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文档简介

立体几何题中的探究性

问题主讲人：刘冬引言：立体几何中的探究性问题既能够考查我们的空间想象能力，又可以考查我们的意志力及探究的能力．探究是一种科学的精神，因此，也是命题的热点．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的．例一：在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,P是侧棱AA1上任意一点，不管P在侧棱上任何位置，是否总有BD⊥CP？说明你的理由；DCA

BB1A1C1D1P传统方法：分析：对于这个探索性问题我们着重点放在，无论P在什么位置都有CPBD,所以想到是否是去证明线面垂直问题，猜测CP面PAC,然后去证明。解：因为PA面ABCD所以直线PC在平面ABCD的射影为AC,又因为ACBD,所以无论点P在什么位置PCBD向量法：以DA,DC,DD1分别为X,Y,Z轴建立空间直角坐标系，设正四棱柱底面边长为a,侧棱长为b所以D(0,0,0)，B(a,a,o)P(a,o,z),C(0,a,0)

所以所以无论点P在什么位置DBPCDCA

BB1A1C1D1PZXY小结：从上面的例题所用的两种不同的方法，我们很容易知道假设用传统的几何证明的方法求这类探索性问题，需要猜测、寻找适合条件的点，然后证明，思维上造成困难，而用空间向量只要设出变量，就可利用向量运算解决很久以来的我们的难点和困惑。如图８－１，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，．CP=m〔１〕试确定m，使直线AP与平面BB1D1D所成角的正切值为；〔２〕在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论．ABCDA1B1C1D1PZYX以DA,DC,DD1为X,Y,Z轴建立空间直角坐标系D-XYZ那么A(1,0,0)B(1,1,0)P(0,1,m)C(0,1,0)D(0,0,0)B1(1,1,1)D1(0,0,1)所以又解得m=此时AP于平面BB1D1D的正切值为2〕如在A1C1存在这样的点Q，设Q(x,1-x,1)依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于D1QAP所以所以-X+(1+X)=0解得X=即Q为A1C1中点时，满足题设条件[规律小结]探究性问题一般具有一定的深度，需要深入分析题目的条件和所问，根据题目的特征，选用适当的解题方法．必要时，进行假设推理，或者反证推理，往往也是进行图形推理与代数推理的典型问题OSDCABQP课后练习,四棱锥S-ABCD的底面是边长为4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD内，且O到AB、AD的距离分别为2，1（1）求证：AB·SC是定值〔2

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