高中必修课考点及题型解析(修改稿)

高中数学必修课考点及题型解析

一、数学必修1

考点一：集合间的运算：求交集（ACB）、并集（AUB）、补集（CUA）

题型1：用列举法表示的集合间的运算对于用列举法表示的集合间的运算，A

AB（交集）为A与B的相同元素组成的集合，AUB（并集）为A与B的所有元

素合在一起并把重复元素去掉一个所组成的集合，CUA（补集）为在全集U中把

A拥有的元素全部去掉剩下的元素所组成的集合。

例1、已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合A={1,3,5,7},集合B=例5,8},

求AAB,AUB,CUAo

解：AAB={1,3,5,7}n{2,5,8}={5}

AUB={1,3,5,7}U{2,5,8}={1,2,3,5,7,8）

CUA={2,4,6,8,9,10}

题型2：用描述法表示的集合间的运算（主要针对用不等式描述元素特征）

对于用描述法表示的集合间的运算，主要采用数形结合的方法，将集合用数轴或

文氏图表示出来（常选用数轴表示），再通过观察图形求相应运算。AAB（交集）

为图形中A与B重叠即共同拥有的部分表示的集合。AUB（并集）为图形中A

加上B所表示的集合。CUA（补集）为图形中表示全集U的部分中去除表示A剩

下的部分所表示的集合（若全集为R,则数轴表示时是整条数轴）注意表示数轴

是带有等于号的用实心点表示，没带等于号的用空心点表示。

例2、已知集合A={x|0<x<2},B={x|-Kx<3},求APB,AUB,CRA0

解：AnB={x!0<x<2}A{x|-Kx<3}={x!0<x<2}

蚊烂表示：：比SU分句在。个堂遂行？

AUB={xKXc<2；'u{x|"l<x<3}={xH。<3}

：^

■。次

考点二：求函数的定义域

求函数定义域的主要依据：

（1）分式的分母不为0;

（2）偶次方根的被开方数不小于0,0取0次方没有意义（即指数为。的累函数

底数不能为0）;

（3）对数函数的真数必须大于0；

（4）指数函数和对数函数的底数必须大于0且不等于1；

（5）当函数涉及实际问题时，还必须保证实际问题有意义。

(6)如果f(x)是由儿个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式

子都有意义的实数集合。(即求各集合的交集)

注意：函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式。

例1：已知函数/1(x)=7777+-,求函数的定义城。

x+2

x+3>0x>-3

解得：'

x+2=0x#—2

..•所给函数的定义域为｛x|x2-3且x*-2｝。

例2、求函数y=log。:(4-x)+(x-3)°的定义域。

解：一.'解得：卜，・•・所给函数的定义域为｛"'<4且x=3｝。

x-3=0x=3

例3、求函数1'=(X+例+log(TX的定义域。

fx+1>0fx>-1

x+1#1x#0

解：；!x-2>0解得：|x>2二所给函数的定义域为｛x|x>2且x#3｝。

x-20Ix*3

[x>0[x>0

例4、设一个矩形周长为80,其中一边长为X,求它的面积关于x的函数的解析式,

并写出定义域.

on_2r

解：由题意知，另一边长为Y—,且边长为正数，所以0<x<40-

2

on_2Y

所以s==—x=(40-x)x(0<x<40)

2

考点三：相同函数的判断

O1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对

应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个

函数相等(或为同一函数)

O2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变

量和函数值的字母无关。

例1、下列函数中哪个与函数尸X相等？

(1)>'=(Vx)2；(2)y=(yTJ);(3)y=y[^；(4)>>=—

X

解：函数y=x的定义域为R,对应关系为j=x；

(1)『=(4)2的定义域为{中>0},定义域不相同；

(2)J，=(V7■淀义域为R,化简后对应关系为J，=x,与尸X为同一函数;

(3)y=户定义域为R,化简后对应关系为y=|x|,对应关系不相同3

(4)产工定义域为{x时0},定义域不相同。

X

考点四：单调性证明及性质应用

1、定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量xl,x2,当xl<x2时，

都有f(xl)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数；

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量xl,x2,当xl<x2时，

都有f(xl)>f(x2),那么就说f(x)在区间D上是减函数。

2、性质

增函数：在单调区间内，对于任意xl〈x2,均有f(xl)<f(x2),且函数图象在此

区间内呈现上升趋势；

减函数：在单调区间内，对于任意xl〈x2,均有f(xl)>f(x2),且函数图象在此

区间内呈现下降趋势；

3、定义法证明单调性步骤

①在单调区间内任取xl,x2GD,且xl〈x2；(取值)

