经济数学（第三版） 课件 第5、6章 总成本和收益的计算、投入产出模型的建立

第五章

总成本和收益的计算目

录CONTENTS1总收入计算问题及解决方案2使用MathStudio讨论总量问题3进一步学习的数学知识:积分及其应用ProblemsandSolutionsofGeneral

IncomeUsingMathStudiotoDiscuss

Total

AmountProblemsFurthermathematicsknowledge:IntegralandItsApplication总收入计算问题及解决方案ProblemsandSolutionsofGeneral

Income1一、问题引入已知销售某产品x件的边际收入是

(元/件)且

x=0

时，总收入为0

元。求销售1000件时的总收入。设销量为x

时的总收入为R(x)

解引例原函数定义

则称函数F(x)为

f(x)在区间I上的一个原函数。

例如一、问题引入回到引例将代入上式得,即得

(元/件)函数r(x)的一个特定原函数C取不同值，得到函数r(x)的不同原函数全体原函数不定积分一、问题引入任意常数被积表达式积分号1.不定积分的定义函数

F(x)是

f(x)

的一个原函数，那么f(x)

的全体原函数F(x)+C称为

f(x)的不定积分，记为，即

二、不定积分与基本积分法被积函数积分变量例如二、不定积分与基本积分法2.基本积分公式二、不定积分与基本积分法例1求下列不定积分解二、不定积分与基本积分法3.不定积分的运算法则

线性性质微分和积分互为逆运算性质2

性质1性质3

性质4二、不定积分与基本积分法解原式例2求4.直接积分法二、不定积分与基本积分法注意：分项积分后，每个不定积分的结果都应有一个积分常数，但任意常数之和仍是任意常数，因此最后结果只要写一个任意常数即可.例3求解原式二、不定积分与基本积分法5.不定积分应用设F(t)：t月时的客户数

又已知F(0)=5000,所以C=5000所以F(16)=21960(户)注意:复杂的不定积分问题，我们可以借助软件求解

TeleCable网络视频公司估计其客户数以每月人的速率增长，其中t表示自开播以来的月数.且已知一开播就有5000位客户,求开播16个月后的客户数?例4解二、不定积分与基本积分法三、定积分下面橙色图形的面积如何求？1.引例1.曲边梯形的面积问题分析

曲边梯形的面积问题转化上述图形的面积可归结为下列两个图形的面积之差，即三、定积分1.曲边梯形的面积问题分析什么是曲边梯形？曲边梯形是由连续曲线与三条直线所围成的平面图形。

三、定积分STEP4取极限解决步骤STEP1分割

STEP2近似代替STEP3求和1.曲边梯形的面积三、定积分积分和被积表达式2.定积分的定义积分下限积分上限积分变量被积函数三、定积分0102定积分的值等于曲边梯形面积；定积分的值等于曲边梯形面积的负值.

3.定积分的几何意义三、定积分利用定积分的几何意义求画出图形解例5显然,阴影部分面积根据定积分的几何意义,有曲线

与直线

以及

轴所围成的图形如图所示.三、定积分四、牛顿-莱布尼茨公式

求销售第1001件到第2000件时所增加的收入.R(2000)－R(1000)

解引例牛顿-莱布尼茨公式

四、牛顿-莱布尼茨公式例6求定积分解例7计算解四、牛顿-莱布尼茨公式解例8已知

求

自

至的变化量.由变化量公式四、牛顿-莱布尼茨公式已知生产某产品q单位时的边际收入为R'(q)=100-2q(元/单位),并且假定在没有生产产品的时候,总收入为零.求生产40个单位产品时的总收入及平均收入,并求再生产20个单位时所增加的总收入.生产40个单位产品的总收入例9解元四、牛顿-莱布尼茨公式3.牛顿-莱布尼茨公式举例平均收入再增加生产20个产品，总收入增加的量可见,增加生产量,收入不一定会增加.如何安排生产,使得收入最大化,是值得重视的问题.元元使用MathStudio讨论总量问题UsingMathStudiotoDiscuss

