页。

利用二点分布也可推出二项分布的期望及方差。第二十四页第二十五页，共47页。（3）泊松分布π(λ)泊松分布的数学期望和方差都等于参数λ.第二十五页第二十六页，共47页。（4）指数分布其他（4-6）f(x)=第二十六页第二十七页，共47页。（6）分布其他（4-7）令00,)()(1>G=--xexrxxrrllj第二十七页第二十八页，共47页。（7）正态分布第二十八页第二十九页，共47页。（7）正态分布第二十九页第三十页，共47页。第三十页第三十一页，共47页。两点分布pp（1-p）二项分布npnpq

超几何分布nN1/N普哇松分布指数分布分布正态分布几种重要分布的数学期望和方差：第三十一页第三十二页，共47页。§4.3

其他数字特征介绍另外一些数字特征,包括矩,协方差与相关系数.矩的概念(1).k阶原点矩定义1

设X为随机变量,如果αk=E(Xk),k=1,2,...(1)存在时,称αk为X的k阶原点矩,简称k阶矩.

由定义1可知,X的k阶原点矩就是Xk的数学期望,所以求原点矩的问题,就是求随机变量的函数Y=Xk的数学期望.特别地,X的数学期望就是一阶原点矩.第三十二页第三十三页，共47页。(2)k阶中心矩定义2

设X为随机变量,如果E(X)存在,那么,当=,k=1,2...(2)存在时,称为X的k阶中心矩.

显然,X的方差D(X)就是X的二阶中心矩.(3)混合矩定义3

设(X,Y)是二维随机变量,如果=,k,L=1,2,...(3)存在,则称为二维随机变量(X,Y)的k+L阶混合(原点)矩.第三十三页第三十四页，共47页。(4)混合中心矩定义4

设(X,Y)为二维随机变量,如果μkl=E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]L}k,L=1,2,....(4)存在,则称μkL为二维随机变量(X,Y)的k+L阶混合中心矩.协方差与相关系数

第三十四页第三十五页，共47页。定义5

设(X,Y)为二维随机变量,称1+1阶混合中心矩E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}为X与Y的协方差,记为Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}而称为X与Y的相关系数由协方差的定义可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E{XY-E(X)Y-E(Y)X+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

第三十五页第三十六页，共47页。协方差具有以下的性质.(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y).a,b是常数(3)Cov(+,Y)=Cov(,Y)+Cov(,Y).定理1(1)若X与Y相互独立,则ρxy=0;(2)|ρxy|≤1;(3)|ρxy|=1的充分必要条件是:存在常数a,b使P{Y=aX+b}=1.即X与Y以概率为1线性相关.第三十六页第三十七页，共47页。证明:(1)X与Y相互独立,我们有E(XY)=E(X)E(Y),

因为Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]=E(XY)-E(X)E(Y)

所以Cov(X,Y)=0,有ρxy的公式表示它为0.(2)先证一个重要的不等式---柯西-许瓦兹不等式:若E(W2)及E(V2)存在,则[E(WV)]2≤E(W2)×E(V2).(8)令g(t)=E[(tW-V)2]=t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2)显然大于0的数学期望必定大于0.因此对一切实数t,都有(tW-V)2≥0,所以g(t)≥0.这表示图形在X轴上方.从而二次方程g(t)=0或者没有实根,或者只有重根.)()(),(YDXDYXCovxy=r第三十七页第三十八页，共47页。其判别式△=4[E(WV)]2-4E(W2)×E(V2)≤0

得到[E(WV)]2≤E(W2)×E(V2).→(8)式得到证明.

设W=X-E(X),V=Y-E(Y),那么第三十八页第三十九页，共47页。由(9)式知,|ρxy|=1等价于[E(WV)]2=E(W2)E(V2).即

g(t)=E[tW-V)2]=t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2)=0(10)由于E[X-E(X)]=E(x)-E(X)=0,E[Y-E(Y)]=E(Y)-E(Y)=0.故

E(tW-V)=tE(W)-E(V)=tE[X-E(X)]-E[Y-E(Y)]=0所以D(tW-V)=E{[tW-V-E(tW-V)]2}=E[(tW-V)2]=0(11)由于数学期望为0,方差也为0,即(11)式成立的充分必要条件是

P{tW-V=0}=1第三十九页第四十页，共47页。即(11)式成立的充分必要条件是P{tW-V=0}=1这等价于P{Y=aX+b}=1其中a=t,b=E(Y)-tE(X)W=X