②作差f(xl)—f(x2)；

③变形(通常是因式分解和配方)；

④定号(即判断差f(xl)—f(x2)的正负)；

⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)

题型：利用函数单调性求变量取值范围

常见给出一个二次函数在某一区间上的单调性，并求变量的取值范围。此类题型

注意二次函数的对称轴必须落在所给单调区间的外面，再结合二次函数开口方向

即可求解。

3

例1、证明函数/=在〔3,5]上是减函数。

x+1

证明：设e[3,5],且X]<X：,则

33（x：-X。

—⑸）

X

X]+1X2+1（X]+1X2+1）

e[3,5],二X1+1>0,工1+1>0

v4<Z,二x2-Xj>0

/./（X]）-/（x：）>OJp/fxj）>/（x：）

3

因此，函数=—在[35]上是减函数。

x+1

例2、设函数/(x)=x'_(3a_l)x+/在区间(1,+8)上是增函数，求实数。的

取值范围。

解：...二次函数/(x)=x：_(3a_l)x+a：图象开口向上，

—一二-(3a-1)3a-1

对称轴为：x=----------------

22

二函数/1产)=*：_(34_1产+/在区间(37,兴0)上是增函数

又由题意知：函数〃x)=x：_(3a_l)x+a：在区间(1,+8)上是增函数

3a-1

.•.—7—41,解得：a«l，实数a的取值范围为(-8,1]

考点五：求函数最值：求函数最值一般结合函数单调性进行求解

例1、求函数)=(x-l)：-2,04x42的最大值与最小值。

解：•.•函数j=(x-lf-2为二次函数，图像开口向上，对称轴为户1

二函数在对称轴处取得最小值八1)=-2,又以0)=/⑵=7,故函数最大值为-1。

考点六：奇偶性判断及性质应用

1、女

偶醺如一般地，对于函数"X)的定义域内的任意一个X,都有/(_x)=/(X),

那么"X)就叫做偶出数.(学生活动)依照偶函数的定义给出奇函数的定义.

奇函数：一般地，对于函数"X)的定义域的任意一个X,都有/(_x)=-/(x),

那么/(X)就叫做奇函数.

2、性康

偶函数：r(-x)=/(X),图象关于了轴对称；

图象在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。

奇的数:/(-X)=-/(x),图象关于原点对称，/(0)=/(-0)=0;

图象在关于原点对称的两个区间上的单调性相同。

典型题：利用奇偶性性质求函数解析式

例1、困数/(X)是定义域为R的奇函数，当x>0时，/(x)=-x+l,求当x<0

时，/(X)的表达式。

解：令x<0,贝]l_x>o,/(_x)=_(_x)+l=x+1

V"X)是定义域为R的奇函数，:/(x)=-/(-X)

.•.当X<0时，/(X)=-/(-X)=-(X+1)=-X-lO

...当x<0时，“X)的表达式为：/(x)=-X-1

3、手蜥奇偶性步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定;•(-x)与/(x)的关系；

③作出相应结论：

若/(-X)=/(x)<f(-x)-/(X)=0,则“X)是偶函数；

若/(-X)=-/(xW(-x)+/(x)=0,则/(X)是奇函数

例2、判断下列困数的奇偶性

(1)/(x)=-Jx-2+-Jl-x(2)/(x)=(x+1+x-1

解：(D/(x)的定义域为{2},定义域不关于原点对称

因此函数“X)既不是奇函数，也不是偶函数

(2)"X)的定义域为R,定义域关于原点对称

又f(—X)=—X+1+—X—1=X—1+X+1=/(X)

/./(X)是偶函数

考点七：指数式、对数式运算

1、翊指数幕的运算性廉：

(1)a'•/=a—(a>o.r.seR)

⑵(a)'=a'(a>O,r,jeR)

<3)(劭)’=a'a'(a>0",seR)

2、对教的运算性质：如果a>0,且a*l,M>0,N>0,那么：

①log^(Af-N)=log3Af+log.N；

cM

©loga=logaM-log3N$

Ologa3/*=wlogaAf(»e7?).

