概率论与数理统计极限定理课件

概率论与数理统计极限定理

从而有，Z=X+Y～N（0，2）.（2）如果Xi(i=1,2,…,n)为n个互相独立的随机变量，且Xi~N(μi，σi2)，则一般地（1）若X1~

，X2~N

，且X1、X2相互独立，则有X1+X2~N下页定理3（同分布中心极限定理）设随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立，服从相同分布，且有有限的数学期望和方差，即的分布函数Fn(x)满足：对任意的x，有E(Xk)=μ，D(Xk)=σ2，k=1,2,…则随机变量§5.2中心极限定理下页说明：（1）当n很大时，Yn近似地服从N（0，1），即（2）当n很大时，近似地服从N（n

μ，nσ2）即不论Xi具有怎样的分布，只要有有限的期望和方差，当n很大时，其和就近似地服从正态分布.下页例1．设样本X1，X2，…，X20相互独立，且都来自均匀分布U(0,1)，其中,E(Xi)=1/2,D(Xi)=1/12，令Y20=X1+X2+…+X20，求：P{Y20≤9.1}.解：P{Y20≤9.1}=n=20，μ=1/2,σ2=1/12下页定理4（棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理）设随机变量ηn服从参数为n,p的二项分布（n=1,2,…,0＜p＜1），则对于任意实数x恒有其中由独立同分布中心极限定理可得证:由于服从二项分布的随机变量和hn可视为n个相互独立的、服从同一参数p的（0-1）分布的随机变量X1，X2，…，Xn之和，下页例2．一批种子，其中良种占1/6，在其中任选6000粒，试问在这些种子中，良种所占的比例与1/6之差的绝对值小于1%的概率是多少？解：设X表示取6000粒种子中的良种粒数，则X~B(6000,1/6)注若X~B(n,p),则当n较大时，有下页例3.某出租车公司有500辆的士参加保险，在一年里的出事故的概

率为0.006，参加保险的的士每年交800元的保险费．若出事故，保

险公司最多赔偿50000元，试利用中心极限定理，计算保险公司一

年赚钱不小于200000元的概率．解：设X表示500辆的士中出事故的车辆数，则X～B(500,0.006)其中np=3,npq=2.982,保险公司一年赚钱不小于200000元的事件为{500×800≥500×800-50000X≥200000},即事件{0≤X≤4}可见，保险公司在一年里赚钱不小于200000元的概率为0.7781.下页

例4.在抽样检查某种产品的质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品．设产品的次品率为10﹪，问至少应抽查多少个产品进行检查，才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9？解:设应抽查n件产品,其中次品数为Y.记由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理，得要使

即

得

即至少要抽查147件产品才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9．下页作业：

92页

1,2,3,7，8

结束绪言：概率论与数理统计的关系概率论是数理统计的理论基础；数理统计是概率论的应用.数理统计概论

概率论是在（总体）X分布已知的情况下，研究X的性质及统计规律性．数理统计是在（总体）X分布未已知（或部分未知）的情况下，对总体Ｘ的分布作出推断和预测.数理统计的研究方法

通过从总体抽取部分个体（样本），通过对样本的研究，对总体作出推断或预测．是一种由部分推测整体的方法．第六章样本及抽样分布下页数理统计研究方法流程图：

数理统计以概率论为基础，研究如何搜集资料，并对统计资料进行整理和分析，对整体的某些性质作出推断．数理统计内容丰富，应用广泛．本书介绍了数理统计初步知识：参数估计；假设检验[；方差分析；回归分析].下页总体X样本统计量对总体X作出推断采集数据加工处理对统计量分析第六章样本及抽样分布§6.1随机样本与统计量一、总体、个体与样本总体：研究对象的全体称为总体（母体）.个体：组成总体的每个研究对象称为个体.总体分为有限总体和无限总体.数理统计的核心问题是由样本推断总体，即统计推断问题.

注：在研究中，往往关心每个个体的一个(或几个)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况.这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.某批灯泡的寿命该批灯泡寿命的全体就是总体下页或，总体：研究对象的某项数量指标的值的全体.由于个体的出现是随机的，所以总体是一个随机变量.用X表示.样本：从总体X中按一定的规则抽出的个体的全部称为样本,用X1，X2，…，Xn表示.样本容量：样本中所含个体的个数称为样本容量，用n表示.根据n的大小样本有大样本、小样本之分.为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程为“抽样”.从国产轿车中抽5辆进行耗油量试验,样本容量为5.下页

一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数(x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值.样本是随机变量.抽到哪5辆是随机的!容量为n的样本可以看作n维随机变量(X1,X2,…,Xn).下页2.简单随机抽样：要求抽取的样本满足下面两点由简单随机抽样抽得的样本X1,X2,…,Xn称为简单随机样本.（简称样本）.简单随机样本：显然，样本就是来自总体X的n个相互独立的且与总体同分布的随机变量X1,X2,…,Xn.可看成n维随机向量（X1,X2,…,Xn

）.简单随机抽样即为随机地独立地抽取，如：有放回抽样；无放回抽样当总体很大，样本容量较小时，认为是近似的简单随机抽样.2.独立性：X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.1.代表性：