Total

AmountProblems2一、使用MathStudio求积分继续讨论例

9,下面介绍例

9的MathStudio求解过程.第一步：打开MathStudio，单击【Catalog】，并选择Integrate函数，如图5-3所示.图5-3

选择定积分函数一、使用MathStudio求积分第二步：

Integrate函数中输入被积函数，变量，下限，上限，并单击【Solve】按钮，可得生产40个单位产品时的总收入为2400元，如图5-4所示

图5-4

生产40个单位产品时的总收入一、使用MathStudio求积分

第三步：在输入栏中输入“2400/40”可得每单位的平均收入为

60元.图5-5

每单位产品的平均收入一、使用MathStudio求积分第四步：如果再增加生产20个单位，即积分区间为[40,60]，在输入栏中输入“Intergate(100-2*x,x,40,60)”并单击【Solve】可得总收入增加量为0，如图5-6所示.图5-6

生产量增加时的总收入增加量一、使用MathStudio求积分例

10计算不定积分.第一步：打开MathStudio，向左滑动数字键盘，并单击不定积分符号，如图5-7所示.图5-7选择不定积分函数一、使用MathStudio求积分第二步：单击键盘上的sin和exp按钮输入被积函数和积分变量，并单击【Solve】按钮，如图5-8所示.图5-8

计算结果经计算可得二、总成本函数问题典型问题1

已知边际成本(美元/台)x

表示日生产量,C(0)=800

(美元/天)(1)C(x)

(1)求

C(x)解(2)求

C(300)

(3)求

C(300)－C(200)(2)

C(300)=0.0001·(300)3－0.06·(300)2+20·(300)+800=4100(美元)

C(x)=0.0001x3－0.06x2+20x+800.(1)求

C(x)(2)求

C(300)

(3)求

C(300)－C(200)典型问题1

已知边际成本(美元/台)x

表示日生产量,C(0)=800

(美元/天)二、总成本函数问题解=900(美元)三、总收益函数问题已知边际收入函数其中x是销售量典型问题2

(1)求R(x)

R(x)

（1）

(2)求出需求函数(销售数量和销售单价的关系)

故所求需求函数为

于是得

（2）

解四、需求与供给函数问题典型问题3

已知需求q是价格p的函数,边际需求函数

其中最大需求量是100，求q(p)

又因为q(0)=100

,所以

解五、资本现值的相关问题典型问题4

现对某企业给予一笔投资

A,经测算,该企业在

T年中可以按每年

a元的均匀收益率获得收入,若年利率为

r,试求:(1)该投资纯收入的贴现值;(2)收回该笔投资的时间是多长?借助MathStudio,求得解故投资所获得的纯收入的贴现值为(1)因收益率为a,年利率为r,故投资后的T年的总收入的现值为五、资本现值的相关问题(2)收回投资即总收入的现值等于投资.得由例如

若对某企业投资

A=800万元,年利率

r=5%,设在20年中的均匀收益率

a=200万元/年,则投资回收期为由此可知,该投资在20年内可得的纯利润约为1728.48万元,投资回收期约为4.46年.=20ln1.25≈4.46(年)进一步学习的数学知识：积分及其应用Furthermathematicsknowledge:IntegralandItsApplication3一、不定积分的积分法1.直接积分法.

利用积分基本公式和性质，同时结合一些技巧(如合并，去分母，加一个量减一个量，公式恒等变形等)求不定积分的方法叫做直接积分法.例10

求不定积分解例11

求不定积分解一、不定积分的积分法

2．换元积分法利用直接积分法可以求出一些简单的不定积分，但对于较复杂的积分，必须设法将它变形，使其成为能利用基本积分公式进行求解.下面介绍求不定积分的常用方法之一：换元积分法.定理5.2如果则其中是

x的任意一个可导函数．1.第一换元积分法(凑微分法）凑微分

第一换元积分法步骤一、不定积分的积分法例12

求不定积分解一、不定积分的积分法例13

求不定积分解一、不定积分的积分法例14

求不定积分解一、不定积分的积分法2.第二换元积分法第二类换元积分法与第一类换元积分法正好相反，后者用的是代换

，而前者则是

，变化的过程是一、不定积分的积分法例15

求不定积分解令则，一、不定积分的积分法例16

求不定积分解令则设函数与具有连续导数，由两个函数乘积的导数公式移项，得两边积分得即上述公式叫作分部积分公式.3.分部积分法一、不定积分的积分法一、不定积分的积分法例17

求不定积分解令一、不定积分的积分法例18

求不定积分解令二、定积分的积分法定积分的积分法其本质仍然是换元积分法和分部积分法.在这里我们可以简单地处理.第一步：求定积分所对应的不定积分;第二步：代入牛顿—莱布尼茨公式.例19