考点A：指数型函数、对胭蹴、皋函数过定点问题

利用指数函数'对数函数、黑函数过定点求解：

指数函数，=1（“>0且a=1）图象过定点9D,即当x=0时，尸1（即八1）。

对数函数了=log.x（a>0且a*1）图象过定点（1。）,即当x=l时，尸（X即，密20）。

幕函数T=x"（a>0且a*1）图象过定点（1,1），即当。1时，产1（即八1）。

例：函数y=a*"+l（a>O.a*1）的图象必经过点。

解：由指数画数y=a"（a>0且a*1）过定点（0,D可知：

当x-2=0时，ax'2=l,则尸，1+1=1+1=2,

即当x=2时，产片?+1=2,

因此，函数），=广：+19>0«/1）的图象必经过点（2,2）。

考点九：指数不等式、对数不等式

借助指数函数、对数函数图象性质（尤其是单调性〉求解：

指数函数：若（Xavi：当x<0时，y>b当x>0时，（Ky<l»在定义域上减。

若a>l：当x<0时，0<y<l；当x>0时，y>l»在定义域上熠。

对数函数：若21：当0<x<l时，y>5当x>l时，yvO。在定义域上减。

若a>l：当（Xxvl时，y〈0;当x>l时，y>0。在定义域上增。

注意别忽略对数式对真数的限制：真数大于0o

例：解不等式log2（2x-1）<log式-x+5）.

解：•..对数式中真数大于0,.••、；"-I〉"解得9<X<5.

I-x+5>0,2

又函数1=log：X在（0,+8）上是增函数

二原不等式化为2x-1<-x+5,解得x<2.

二.原不等式的解集是｛x|1<x<2｝.

2

考点十：利用懒醴、对数醴单调性求变量取值范围

例：已知函数jra-iy在R上为减函数，求变量a的取值范围。

解：由函数尸（a+l）x在R上为减函数可知：（Xa*l<l解得：-130

因此，变量a的取值范围为｛3-130｝。

考点十一：零,点问题

1、方程与函数的关系：方程向=0有实数根=函数丁寸刈的图象与X轴有交点O

函数)=的有零点.

2、求函数零点(或方程的根)所在区间：

方法一：(代入法)对于选择题，可选用代入法，根据零点定理(丁=的是在区间

[%见上的连续函数，如果有的网〈。，贝ij：函数)=附在区间[%刃内有零点，方

程的=。在(%G内有实根。)确定零点所在区间。

例1：函数"x)=e*+x-2的零点所在的一个区间是()

A、(-2,-1)B、(-1,0)C、(0,1)D、(1,2)

【解析】代入法。•.•/(x)=e*+x-2,二/(0)=-l<0,/(l)=。-l>0,选C。

方法二：(图像法)若所给函数由基本初等函数组合而成(即G(x尸g(x)-f(x))，可将

函数对应的方程化成何=g”的形式，则零点所在区间就是这两个函数附与g为

图像交点所在区间。在坐标轴上画出两个函数的图形，找出图像交点所在区间即可。

如上面的例1中国数对应方程丁+x-2=0可化为e*=_x+2,在坐标轴上画出

函数)，=e*和j，=-x+2的图象，可发现两函数图象交点在区间(0,1)内。

3、求函数零点(方程的根)的个数或根据零点个数求变量取值范围。

求函数零点的个数即求对应方程的根的个数，也是函数图象与x轴的交点个数。

比较常见涉及的函数为二次函数。此类题型可用二次函数的图像或对应一元二次方

程的根的判别式△进行判断。

例2：函数j=x'-4x+4有个零点。

解：令X’-4x+4=0;△=(_4)：-4x4=0…方程x：-4x+4=0有一实根。

因此，国数>=X,-4x+4有_}_个零点。

例3：函数/(x)=ox：-x-1只有有一个零点，求。的取值范围。

解：(1)若a=0,则f(x)-x-l为一次函数，函数必有一个零点为-1;

