等比数列专题(有答案)百度文库

一、等比数列选择题1．已知数列，满足，，，，则使成立的最小正整数为（）A．5 B．7 C．9 D．112．已知是正项等比数列且，，成等差数列，则（）A． B． C． D．3．在等比数列中，，，则（）A．45 B．54 C．99 D．814．已知等比数列满足，则等于（）A． B． C． D．5．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为30，且，则（）A．2 B．4 C．8 D．166．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，则下列结论正确的是（）A． B．C．的最大值为 D．的最大值为7．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（）只蜜蜂.A．55989 B．46656 C．216 D．368．设数列的前n项和为，且，则（）A． B． C．3 D．79．已知等比数列的各项均为正数，公比为q，，，记的前n项积为，则下列选项错误的是（）A． B． C． D．10．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有，，．据此，可得正项等比数列中，（）A． B． C． D．11．题目文件丢失！12．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（）（参考数据：，）A．4 B．5 C．6 D．713．.在等比数列中，若，，则（）A．2 B．2或 C． D．14．设等比数列的前项和为，若，，则（）A．31 B．32 C．63 D．6415．设数列，下列判断一定正确的是（）A．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列B．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列C．若对任意正整数m，n，都有成立，则为等比数列D．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列16．数列满足，则该数列从第5项到第15项的和为（）A．2016 B．1528 C．1504 D．99217．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（）A．3盏 B．9盏 C．27盏 D．81盏18．已知等比数列中，，，，则（）A．2 B．3 C．4 D．519．等比数列中各项均为正数，是其前项和，且满足，，则＝（）A． B． C． D．20．已知等比数列的前5项积为32，，则的取值范围为（）A． B． C． D．二、多选题21．已知，，，依次成等比数列，且公比不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数的值是（）A． B． C． D．22．已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是（）A．为单调递增数列 B． C．，，成等比数列 D．23．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数若一台计算机有个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（）A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列24．已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前项和，则使得成立的的可能取值为（）A．25 B．26 C．27 D．2825．已知数列是是正项等比数列，且，则的值可能是（）A．2 B．4 C． D．26．已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（）A． B． C． D．27．设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（）A． B．C．的最大值为 D．的最大值为28．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（）A． B．C．的最大值为 D．的最大值为29．设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,并满足条件,,下列结论正确的是（）A．S2019<S2020 B．C．T2020是数列中的最大值 D．数列无最大值30．已知等比数列的公比为q，前n项和，设，记的前n项和为，则下列判断正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则31．已知数列满足，，则下列结论正确的有（）A．为等比数列B．的通项公式为C．为递增数列D．的前项和32．设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并且满足条件，，.则下列结论正确的是（）A． B． C．的最大值为 D．的最大值为33．已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（）A．数列是等差数列 B．数列是等比数列C．数列的通项公式为 D．34．已知等差数列的首项为1，公差，前n项和为，则下列结论成立的有()A．数列的前10项和为100B．若成等比数列，则C．若，则n的最小值为6D．若，则的最小值为35．对于数列，若存在数列满足（），则称数列是的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（）A．若数列是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B．若，则其“倒差数列”有最大值；C．若，则其“倒差数列”有最小值；D．若，则其“倒差数列”有最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题1．C【分析】令，由，可知数列是首项为1.8，公比为的等比数列，即，则，解不等式可得n的最小值.【详解】令，则所以数列是首项为1.8，公比为的等比数列，所以由，即，整理得由，，所以，即故选：C.