求定积分解因为二、定积分的积分法例20

求定积分解因为二、定积分的积分法三、微元法及其应用1.微元法(1)近似代替(2)取极限图5-4yfx)dx（1）由曲线y=f(x),y=g(x)与直线x=a,x=b所围成的平面图形的面积．三、微元法及其应用（2）由曲线与直线y=c,y=d,x=0所围成的平面图形的面积.三、微元法及其应用（3）由曲线且与直线y=c,y=d所围成的平面图形的面积.三、微元法及其应用例21

计算由抛物线,

所围成的面积.解由图5-7解方程组图5-7得两交点坐标为(0,0)和(1,1)．三、微元法及其应用一般地，求解面积问题的步骤为：(1)作草图，求曲线的交点，确定积分变量和积分限；(2)写出积分公式；(3)计算定积分．三、微元法及其应用三、微元法及其应用xoy解

例22

求由抛物线与所围成的面积.解xoy例23求椭圆的面积.令则当时，；当时三、微元法及其应用特别，当a=b=r时，得圆的面积公式：三、微元法及其应用长沙民政职业技术学院通识教育中心本章结束THANKS第六章

投入产出模型的建立目

录CONTENTS1总产值价值形成问题及解决方案ProblemsandSolutionsintheFormationofTotalOutputValue2使用EXCEL讨论投入产出问题UsingExceltoDiscussInput-outputProblems3进一步学习的数学知识：线性代数初步Furthermathematicsknowledge：LinearAlgebra总产值价值形成问题及解决方案ProblemsandSolutionsintheFormationofTotalOutputValue1一、问题引入试建立线性方程组来确定当工业、农业和服务业面临的最终需求分别为33、8和16万亿元时，各部门的总产出应该是多少？表6-1投入产出表(万亿元)1.总产值价值形成问题一、问题引入任何产品生产的技术过程都是一个投入产出过程，引例要求我们回答的就是分析系统各部门之间相互输入(投入)和输出(产出)的产品的数量关系。当我们考虑一个工业体系时，会发现每种工业都需要使用其它工业的“产出”作为自己的原材料，反过来，它所“产出”的产品又必然是某些别的工业的“投入”，从而构成了相互依赖的关系。那么，如何把各部门的投入来源和产出方向去向纵横交叉地编制成投入产出表？如何根据产出表的平衡关系，建立投入产出模型？如何借助投入产出表和投入产出模型进行各种经济分析？1.总产值价值形成问题一、问题引入2.总产值价值形成问题的数学模型平衡关系③每一个部门的总投入等于该部门的总产出。①从纵向看，中间投入+最初投入=总投入。②从横向看，中间使用+最终需求=总产出。一、问题引入2.总产值价值形成问题的数学模型直接消耗系数：计算每个部门总产出1元价值的产品时，相应各部门向该部门的直接输出所占的比例。表6-2直接消耗系数表你能解释其经济意义吗？一、问题引入2.总产值价值形成问题的数学模型表6-3计划投入产出表(万亿元)一、问题引入2.总产值价值形成问题的数学模型根据投入产出表行的平衡关系，有以下消耗平衡方程组：一、问题引入2.总产值价值形成问题的数学模型消耗平衡方程组最终需求分别为33、8和16时，三个部门的总产出应该为50、30和40。本章重点：解线性方程组(6.2)二、矩阵的概念线性方程组(6.2)的系数、右端常数按照原来的位置摆放，构成一个矩形数表：引例2不难发现，数表(6.3)决定了方程组(6.2)是否有解，以及如果有解，解是什么等问题.因而研究这个数表就很有必要.(6.3)二、矩阵的概念二、矩阵的概念几种特殊矩阵行矩阵列矩阵N阶方阵所有元素均为零的矩阵，记为Om×n零矩阵二、矩阵的概念单位矩阵几种特殊矩阵二、矩阵的概念定义：矩阵相等

如果都是m

n矩阵,并且它们的对应元素都相等,则称矩阵A和矩阵B相等,记作A=B.例1已知

且A=B,求a,b,c,d.解由矩阵相等的概念,有三、矩阵的运算1.矩阵的线性运算两个m

n矩阵对应的元素相加得到m

n矩阵,称为矩阵A与矩阵B的和,记作A+B.定义注：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算三、矩阵的运算1.矩阵的线性运算定义