(2)若好0,则函数/(x)=ax'-x-l是二次函数，由函数只有一个零点知：

1

A=l+4a=0,4=——

4

综上所述，当a=0和a=-1是函数只有一个零点。

4

数学必修2

2.1空间几何体

考点

1、空间儿何体的结构

⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、

圆台、球。

⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四

边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部

分，这样的多面体叫做棱台。

2、长方体的对角线长/2=a2+o2+c.2；正方体的对角线长/=总

A

3、球的体积公式：V7?3,球的表面积公式：5=4万R2

3

4、柱体V=s.〃，锥体V=Ls./i,锥体截面积比：&=工

3&h2

5、空间儿何体的表面积与体积

⑴圆柱侧面积;S侧面=2兀‘r,I

⑵圆锥侧面积：

题型：以选择题和填空题为主要考察形式，主要考察对概念的掌握，尤其注重

对三视图和表面积、体积的计算等知识点的考察。

例1：下列命题正确的是（）

A.棱柱的底面一定是平行四边形

B.棱锥的底面一定是三角形

C.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱

D.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥

例2：若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形

面积的（）

A万倍B4倍c2倍D及倍

例3：已知一个儿何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如下图所

示，则这个组合体的上、下两部分分别是（）

A.上部是一个圆锥，下部是一个圆柱

B.上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱

C.上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱

D.上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱

例4：一个体积为8c疗的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是

A.cm2Cl6^cm2-D.20^cm2

二、填空题

例1:若圆锥的表面积为。平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥

的底面的直径为.

例2：球的半径扩大为原来的2倍，它的体积扩大为原来的倍.

一个四面体的顶点在空间直角坐标系O—xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),

(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则

得到的正视图可以为().

考点：

1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面

内°

2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面

3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一

条过该点的公共直线。

4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.

5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等

或互补。

6、线线位置关系：平行、相交、异面。

7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。

8、面面位置关系：平行、相交。

9、线面平行：

⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平

面平行（简称线线平行，则线面平行）。

⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面

的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。

10、面面平行：

⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面

平行（简称线面平行，则面面平行）。

⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平

行（简称面面平行，则线线平行）。

11、线面垂直：

⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这

条直线和这个平面垂直。

⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此

平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。

⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。

12、面面垂直：

⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两

个平面互相垂直。

⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简

称线面垂直，则面面垂直）0

⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另

一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。

题型：

例1：一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比是1:2,则

此棱锥的高（自上而下）被分成两段长度之比为

A、1:V2B、1:4C、1:（V2+1）D、1:（V2-1）

例2：已知两个不同平面a、£及三条不同直线a、b、c,a_L尸，an，=c,a_L，，

alb,c与b不平行，则（）

A.且b与a相交B.bua息b"B

C.6与a相交D.A_La且与/不相交

例3：有四个命题：①平行于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一平面的两

条直线平行；③平行于同一直线的两个平面平行；④垂直于同一平面的两个平面

平行。其中正确的是（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

例4：在正方体ABC。-43cA中，E,尸分别是0c和CG的中点•求证:

例5：如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1

中，E、F为棱AD、AB的中点.

(1)求证:EF〃平面CB1D1；

(2)求证：平面CAA1C1JL平面CB1D1

(2013课标全国II,理4)已知m,n为异面直线，m

1.平面a,n_L平面B.直线1满足lJ_m,lln,

1Ua,1UB,则().

A.a〃B且1〃aB.a±

B且1_LB

C.a与B相交，且交线垂直于1D.a与B相交，且交线平行于1

(2013课标全国H,理18)如图，直三棱柱ABC—A1B1理中,D,E分别是AB,

—AB

BB1的中点，AA1=AC=CB=2

(1)证明：BC1〃平面A1CD；

(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.

(2014课标全国II,理⑻如图,四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形,

PA_L平面ABCD,E为PD的中点.

(I)证明：PB〃平面AEC；

（II）设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=^,求三棱锥E-ACD的体积.

（2014课标全国II,理11）直三棱柱ABC-A1B1C1中，ZBCA=90°,M,N分别是

A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,

则BM与AN所成的角的余弦值为（）

12^0V2

A.10B.5C.10D.K

2.3平面几何初步

考点：

1、倾斜角与斜率：k-tana=—~—

勺一再

2、直线方程：

⑴点斜式：丁一九二耳工-/)

⑵斜截式：y-kx+b

⑶两点式：匕互=上21

x-x}X2-X]

(4)截星巨式：-+^=1

ab

(5)一般式：Ax+By+C=0

3、对于直线：乙：y=k]X+4,/2：旷二3%+力2有:

⑵4和乙相交=攵产右；

⑶乙和/，重合2

也=%

—

(4)/11.120女]左2—1-

।丁.八、/,IA.X+BJV+C.=0,.

