机械工程-信号及其描述课件

机械工程信号及其描述第一章信号及其描述一、信号的分类与描述二、周期信号与离散频谱三、瞬变非周期信号与连续频谱四、随机信号为深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究是非常必要的，从不同角度观察信号，可分为：1)从信号描述上分--确定性信号与非确定性信号；2)从信号的幅值和能量上--能量信号与功率信号；3)从分析域上--时域与频域；第一节信号的分类与描述一、信号的分类4)从连续性--连续时间信号与离散时间信号；5)从可实现性

--物理可实现信号与物理不可实现信号。1、确定性信号与非确定性信号可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号。不能用数学关系式描述的信号称为非确定性信号。周期信号：经过一定时间可以重复出现的信号

x(t)

=

x(t+nT)简单周期信号复杂周期信号b)非周期信号：再不会重复出现的信号。①准周期信号:由多个周期信号合成，但各信号频率不成公倍数。如：x(t)=sin(t)+sin(√2.t)②瞬态信号:持续时间有限的信号。如x(t)=e-Bt.Asin(2*pi*f*t)c)非确定性信号：不能用数学式描述，其幅值、相位变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。噪声信号(平稳)统计特性变异噪声信号(非平稳)2能量信号与功率信号a)能量信号在所分析的区间（-∞，∞），能量为有限值的信号称为能量信号，满足条件：一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。b)功率信号

在所分析的区间（-∞，∞），能量不是有限值。此时，研究信号的平均功率更为合适。一般持续时间无限的信号都属于功率信号:a)时域有限信号在时间段(t1，t2)内有定义，其外恒等于零。

b)频域有限信号在频率区间(f1，f2)内有定义，其外恒等于零。三角脉冲信号正弦波幅值谱3时限与频限信号

4连续时间信号与离散时间信号a)连续时间信号:在所有时间点上有定义

b)离散时间信号:在若干时间点上有定义采样信号5物理可实现信号与物理不可实现信号物理可实现信号：又称为单边信号，满足条件：

t＜0时，x(t)=0，即在时刻小于零的一侧全为零。b)物理不可实现信号：在事件发生前(t<0)就预知信号。时域描述：反映信号随时间变化

频域描述：反映信号的组成成分

幅值域描述：反映信号幅值大小的分布

时延域描述：反映信号间的相互关系

同一信号无论选用哪种描述方法都含有同样的信息量

二、信号的时域和频域描述信号的描述方法：信号“域”的不同，是指信号的独立变量不同，或描述信号的横坐标物理量不同。

信号的时域描述：以时间为独立变量，其强调信号的幅值随时间变化的特征。

信号的频域描述：以角频率或频率为独立变量，其强调信号的幅值和相位随频率变化的特征。

时域和频域信号

信号的时域和频域描述用坐标图描述信号时，若横坐标为时间t，纵坐标为幅值的描述方式为时域描述。若横坐标为频率f(或ω)，则称为频域描述。频谱：幅频谱：横坐标－频率；纵坐标—幅值相频谱：横坐标－频率；纵坐标—相位信号的时域波形分析是最常用的信号分析手段，用示波器、万用表等普通仪器直接显示信号波形，读取特征参数。信号的时域分析

周期信号波形图

1、周期T，频率f=1/T2、峰值PAtT

PPp-p3、双峰值Pp-p4、均值

均值E[x(t)]表示集合平均值或数学期望值。均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直流分量。5、均方值信号的均方值E[x2(t)]，表达了信号的强度（平均功率）；其正平方根值，又称为有效值(RMS)，也是信号平均能量的一种表达。6、方差方差：反映了信号绕均值的波动程度。信号x(t)的方差定义为：大方差