以数k乘以矩阵的每一个元素所得的矩阵，称为数k与矩阵A的乘积，记作kA.三、矩阵的运算

例2已知解三、矩阵的运算解

2个产地与3个销地每吨的运费用矩阵表示为三、矩阵的运算三、矩阵的运算2.矩阵与矩阵的乘法定义矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素乘积之和作为一个新矩阵的第i行第j列的元素注意：⑴只有当左边矩阵A的列数等于右边矩阵B的行数时，矩阵A与B才能作乘法运算.⑵矩阵C的行数等于矩阵A的行数m，列数等于矩阵B的列数n

.三、矩阵的运算2.矩阵与矩阵的乘法例4已知求AB与BA．解三、矩阵的运算矩阵的乘积不满足交换律例4已知求AB与BA．三、矩阵的运算2.矩阵与矩阵的乘法矩阵的乘法满足以下规律：（其中k为常数）．注意两矩阵的乘法与两数的乘法有很大的差别.（1）结合律（2）分配律（3）数乘结合律三、矩阵的运算3.矩阵的转置定义

矩阵A的行列互换得到的矩阵称为A的转置矩阵。记作例5

已知矩阵，求解三、矩阵的运算3.矩阵的转置例6

已知,求解

(1)

首先计算于是，(2)(AB)T=BTAT三、矩阵的运算3.矩阵的转置矩阵的转置满足以下运算规律：三、矩阵的运算4.逆矩阵设A是一个n阶方阵,E是一个n阶单位矩阵.如果存在一个n阶方阵B,使AB=BA=E,则称B为A的逆矩阵,简称为A的逆阵,或A的逆．这时称A为可逆矩阵,简称可逆阵.定义例如三、矩阵的运算4.逆矩阵性质1如果方阵A可逆，则A的逆矩阵是惟一的．因此，矩阵A的逆矩阵常记作例如：性质2可逆矩阵A的逆矩阵满足注意：A的逆矩阵可通过EXCEL中的函数MINVERSE求得。四、投入产出方程组的矩阵表示1.线性方程组的有关概念系数矩阵右端常数四、投入产出方程组的矩阵表示1.线性方程组的有关概念系数矩阵右端常数增广矩阵四、投入产出方程组的矩阵表示2.投入产出方程组的矩阵表示直接消耗系数表和最终需求可表示如下表示每生产单位价值第j种产品所需直接消耗的第i种产品的价值。投入产出方程组可以表示为对应的解为称为里昂惕夫逆矩阵。四、投入产出方程组的矩阵表示2.投入产出方程组的矩阵表示求解一个投入产出方程组,通常有两种方法,即(1)逆矩阵法:

先求出里昂惕夫逆矩阵(I－A)-1,再利用式(6.7)求出X.(2)消元法:通过对方程组施以同解变换,逐步消元,从而求出X.第二节我们将讨论如何借助Excel软件实现逆矩阵法解线性方程组,其数学原理将在第三节讨论.下面先介绍求解线性方程组的消元法.五、消元法解线性方程组1.消元法解线性方程组

每一个方程两端同乘以10，将方程未知量的系数化为整数，得增广矩阵五、消元法解线性方程组交换第一个方程和第三个方程的位置，得第一个方程的－1倍加到第二个方程，第一个方程的8倍加到第三个方程五、消元法解线性方程组第二个方程的两端同除以8，得第二个方程的9倍加到第三个方程五、消元法解线性方程组线性方程组的同解变换：

交换某两个方程的位置；

用一个非零数乘某一个方程的两边；

将一个方程的倍数加到另一个方程.通常把过程①-⑥称为消元过程，矩阵⑥称为行阶梯形矩阵，与之对应的方程组⑥则称为行阶梯形方程组.五、消元法解线性方程组继续上述方程组，第三个方程两边同除以38，得第三个方程的1倍加到第二方程，第三个方程的－6倍加到第一个方程五、消元法解线性方程组第二个方程的1倍加到第一个方程第一个方程的两边同乘以(－1)至此，我们可以通过增广矩阵直接“读”出该线性方程组的解.五、消元法解线性方程组定义下面的三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：(1)交换矩阵的两行（列）；(2)用非零数k乘以矩阵的某行（列）；(3)把矩阵的某一行（列）乘以数k后加到另一行（列）．矩阵的初等行变换与初等列变换,统称为矩阵的初等变换．2.矩阵的初等变换五、消元法解线性方程组2.矩阵的初等变换例如：矩阵B依其形状的特征称为阶梯形矩阵，具体定义如下：五、消元法解线性方程组2.矩阵的初等变换一般地，称满足下列条件的矩阵为行阶梯形矩阵：⑴若有零行(元素全为零的行),则零行在矩阵的最下方；⑵非零行的第一个非零元素左边的零的个数随行标递增.矩阵B依其形状的特征称为阶梯形矩阵。五、消元法解线性方程组一般地，称满足下列条件的阶梯形矩阵为简化行阶梯形矩阵：⑴各非零行的首非零元都是1；⑵非零行的第一个非零元所在列的其余元素都是零。对上述矩阵B再作初等行变换矩阵C依其形状的特征称为简化行阶梯形矩阵。五、消元法解线性方程组例7