4、对于直线：，：：2+%+6=。有:

A5)=AB

⑴/J/4O2]

B]C2wB2cl

(2%和乙相交oA也HA?%

A[B?—ABj

⑶(和“重合u>«2

BXC2—B2cl

(4)/j1.l2=A】4+3]5)=0.

5、两点间距离公式：山4=J(X2—xJ+(乃—%)2

6、点到直线距离公式：dJA'+Byo+q

7、两平行线间的距离公式：

|C-CI

/)：Ax+By+G=0与A：Ax+By+=0平彳丁，贝d=J-

VA2+B2

题型：

例1：若过坐标原点的直线2的斜率为-6,则在直线/上的点是()

A(1,V3)B(V3,l)C(-73,1)D(1,-73)

例2：直线A:kx+(l—k)y—3=0和，2：伏一l)x+(2k+3)y—2=0

互相垂直，则左的值是()

A.-3B.0C.0或-3D.0或1

(2014课标全国II,理16)设点M若在圆0:》2+俨=1上存在点帅使

得zxxkN0MN=45°,则4的取值范围是.

(2013课标全国n,理12)已知点A(—1,0),B(l,0),C(0,1),直线y=ax+b(a

>0)将4ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是().

:”ai]

A.(0,1)B.I22JC.I23」

2.4圆与方程

考点：

1、圆的方程：

⑴标准方程:(iy+(…)2=/,其中圆心为伍⑼，半径为r.

⑵一•般方程：/++Dr+Ey+F=0.其中圆心为(-2,-与，半径为

22

r=-yjD2+E2-4F.

2

2、直线与圆的位置关系

2

直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-/>)2-r的位置关系有三种：

d>ro相离<=>A<0;

d=广。相切。A=0;

d<r<=>相交<=>A>0.

3、两圆位置关系：d=\O,O2\

⑴外离：d>R+r；(2)外切：d=R+r；

⑶相交：R-r<d<R+r；⑷内切：d=R-r；

(5)内含：d<R-r.

4、空间中两点间距离公式：|4.|=](尤2—X)+(乃一Ml+卜2々I」

题型：

例1：圆心在直线y=2x上，且与x轴相切与点(-1,0)的圆的标准方程是

例2：已知圆C:尤2+,2=4,

(1)过点(-1,百)的圆的切线方程为.

(2)过点(3,0)的圆的切线方程为.

(3)过点的圆的切线方程为.

(4)斜率为一1的圆的切线方程为.

例3：已知圆C经过A(3,2)、B(l,6)两点，且圆心在直线y=2x上。

(1)求圆C的方程；

(2)若直线L经过点P(—1,3)且与圆C相切，求直线L的方

程。

数学必修3

3.1算法初步

考点1：算法与程序框图

题型：通过选择题与填空题的形式，考察对算法的理解，主要考察对顺序结构

和循环结构的理解与运用。

（2013课标全国H,理6）执行下面的程序框图，如果输入的N=10,那么输出的

S=（）.

2013年图示

2014年图示

（2014课标全国II,理7）执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2,则输出的

S=（）

A.4B.5C.6D.7

08山东（14）执行右边的程序框图，若尸0.8,则输出的n=4

3.2统计

考点：1、简单的随见抽样

2、用样本的特征估计总体的特征

3、变量间的相关关系

例型

1.用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个容量为2的样本.问：

①总体中的某一个体。在第一次抽取时被抽到的概率是多少？

②个体。在第1次未被抽到，而第2次被抽到的概率是多少？

③在整个抽样过程中，个体。被抽到的概率是多少？

C11

分析：①总体中的某一个体。在第一次抽取时被抽到的概率是P=#=d;

C1c11

②个体。在第1次未被抽到，而第2次被抽到的概率是P=方l=-；

7o

③由于个体4在第一次被抽到与第2次被抽到是互斥事件，所以在整个抽样

111

过程中，个体0被抽到的概率是「=耳+耳=彳.