【点睛】本题考查了等比数列及等比数列的通项公式，解题的关键是根据已知的数列递推关系式，利用等比数列的定义，得到数列为等比数列，考查了学生的分析问题能力能力与运算求解能力，属于中档题.2．D【分析】根据，，成等差数列可得，转化为关于和的方程，求出的值，将化简即可求解.【详解】因为是正项等比数列且，，成等差数列，所以，即，所以，解得：或（舍），，故选：D3．C【分析】利用等比数列的通项与基本性质，列方程求解即可【详解】设数列的公比为，因为，所以，所以.故选C4．C【分析】根据已知条件先计算出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前项和公式求解出的结果.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，故选：C.5．C【分析】根据等比数列的通项公式将化为用基本量来表示，解出，然后再由前4项和为30求出，再根据通项公式即可求出．【详解】设正数的等比数列的公比为，因为，所以，则，解得或（舍），所以，又等比数列的前4项和为30，所以，解得，∴．故选：C.6．B【分析】根据，，分，，讨论确定q的范围，然后再逐项判断.【详解】若，因为，所以，则与矛盾，若，因为，所以，则，与矛盾，所以，故B正确；因为，则，所以，故A错误；因为，，所以单调递增，故C错误；因为时，，时，，所以的最大值为，故D错误；故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过穷举法确定.7．B【分析】第天蜂巢中的蜜蜂数量为，则数列成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量．【详解】设第天蜂巢中的蜜蜂数量为，根据题意得数列成等比数列，它的首项为6，公比所以的通项公式：到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂．故选：．8．A【分析】先求出，再当时，由得，两式相减后化简得，，则，从而得数列为等比数列，进而求出，可求得的值【详解】解：当时，，得，当时，由得，两式相减得，即，所以，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，所以，故选：A9．D【分析】等比数列的各项均为正数，，，可得，因此，，．进而判断出结论．【详解】解：等比数列的各项均为正数，，，，，若，则一定有，不符合由题意得，，，故A、B正确．，，，故C正确，，故D错误，满足的最大正整数的值为12．故选：．10．C【分析】根据题意，由等比数列的通项公式，以及题中条件，即可求出结果.【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，所以正项等比数列中的可由首项和末项表示，因为，所以，所以.故选：C.11．无12．C【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前项和，列出不等式解之可得．【详解】第一次操作去掉的区间长度为；第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；…第次操作去掉个长度为的区间，长度和为，于是进行了次操作后，所有去掉的区间长度之和为，由题意，，即，即，解得：，又为整数，所以的最小值为.故选：C.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前项和等知识及估算能力，属于中档题.13．A【分析】由等比数列的性质可得，且与同号，从而可求出的值【详解】解：因为等比数列中，，，所以，因为，所以，所以，故选：A14．C【分析】根据等比数列前项和的性质列方程，解方程求得.【详解】因为为等比数列的前项和，所以，，成等比数列，所以，即，解得.故选：C15．C【分析】根据等比数列的定义和判定方法逐一判断.【详解】对于A，若，则，，则，即后一项与前一项的比不一定是常数，故A错误；对于B，当时，满足，但数列不为等比数列，故B错误；对于C，由可得，则，所以，故为公比为2的等比数列，故C正确；对于D，由可知，则，如1，2，6，12满足，但不是等比数列，故D错误.故选：C.【点睛】方法点睛：证明或判断等比数列的方法，（1）定义法：对于数列，若，则数列为等比数列；（2）等比中项法：对于数列，若，则数列为等比数列；（3）通项公式法：若（均是不为0的常数），则数列为等比数列；（4）特殊值法：若是选择题、填空题可以用特殊值法判断，特别注意的判断.16．C【分析】利用等比数列的求和公式进行分项求和，最后再求总和即可【详解】因为，所以，，，该数列从第5项到第15项的和为故选：C【点睛】解题关键在于利用等比数列的求和公式进行求解，属于基础题17．C【分析】根据题意，设塔的底层共有盏灯，分析可得每层灯的数目构成以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的前项和公式可得的值，即可得答案．【详解】根据题意，设塔的底层共有盏灯，则每层灯的数目构成以为首项，为公比的等比数列，则有，解可得：，所以中间一层共有灯盏.故选：C【点睛】思路点睛：要求中间一层的灯的数量，只需求等比数列的首项，根据等比数列的和求出数列的首项即可.18．B【分析】本题首先可设公比为，然后根据得出，再然后根据求出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果.【详解】设等比数列的公比为，则，即，因为，所以，则，即，解得，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查根据等比数列前项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.19．D【分析】根据等比数列的通项公式建立方程，求得数列的公比和首项，代入等比数列的求和公式可得选项.【详解】设等比数列的公比为.∵，∴，即.∴，∴或（舍去），∵，∴，∴，故选：D.20．C【分析】由等比数列性质求得，把表示为的函数，由函数单调性得取值范围．【详解】因为等比数列的前5项积为32，所以，解得，则，，易知函数在上单调递增，所以，故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的性质，解题关键是选定一个参数作为变量，把待求值的表示为变量的函数，然后由函数的性质求解．本题蝇利用等比数列性质求得，选为参数．二、多选题21．