X1,X2,…,Xn中每一个与总体X有相同的分布.下页设（X1,X2,…,Xn

）为来自总体X的简单随机样本.常用于估计总体分布的均值，或检验有关总体分布均值的假设.二、样本的数字特征2.样本方差：

用于估计总体分布的方差.式中的n－1称为S2的自由度（式中含有独立变量的个数），S称为样本标准差，又称为标准误.3.样本矩：K阶原点矩：K阶中心矩：1.样本均值:下页三、统计量统计量是样本的函数，也是随机变量，具有概率分布.把统计量的概率分布称为抽样分布.设X1，X2,…,Xn为来自总体X的一个样本,g(X1，X2,…,Xn)是一个不含任何未知参数的连续函数，称g(X1，X2,…,Xn)为统计量.下页§6.2抽样分布(几个重要分布)一、的分布设总体X的分布形式未知，E（X）=μ，D（X）=σ2，（X1,X2,…,Xn

）为X的一样本.则X1,X2,…,Xn独立同分布且

E(Xi)=μ，D(Xi)=σ2(i=1,2,…,n)若总体X~N(μ,σ2)，则若总体X~N(0,1)，则则特别，下页例1．设总体X~N（12，4），抽取一个样本（X1，X2，…，X5）．求（1）P{＞13}；（2）P{|-12|＞0.5}解：∵X~N（12，4），∴~N(12,4/5)（1）P{＞13}（2）P{|-12|＞0.5}=1-[Φ(0.56)-Φ(-0.56)]=2-2Φ(0.56)=0.5754下页的点Xα为N(0，1)分布的上100α百分位点.二、标准正态分布的百分位点P{X＞Xα}=α，xX1－αXααα0（1）称满足条件记－Xα=X1－α由于（2）称满足条件设X~N(0，1)，对给定的α(0＜α＜1）的点为N(0，1)分布的双侧100α百分位点.∵即∴下页x0X1-α/2Xα/2查正态分布表得：==1.96又如，α=0.05，则==，附：Xα的值的确定－查《标准正态分布表》法P{X＞X0.05}=0.05，即P{X＜X0.05}=0.95，查表得：X0.05=1.645P{X＞X0.01}=0.01，即P{X＜X0.01}=0.99，查表得：X0.01=2.33例如，下页三、

分布记作1.定义设X～N(0,1)，（X1，X2，…，Xn）为X

的一个样本,令则服从参数(自由度)为

n的分布.0f(y)n=1n=4n=10y2.

(n)分布的概率密度且E()=n,D()=2n～下页（1）若（X1，X2，…，Xn）是正态总体N(μ，σ2)的一个样本，和S2分别是样本均值和样本方差，则1°与S2相互独立；2°(2)若且它们相互独立，则3.

分布的性质下页的点为分布的双侧百分位点。4.分布的百分位点（1）称满足，即的点为分布的上100α百分位点。0f(y)αy（2）称满足0yf(y)对给定的α（0＜α＜1）例α=0.1，n=25，查分布表得：下页例2．设总体X~N(0,0.32),n=10,求解：∵X/0.3~N(0,1)∴下页四、t分布0f(t)n=5

n=3

t为服从自由度为n的t（Student）分布，记作t~t(n).2.t分布的概率密度为且1.定义设X~N(0,1)，Y~

(n)，且X与Y相互独立，则称随机变量E（T）=0，下页３.服从t分布的统计量证明：且与相互独立故定理1

设（ X1，X2，…，Xn）为正态总体N(μ，σ2)的一个样本，则下页定理2

设（X1，X2，…,Xn1）和（Y1，Y2，…,Yn2）分别是从总体N(μ1,σ2)和N(μ2,σ2)中所抽取的样本，它们相互独立，则与相互独立证明：因为所以又即，与相互独立，故于是下页1－αt0f(t)αt1－α(n)t0f(t)αtα(n)由对称性：t1-α(n)=-tα(n).4.t分布的百分位点设t~t(n)，对给定的α（0＜α＜1）（1）称满足条件P{t＞tα(n)}=α，即的点tα(n)为t分布的上100α百分位点.的点为t分布的双侧百分位点.（2）称满足例如，α=0.05,n=15，查《t分布表》得t

0.05(15)=1.7531，下页五、F分布2.F分布的概率密度

且U与V独立，则称随机变量为服从自由度为（m,n）的F分布，记作F~F（m,n）．1.定义设3.F分布的性质例如：查《F分布表》得F0.05(15,12)=2.62F0.95(15,12)=0f(y)αFα(m,n)y下页设F~F(m,n)，对给定的α（0＜α＜1）（1）称满足的点Fα(m,n)为F分布的上100α百分位点.0f(y)αFα(m,n)y即（2）称满足的点0f(y)y为F分布的双侧百分位点.与4.F分布的百分位点下页

定理3分别是这两个样本的且X与Y独立,X1,X2,…,是取自X的样本,取自Y的样本,分别是这两个样本的样本方差,均值，则有Y1,Y2,…,是样本下页设X:X1，X2，…，Xn1.2.若X~N（0，1），则小结下页Xi~N（μ，σ2）(1)(2)(3)3.若X~N（μ，σ2），下页1234则相互独立.