小方差

7、波形分析的应用超门限报警

信号类型识别

基本参数识别

Pp-p案例：汽车速度测量:1）峰值：峰值Xp是信号可能出现的最大瞬时值2）峰-峰值：Xp-p是一个周期中最大瞬时值和最小瞬时值之差4）绝对均值：5）有效值是信号的均方根值：3）均值：6）均方值：有效值的平方就是信号的平均功率二、周期信号的强度表述（小结P31）什么是信号的频域分析为什么要对信号进行频域分析对信号进行频域分析的技术手段－－掌握周期信号的傅立叶三角级数和复指数展开形式信号的频域分析

8563ASPECTRUMANALYZER9kHz-26.5GHz傅里叶变换X(t)=

sin(2πnft)0t0f信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。信号的频域分析

时间幅值频率时域分析频域分析时域分析与频域分析的关系信号频谱X(f)代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。图例：受噪声干扰的多频率成分信号

频域参数对应于设备转速、固有频率等参数，物理意义更明确。大型空气压缩机传动装置故障诊断元音字母eee发音的频谱分析与合成任何一个周期函数都可以进行傅里叶级数分解，傅里叶级数有两种形式:1.傅里叶级数的三角函数形式2.傅里叶级数的复指数形式任何周期函数，都可以展开成正交函数线性组合的无穷级数，如三角函数集的傅里叶级数。周期信号只要满足：①.有限区间；②.周期性；③.狄里赫利(dilichlet)条件，都可以展开成傅立叶级数。

1.傅里叶级数的三角函数展开式式中：，2，3…常值分量：余弦分量的幅值：正弦分量的幅值：第二节周期信号与离散频谱一、周期信号的分解它表明周期函数由一个直流分量和无限个谐波分量组成，ω0称为基波角频率。

若将上式同频项合并，可改写成：其中：a)周期函数的奇偶性由：进一步讨论，可得：相位频谱图三角频谱图（n=1,2,3，…）b)三角频谱以角频率ω(或频率f)为横坐标，幅值An或θn为纵坐标所做的图形称为三角频谱图幅值频谱图+||+||相邻频率的间隔：基频成分：对应的频率成分N次谐波成分：对应的频率成分单边谱：频率或从，谱线在横坐标的一边例：求如图示周期性矩形波的傅里叶级数表示，并画出频谱图。解：该波形在一个周期内的数学表达式为根据公式得（n=1，3，5…..）幅频图

相频图时域分析频域分析上例揭示出周期方波可以分解为无穷多个谐波。A=4;w0=pi/0.1;t=-0.5:.001:0.5;Y=sin(w0*t)+(1/3)*sin(3*w0*t)+(1/5)*sin(5*w0*t)+(1/7)*sin(7*w0*t)+(1/9)*sin(9*w0*t)+(1/11)*sin(11*w0*t)+(1/13)*sin(13*w0*t)+(1/15)*sin(15*w0*t)+(1/17)*sin(17*w0*t)+(1/19)*sin(19*w0*t)plot(t,Y)MATLAB程序：用谐波合成周期方波由收敛性可知，信号的中高次谐波分量很小，所以其对信号波形的影响很小，有时可以忽略。在一定的误差范围内，只考虑有限的频率分量：从0频率到所必须考虑的最高次谐波分量之间的频段称为信号的频带宽度。信号的频带宽度是一个重要的概念，这在信号处理中，在设计和选用测试装置时要充分注意。信号的频带指信号包含频率成份的范围。工程应用：离散性:周期信号的频谱图上的谱线是离散的。谐波性:周期信号的频谱图上的谱线只发生在基频ω0的整数倍频率上。收敛性:从总体上看，周期信号高次谐波的幅值具有随n的增加而呈衰减的趋势。周期信号频谱的特点：傅里叶级数的三角函数展开式：

欧拉公式:

傅里叶级数的复指数形式的推导：欧拉公式则那么令即由所以即2.傅里叶级数的复指数形式：欧拉公式:

n=0，±1，±2，±3….表示周期信号的复振幅，称为傅立叶系数

一般情况下是复数，可以写成式中：——复数的模；——复数的幅角。几个重要关系：把周期函数x(t)展开为傅立叶级数以后，作关系图:

CnR—ω0称为实频图CnI—ω0称为虚频图|Cn|—ω0称为双边幅频图，

n=-∞～+∞，nω=-∞～+∞，φn—ω0称为双边相频图例:画出正弦函数sinω0t的频谱图。

一般周期函数实频谱总是偶对称的，虚频谱总是奇对称的。

思考:画出余弦函数cosω0t的频谱图（参阅P30）。

例:求图示的周期性三角波的幅频谱。解：x(t)在一个周期中可表达为因x(-t)=x(t)，故x(t)是偶函数，其幅频谱（单边频谱）如图a）。若用复数形式表示，则根据周期三角波幅频谱的两种形式

单边频谱双边频谱可求得如图b）所示的幅频谱（双边频谱）比较两个频谱可发现不同之处在于：复指数形式是将三角形式的每条谱线取1/2到左边轴的对称点处，复指数形式频谱中的负频率完全是数学变换的结果，没有实际的物理意义，只有把正负频率项成对地合并起来，才是实际的频谱函数。在两种形式的傅立叶级数中，An和Cn、和都是频率的函数，称An和|Cn|为函数(信号)的幅频特性,

和为信号的相频特性。A0/2或|C0|表示信号的直流分量，An或者|2Cn|表示n次谐波的幅值,

和表示第n次谐波的相位，An和Cn.和相当于一个序列的通项.周期信号的频谱（三角形式和复指数形式的关系）若把An和Cn、和与频率的相应关系用坐标表示出来，则称之为信号的频谱.小结：非周期信号的频谱分析√把非周期信号：→周期T0→∞的周期信号√周期信号x(t),周期为T0，则其频谱是离散谱，而相邻谐波之间的频率间隔为Δω=ω0=2π/T0。√当T0→∞

，则ω0=Δω→0，→信号频谱谱线间隔Δω=ω0→0，无限缩小，→相邻谐波分量无限接近，→离散参数nω0可用连续变量ω来代替，→离散频谱变成了连续频谱，→求和运算可用积分运算来取得，√所以非周期信号的频谱是连续的。第三节瞬变非周期信号及其连续频谱一、瞬变非周期信号的谱密度与傅立叶变换其中：将代入上式式中，取整数0，±1，±3，…，因而各谐波频率只能取离散值；相邻谐波谱线间的频率增量上式可写成在数学上，，就意味着上式中，,

于是，将代入上式得傅里叶变换（FT）：

傅里叶反变换（IFT）：傅里叶变换对：一般的说，X(f)是个复数

幅值谱密度相位谱密度结论：X(ω)为单位频宽上的谐波幅值，具有“密度”的含义，故把X(ω)称为瞬态信号的“频谱密度函数”，或简称“频谱函数”。从另一个角度看：由得：①|X(ƒ)|为连续频谱，而|Cn|为离散频谱；②|Cn|的量纲和信号幅值的量纲一致，即cm(振幅)，而|X(ƒ)|的量纲相当于|Cn|/ƒ，为单位频宽上的幅值，即“频谱密度函数”，cm/Hz（振幅/频率）。周期和非周期信号幅值谱的区别

