等腰三角形与勾股定理试题及答案1

年中考试题专题等腰三角形与勾股定理试题一、选择题1．图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是A．13B．26C【答案】C2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB【答案】A3．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．中间小正方形与大正方形面积的比是A．B．C．D．【答案】CBADBADCA．30°B．45°C．60° D．90°【答案】B5．如图，AB＝AC,BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD的度数是（）AFBCDEA． B． C．AFBCDE【答案】B6．如图，已知直线且则等于（）A．B．C．D．【答案】B7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（）A．30oB．40oC．45oD．36o【答案】D8．如图，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连结DE，则△BDE的周长是()A．7+B．10C．4+2D．12【答案】BADEBC9．如图，等腰ADEBCAB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（）A．13 B．14C．15 D．16【答案】A10.在等腰中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A．7 B．11 C．7或11 D．7或10【答案】C二、填空题1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为4cm，则其腰上的高为cm．【答案】2．如图1，在边长为1的等边△ABC中，中线AD与中线BE相交于点O，则OA长度为．【答案】3．如图2，已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…线段CA1，A1C1，，…，则CA1＝，BCBCA30°【答案】，．4．某楼梯的侧面视图如图4所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为．【答案】（2+2）米．5．已知等腰的周长为10，若设腰长为，则的取值范围是．【答案】2．5＜x＜5．ACDB6.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则ACDB【答案】或7．如图，等腰中，，是底边上的高，若，则cm．【答案】48．在中，为的中点，动点从点出发，以每秒1的速度沿的方向运动．设运动时间为，那么当秒时，过、两点的直线将的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．解析：本题考查等腰三角形中的动点问题，两种情况，①当点P在BA上时，BP＝t，AP＝12-t，2（t+3）＝12-t+12+3，解得t＝7；②当点P在AC上时，PC＝24-t，t+3＝2（24-t+3），解得t＝17，故填7或17。【关键词】等腰三角形的性质【答案】7或179、：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为．【关键词】勾股定理【答案】．10（等腰中，，是底边上的高，若，则cm．CACABS1S2【关键词】等腰三角形11、如图，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则+的值等于．FEFEBCDA【答案】12、等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则_____________．【答案】三、解答题6．（山东省临沂市）如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1km，B村到公路l的距离BD＝2km，B村在A村的南偏东方向上．（1）求出A，B两村之间的距离；（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．北北东BACDl解：（1）方法一：设与的交点为，根据题意可得．和都是等腰直角三角形．，．两村的距离为（km）．BBACDlNMOP（2）作图正确，痕迹清晰．作法：①分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于两点，作直线；②直线交于点，点即为所求． （7分）5．（2009白银市）如图13，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，求证：（1）；（2）．【关键词】全等三角形的判定、勾股定理【答案】27．证明:（1）∵，∴．即∵，∴△ACE≌△BCD（2）∵是等腰直角三角形，∴．∵△ACE≌△BCD，∴．∴．∴．由（1）知AE＝DB，1．（2009年浙江省绍兴市）如图，在中，，分别以为边作两个等腰直角三角形和，使．（1）求的度数；（2）求证：．【关键词】等腰三角形的性质【答案】（1）ΔABD是等腰直角三角形，，所以∠ABD＝45°,AB＝AC,所以∠ABC＝70°,所以∠CBD＝70°+45°＝115°．(2)AB＝AC,,AD＝AE,所以ΔBAD≌ΔCAE,所以BD＝CE．2．（2009年河南）如图所示，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系,并给出证明．【关键词】等腰三角形的性质与判定【答案】OE⊥AB．证明：在△BAC和△ABD中，AC＝BD，∠BAC＝∠ABD，AB＝BA．∴△BAC≌△ABD．∴∠OBA＝∠OAB,∴OA＝OB．又∵AE＝BE,∴OE⊥AB．3．（2009年新疆）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是，斜边长为和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图．（2）证明勾股定理．ccbacbacbacbacc【关键词】勾股定理的验证【答案】方法一解：（1）如图ababccccbbbaaaabc（2）证明：大正方形的面积表示为,大正方形的面积也可表示为,，，．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．方法二解：（1）如图（2）证明：大正方形的面积表示为：，又可以表示为：,，，．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．4．(2009年牡丹江市)有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．【关键词】勾股定理的应用【答案】在中，由勾股定理有：，扩充部分为扩充成等腰应分以下三种情况：①如图1，当时，可求,得的周长为32m．②如图2，当时，可求,由勾股定理得：,得的周长为③如图3，当为底时，设则由勾股定理得：,得的周长为AADCBADBCADBC图1图2图37．（2009年重庆）作图，请你在下图中作出一个以线段AB为一边的等边．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论）AAB19题图已知：求作：【关键词】等边三角形,尺规作图【答案】解：已知：线段．求作：等边．作图如下：（注：每段弧各1分，连接线段各1分）AABC【关键词】勾股定理、直角三角形性质、等腰三角形性质和全等三角形的判定方法DDCEBGAF8．(2009年湖州)若P为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．（1）若点为锐角的费马点，且，则的值为________；（2）如图，在锐角外侧作等边′连结′．求证：′过的费马点，且′＝．AACB【关键词】阅读理解题，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，综合题【答案】（1）2．（2）AACBPE证明：在上取点，使，连结，再在上截取，连结．，为正三角形，＝，为正三角形，＝，＝，′，．，，为的费马点，过的费马点，且＝+．9．（2009临沂）如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1km，B村到公路l的距离BD＝2km，B村在A村的南偏东方向上．（1）求出A，B两村之间的距离；（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．北北东BACDl【关键词】等腰直角三角形的性质，勾股定理，尺规作图【答案】解：（1）方法一：设与的交点为，根据题意可得．和都是等腰直角三角形．，．两村的距离为（km）．方法二：过点作直线的平行线交的延长线于．易证四边形是矩形，．在中，由，可得．（km）两村的距离为km．（2）作图正确，痕迹清晰．BBACDlNMOP作法：①分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于两点，作直线；②直线交于点，点即为所求．10．（2009年中山）如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使，（1）用尺规作图的方法，过点作，垂足是（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：．【关键词】等腰三角形，等边三角形【答案】解：（1）作图见下图，AACBDEM（2）是等边三角形，是的中点，平分（三线合一），．，．又，．又，，，．又，．11.（2009龙岩）阅读下列材料：正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．数学老师给小明同学出了一道题目：在图正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△ABC，使；小明同学的