AB【分析】因为公比不为1，所以不能删去，，设等差数列的公差为，分类讨论，即可得到答案【详解】解：因为公比不为1，所以不能删去，，设等差数列的公差为，①若删去，则有，得，即，整理得，因为，所以，因为，所以解得，②若删去，则，得，即，整理得，因为，所以，因为，所以解得，综上或，故选：AB22．BD【分析】根据利用等比数列的性质建立关系求出，然后结合等比数列的求和公式，逐项判断选项可得答案．【详解】由，可得，则，当首项时，可得为单调递减数列，故错误；由，故正确；假设，，成等比数列，可得，即不成立，显然，，不成等比数列，故错误；由公比为的等比数列，可得，故正确；故选：．【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用求得，同时需要熟练掌握等比数列的求和公式.23．ABC【分析】设第分钟之内新感染的文件数为，前分钟内新感染的病毒文件数之和为，则，且，可得，即可判断四个选项的正误.【详解】设第分钟之内新感染的文件数为，前分钟内新感染的病毒文件数之和为，则，且，由可得，两式相减得：，所以，所以每分钟内新感染的病毒构成以为首项，为公比的等比数列，所以，在第3分钟内，该计算机新感染了个文件，故选项A正确；经过5分钟，该计算机共有个病毒文件，故选项B正确；10分钟后，计算机感染病毒的总数为，所以计算机处于瘫痪状态，故选项C正确；该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D不正确；故选：ABC【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第分钟之内新感染的文件数为与前分钟内新感染的病毒文件数之和为之间的递推关系为，从而求得.24．CD【分析】由题意得到数列的前项依次为，利用列举法，结合等差数列以及等比数列的求和公式，验证即可求解.【详解】由题意，数列的前项依次为，利用列举法，可得当时，的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，则数列的前25项分别为：，可得，，所以，不满足；当时，的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，则数列的前25项分别为：，可得，，所以，不满足；当时，的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，则数列的前25项分别为：，可得，，所以，满足；当时，的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，则数列的前25项分别为：，可得，，所以，满足，所以使得成立的的可能取值为.故选：CD.【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的前项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.25．ABD【分析】根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出的范围，即可得到所求．【详解】解：依题意，数列是是正项等比数列，，，，，因为，所以上式可化为，当且仅当，时等号成立．故选：．【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维能力．属于中档题．26．AD【分析】主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能是等比数列，在不为0时，根据等比数列的定义确定．【详解】时，，数列不一定是等比数列，时，，数列不一定是等比数列，由等比数列的定义知和都是等比数列．故选AD．【点睛】本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础．特别注意只要数列中有一项为0，则数列不可能是等比数列．27．AD【分析】根据题意，，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可.【详解】因为，，，所以，，所以，故A正确.，故B错误；因为，，所以数列为递减数列，所以无最大值，故C错误；又，，所以的最大值为，故D正确.故选：AD【点睛】本题考查了等比数列的性质、定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.28．ABD【分析】先分析公比取值范围，即可判断A，再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D.【详解】若，则与矛盾；若，则与矛盾；因此，所以A正确；，因此，即B正确；因为，所以单调递增，即的最大值不为，C错误；因为当时，，当时，，所以的最大值为，即D正确；故选：ABD【点睛】本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题.29．AB【分析】由已知确定和均不符合题意，只有，数列递减，从而确定,，从可判断各选项．【详解】当时，，不成立；当时，，不成立；故，且,，故，A正确；，故B正确；因为,，所以是数列中的最大值，C，D错误；故选：AB【点睛】本题考查等比数列的单调性，解题关键是确定,．30．BD【分析】先求得的取值范围，根据的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出和的大小关系.【详解】由于是等比数列，，所以，当时，，符合题意；当时，，即，上式等价于①或②.解②得.解①，由于可能是奇数，也可能是偶数，所以.综上所述，的取值范围是.，所以，所以，而，且.所以，当，或时，，即，故BD选项正确，C选项错误.当时，，即.当或时，，A选项错误.综上所述，正确的选项为BD.故选：BD【点睛】本小题主要考查等比数列的前项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.31．ABD【分析】由两边取倒数，可求出的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案.【详解】因为，所以，又，所以是以4为首项，2位公比的等比数列，即，故选项A、B正确.由的通项公式为知，为递减数列，选项C不正确.因为，所以的前项和.选项D正确，故选：ABD【点睛】本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前n项和，分组求和法，属于中档题.32．ABC【分析】由，，，可得，．由等比数列的定义即可