例：求图所示的单个矩形脉冲的频谱定义：1）以为周期并随的增加而做衰减振荡。函数是偶函数。(函数在傅里叶分析及线性时不变系统的研究中=±1,±2，±3，…)处其值为零。起着非常重要的作用。特点：2）3）二、傅里叶变换的主要性质(P35)1)线性叠加性：线性叠加性性质说明相加信号的频谱等于各个单独信号频谱之和。2)对称性：3)尺度变换性质：若则时域压缩（k>1）对应频域扩展，幅值降低；时域扩展(k<1)对应频域压缩，幅值增高。4)时移与频移性质：若则有，时移性质：频移性质：信号的时移不影响幅度谱，只在相位谱上叠加一个线性相位。频谱搬移时域信号乘上一个复指数信号后，频谱被搬移到复指数信号的频率处。利用欧拉公式，通过乘以正弦或余弦信号，可以达到频谱搬移的目的。调幅信号的频谱就是调制信号的频谱F(f)向左、右各搬移了载波频率f0。频分复用技术：在信号调制过程中，通常把若干个带限信号分别乘以不同的、预定义的载频信号，把频谱搬移到不同的频域范围（频道）内，从而使用同一信道同时传输多个不同信号且互不影响。5)卷积定理：(傅立叶变换性质中最重要的性质之一)卷积的定义：设两个函数x1(t)和x2(t),记x1(t)*x2(t)为x1(t)与x2(t)的卷积。若则1.两个函数在时域中的卷积，对应于频域中的乘积2.两个函数在时域中的乘积，对应于频域中的卷积

重要结论：三、几种典型信号的频谱1.矩形窗函数(单个矩形脉冲函数)及频谱1）一个在时域有限区间有值的信号，其频谱却延伸至无限频率。2）在时域中，若截取信号的一段记录长度，则相当于原信号和矩形窗函数乘积，根据傅里叶变换的频域卷积特性，所得信号的频谱将是原信号频谱函数和sinc函数的卷积，它将是连续的，频率无限延伸的频谱。3)主瓣宽度为2/τ，与时域窗宽度τ成反比。例：求被窗函数截断的余弦函数的频谱。解：被矩形窗函数截断的余弦函数可表示为或者可表示为令矩形窗函数为g(t)，则而矩形窗函数的频谱为利用傅立叶变换的频移性质可得结论：矩形窗函数的调幅信号的频谱是其调制信号的频谱之一半，并各向左、右平移ω0。2.单位脉冲函数(δ函数)及频谱1)δ函数的定义

脉冲

有向线段在工程上，常将δ函数用一个高度等于1的有向线段来表示。这个线段的高度表示δ函数的积分，亦称δ函数的强度。（注意：这里并非幅度值）。－－－用这种方法表示的函数称为单位脉冲函数。

2）δ函数的采样性质在工程上，利用单位脉冲函数的概念，可将采样过程看成是信号与单位脉冲函数的简单乘积。

3）δ函数与其它函数的卷积结论：任意函数和δ函数的卷积，就是简单地将该函数在自己的横轴上平移到δ函数所对应的位置。此结论对频域函数同样适用。信号的截取与频谱搬移（从δ函数的卷积特性看）4）δ函数的频谱重要：根据傅里叶变换的对称性、时移性和频移性等，可得到下列傅里叶变换对：

时域频域4.正(余)弦函数及频谱由于正(余)弦函数不满足绝对可积条件，因此不能直接应用傅里叶积分变换式，而需在傅里叶变换时引入δ函数。正、余弦函数及其频谱4.周期性单位脉冲序列及频谱若用傅里叶级数表示，则两端取傅里叶变换周期单位脉冲序列频谱

