空间向量及其线性运算高二上数学人教A版2019选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何

通过“平面向量及其应用”的学习,我们知道，平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示,它们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系可以通过平面向量运算而得到,从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法解决.在“立体几何初步”中，我们用综合几何方法研究了空间几何体的结构特征以及空间点、直线、平面的位置关系.一个自然的想法是，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决立体几何问题.在本章,我们就来研究这些问题.

在本章学习中，我们要注意利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理及其坐标表示，在此过程中体会平面向量与空间向量的共性和差异;

在运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系的过程中，体会向量方法与综合几何方法的共性和差异,通过用向量方法解决数学问题和实际问题,感悟向量在研究几何问题中的作用.1.1空间向量及其运算一、探究新知

上图展示的是一个做滑翔伞运动的场景.

可以想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等．显然，这些力不在同一个平面内．联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢?

下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始.1.1.1空间向量及其线性运算一、空间向量的有关概念及表示在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量.空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.①空间向量可以用小写字母表示：

印刷用黑体a，书写用.

，，……abc1.空间向量(1)概念

空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示.(2)表示②空间向量也可以用有向线段表示：AB、OA、OB、OC.2.空间向量的长度或模右上图向量的模记为|

|或|

.AB|a一、空间向量的有关概念及表示3.零向量长度为0的向量叫做零向量,记作0当有向线段的起点A与终点B重合时，

=

.AB04.单位向量长度等于1个单位的向量叫做单位向量.5.相反向量

与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，记作-.6.共线向量或平行向量

如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量，都有∥0a

空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致.一、空间向量的有关概念及表示7.相等向量方向相同且模相等的向量叫做相等向量.

因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合.因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.如图二、空间向量的线性运算

数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它们的运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算，由此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算.

向量线性运算的结果，与向量起点的选择有关系吗?1.加法：2.减法：3.数乘：(1)当λ>0时，(2)当λ<0时，(1)当λ=0时，三、空间向量的线性运算律

空间向量的线性运算满足以下运算律(其中λ，μ∈R):

你能证明这些运算律吗?证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同?1.交换律：2.结合律：3.分配律：ab+=ba+ab(1)(+)c+=a+()b+c(2)λ(μ)=(λμ)aa(1)(λ+μ)=λ+μaaa(2)λ(+)=λ+λabab三、空间向量的线性运算律

可以发现，

.

另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到:有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.

一般地，对于三个不共面的向量

，以任意点O为起点，

为邻边作平行六面体，则

的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量.

如右图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，分别标出

,

表示的向量.从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗?一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系?

对任意两个空间向量

,如果

(λ∈R),

有什么位置关系?反过来，

有什么位置关系时，

?

对任意两个空间向量

、

(

≠

)，

的充要条件是：存在实数λ,使

=λ.ab0bba∥ab四、空间向量共线定理五、直线的方向向量

如右图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量

，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得a与向量

平行的非零向量称为直线l的方向向量.a

这样，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.六、共面向量

如果表示向量

的有向线段

所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量

平行于直线l.aa

平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.

如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量

平行于平面α.a

我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面也可能是不共面的.什么情况下三个空间向量共面呢?

对平面内任意两个不共线向量

,由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量

可以写成

,其中(x,y)是唯一确定的有序实数对，对两个不共线的空间向量

,

如果

,那么向量

与向量

有什么位置关系?反过来，向量

与向量

有什么位置关系时，

?

如果两个向量

不共线，那么向量

与向量

共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使

.七、典型例题例1如图，空间四边形ABCD中，向量

，若M为

BC的中点，G为ΔBCD的重心，试用

表示下列向量.

(1)(2)七、典型例题例2

如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O

作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取

点E、F、G、H，使

.

求证:E、F、G、H四点共面.八、课堂小结1.空间向量2.空间向量的长度或模3