求解线性方程组解记矩阵称为线性方程组的增广矩阵五、消元法解线性方程组例7

求解线性方程组由简化行阶梯形矩阵可以得到原方程组的等价方程组为方程组有无穷多解，上式是所给方程组的一般解。使用EXCEL讨论投入产出问题UsingExceltoDiscussInput-outputProblems2一、

利用Excel求直接消耗系数矩阵典型问题1利用Excel求解第一节表6-1的直接消耗系数矩阵第一步：在H4栏输入“=C4/C$8”，得出直接消耗系数，即单位价值工业部门产品直接消耗0.2单位的工业部门自身产品。第二步：利用拖曳的方法将H5栏公式复制到H4至J6的范围，如图6-1所示。图6-1直接消耗系数矩阵A二、利用Excel解线性方程组典型问题2利用Excel求解投入产出方程组6.2第一步：在工作表的E2至G4区域建立一个单位矩阵I，在I2至I4区域依次输入33，8，16。第二步：计算I－A。在A6栏输入“=E2-B2”,利用拖曳的方法将A6栏公式复制A6至C8的区域，如图6-2所示。图6-2方程组的系数矩阵二、利用Excel解线性方程组第三步：计算

。选中E6至G8区域，输入公式“=MINVERSE(A6:C8)”,按下【Ctrl】+【Shift】+【Enter】组合键，如图6-3所示。图8-3昂惕夫逆矩阵二、利用Excel解线性方程组第四步：利用公式求方程组(2)的解。选中I6至I8区域，输入公式“=MMULT(E6:G8,I2:I4)”,按下【Ctrl】+【Shift】+【Enter】组合键，得方程组的解。图6-4线性方程组(2)的解三、煤电系统的投入产出模型现阶段各企业的总产出为多少？外部需求分别增加15万元、5万元和7万元，各企业又该如何安排生产？表6-4，投入产出表(万元)三、煤电系统的投入产出模型解决方案x1,x2,x3分别表示3个企业现阶段的总产出或三、煤电系统的投入产出模型利用EXCEL求解上述方程组，得即3个企业现阶段的总产出分别为105.16万元、51.58万元和54.87万元三、

煤电系统的投入产出模型外部需求分别增加15万元、5万元和7万元，记则相应地有或三、煤电系统的投入产出模型利用EXCEL求解上述方程组，得3个企业的总产出应分别增加27.09万元、12.16万元和16.57万元四、企业产销预测模型2021年计划三种产品的库存不变，销量分别比2009年增加30%、20%、40%。预测该企业的总产品、中间产品、外购产品的投入产出情况。表6-52019年投入产出表(万元)四、企业产销预测模型解决方案2021年三种产品的最终产出直接消耗系数矩阵x1,x2,x3分别表示三种产品的总产值四、企业产销预测模型下面讨论该企业2021年中间产品和外购产品的投入产出情况。以产品2为例，2021年的中间产品使用产品2总投入为3179.5万元单位价值产品2所消耗的产品1为0.1818元产品2所消耗的产品1价值为3179.5×0.1818=578万元。2021年外购产品的投入产出外购产品占总投入的比例系数分别为0.5003、0.2814和0.2804产品生产过程中的外购产品价值分别为1115.7万元、894.6万元和381.2万元四、企业产销预测模型2021年中间产品和外购产品的投入产出情况(汇总)结论：总产品、中间产品、外购产品以及其它投入会随着三种产品的销量增长而增长。进一步学习的数学知识线性代数初步Furthermathematicsknowledge：LinearAlgebra3一、二阶、三阶行列式的概念与性质在初等代数中，用加减消元法求解二元一次方程组可得