由性质：工程应用背景：用计算机进行信号分析时，首先要将连续的模拟信号x(t)变为一连串离散的时间序列，以数字量的形式存入一个个内存单元，然后进行各种计算。为了实现这一过程，可先用δn(t)与连续信号x(t)相乘。由δ函数的采样性质可知，相乘的结果便得到一离散的时间序列。周期性单位脉冲序列δn(t)在数学上具有采样功能，因此又称采样函数。相应地，Ts称采样间隔，也称采样周期，其倒数1/Ts=fs称采样频率。1）时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序列；2）若时域周期为Ts，则频域脉冲序列的周期为1/Ts；3）时域脉冲强度为1，频域中强度为1/Ts。结论：周期信号的傅立叶变换（补充）1）周期信号经傅立叶变换后为由脉冲信号构成的离散谱。2）在引入脉冲函数后，对周期信号和非周期信号的研究统一于傅立叶变换。频谱分析的应用频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析中最常用的一种手段。案例：在齿轮箱故障诊断通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定最大频率分量，然后根据机床转速和传动链，找出故障齿轮。案例：螺旋浆设计可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速，确定螺旋浆转速工作范围。第四节随机信号一、概述1．样本函数、样本记录和随机过程随机信号不能用确定的数学关系式来表达，如果要研究随机信号就要大量实地测量和记录信号波形，并对记录的信号采用概率和数理统计的方法获取随机信号的特征参数。样本函数：对随机信号进行多次长时间的观察记录，其中每次长时间的观察记录所获得的时间历程xi(t)(i=1,2,3…)，称为一个样本函数。样本记录：在有限时间区间（t1,t2）上的样本函数xi(t)(t1≤t≤t2)称为样本记录。随机过程：在试验条件不变时，所有样本函数的集合（总体）就是随机过程，记做｛x(t)｝表示：｛x(t)｝=｛x1(t),x2(t),…xi(t)｝随机过程与样本函数2．集合平均和时间平均集合平均：在计算随机过程的某个统计参数（如均值、方差、均方值、均方根值等）时，利用了随机过程｛x(t)｝中所有样本函数xi(t)(i=1,2,3…)在t1时刻的观察值进行运算再取其平均的方法称为集合平均。求某随机过程在t1时刻的均方值：求某随机过程在t1时刻的均值：N——观察次数时间平均：在计算随机过程的某个统计参数时，仅利用随机过程｛x(t)｝中第i个样本函数xi(t)（当观察时间T→∞时）的所有观察值进行运算再取其平均的方法称为时间平均。如：求某随机过程的均值：如：求某随机过程的均方值：3．随机过程的分类1）平稳随机过程和非平稳随机过程若某一随机过程的集合平均统计参数不随时间变化，则该随机过程称为平稳随机过程，反之称为非平稳随机过程。2）各态历经过程和非各态历经过程在平稳随机过程中，若某随机过程用集合平均得到的统计参数与任意单个样本用时间平均得到的统计参数相同，则称该平稳随机过程为各态历经过程，反之称为非各态历经过程。注意：各态历经随机过程一定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经随机过程。对于各态历经随机过程来讲，可以用一个样本函数来描述整个随机过程，用有限时间的样本记录来估计随机过程，大大简化了随机信号的测试和处理（减少观测次数、减少观察时间）。各态历经随机过程概念的工程意义：理解：1）在各态历经随机过程中，任意样本函数均包括了该随机过程的全部特征。故可通过对某个单个样本函数的分析得到该随机过程的全部特征信息，以单个样本函数的时间平均统计特征值代替集合平均统计特征值，从而减少了观测次数。2）在各态历经随机过程中，也满足了时间平均统计特征参数不随时间变化的条件，故可在某随机过程的单个样本函数中取一样本记录，用该样本记录的时间平均统计特征来描述整个随机过程。因此，在实际工作中减少对某随机过程的观察时间后，也可以获得该随机过程的特征信息。注：实际工作中的随机过程绝大多数具有各态历经性。二、随机信号的主要特征参数各态历经随机过程主要统计参数：1）均值、方差和均方值2）概率密度函数3）自相关函数4）功率谱密度函数说明：随机信号特征参数分析以有限样本记录获取参数，以样本参数作为随机信号特征参数的估计值。显然，这样做，必定带来误差。这类误差称为统计采样误差，其大小和样本记录的长度、样本记录的数目有关。1.均值、方差、均方值1）均值—各态历经随机过程的样本记录；

—样本记录时间。均值反映了随机信号的静态分量(直流分量)。估计值：

2）方差方差的大小反映了随机变量对均值的离散程度，即代表了信号的动态分量(交流分量)。其正平方根称为标准差。方差用以描述随机信号的动态分量估计值3）均方值它描述了随机信号的强度或平均功率。它的正平方根称为均方根值(或称有效值)。估计值均值、