2.已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下

x45424648423558403950

y6.536.309.257.506.995.909.496.206.557.72

x（血球体积，mm）,y（血红球数，百万）

（1）画出上表的散点图；（2）求出回归直线并且画出图形.（3）回归直线必经过的

一点是哪一点？

⑵解:（1）见下图

y|

10.•

-----------•・•••

303540455055X

(2)又=看45+42+46+48+42+35+58+40+39+50)=45.50

y=*(6.53+6.30+9.52+7.50+6.99+5.90+9.49+6.20+6.55+8.72)=7.37

设回归直线为y=bx+a,

贝Ijtxiy,-nxy,b=-_a-=_064

a=-^----------------=0.176'

为x『-n-

i=l

所以所求回归直线的方程为9=0.176x-0.64,图形如下:

,87175-7x30x399.3

故可得到-7000-7x302

a=399.3-4.75x30。257

从而得回归直线方程是丫=4.75乂+257.(图形略).

3.写出下列各题的抽样过程.

(1)请从拥有500个分数的总体中用简单随机抽样方法抽取一个容量为30

的样本。

(2)某车间有189名职工，现在要按1：21的比例选派质量检查员，采用系

统抽样的方式进行。

(3)一个电视台在因特网上就观众对某一节目喜爱的测得进行得出，车间得出

的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下：

很喜爱喜爱一般不喜爱

2435456739261072

打算从中抽取60人进行详细调查，如何抽取？

解：(1)①将总体的500个分数从001开始编号，一直到500号；

②从随机数表第1页第0行第2至第4列的758号开始使用该表；

③抄录入样号码如下：335、044、386、446、027、420、045、094、382、

5215、342、148、407、349、322、027、002、323、14k052、177、001、456、

491、261、036、240、115、143、402

④按以上编号从总体至将相应的分数提取出来组成样本，抽样完毕.

(2)采取系统抽样.189+21=9,所以将189人分成9组，每组21人，在

每一组中随机抽取1人，这9人组成样本.

(3)采取分层抽样.总人数为12000人，12000+60=200,

2345=”…145人黑=22…⑹人，鬻=19…余126,嗤=5…余72人

200

所以从很喜爱的人中剔除145人，再抽取11人；从喜爱的人中剔除167人，再

抽取22人；从一般喜爱的人中剔除126人，再抽取19人；从不喜爱的人中剔除

72人，再抽取5人.三、概率

考点：4、概率的概念及意义

5、古典概型的概念及概率

6、几何概性的概念及概率

题型

1.有红，黄，白三种颜色，并各标有字母A,B,C,D,E的卡片15张，今随机

一次取出4张，求4张卡片标号不同，颜色齐全的概率.(12分)

解：基本事件总数为n=Au，

mC4c2A1

而符合题意的取法数m=C；C：A：=180,工=丽

2.10根签中有3根彩签，若甲先抽一签，然后由乙再抽一签，求下列事件的概

率：

(1)甲中彩；(2)甲、乙都中彩；(3)乙中彩(14分)

解：设人=｛甲中彩｝B=｛乙中彩｝C=｛甲、乙都中彩｝则。=人8

q321

(1)P(A)=—；(2)P(C)=P(AB)=-xX=—

1010915

——1733

(2)P(B)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=—+—x-=

To

3.从5双不同的鞋中任意取出4只，求下列事件的概率:

(1)所取的4只鞋中恰好有2只是成双的；

(2)所取的4只鞋中至少有2只是成双的.

解：基本事件总数是C：。=210.

(1)恰有两只成双的取法是C；C；C；C；=120.

•••所取的4只鞋中恰好有2只是成双的概率为4=-=-

X-/1nNU/

(2)事件“4只鞋中至少有2只是成双”包含的事件是“恰有2只成双”和

“4只恰成两双”，恰有两只成双的取法是C；C；C；C；=120,四只恰成两双

的取法是C：=10.

•••所取的4只鞋中至少有2只是成双的概率为

+C；_130_13

Cjo-210-21

4.为了了解参加某种知识竞赛的1003名学生的成绩，请用系统抽样抽取一个容

量为50的样本.

解：⑴随机地将这1003个个体编号为1,2,3,1003.

⑵利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体（可利用随机数表），剩下

的个体数1000能被样本容量50整除，然后再按系统抽样的方法进行.

说明：总体中的每个个体被剔除的概率相等（二一），也就是每个个体不被剔

1003

除的概率相等温.采用系统抽样时每个个体被抽取的概率都是荒，所以在

整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍然相等，都是黑氤部

考点7：数据抽样和分析——频率分布直方图的制作与分析

考点8：总体的数字特征

（2014课标全国II,理19）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单

位：千元）的数据如下表：

年份2007200820092010201120122013

年份代号t1234567

人均纯收入

2.93.33.64.44.85.25.9

y

（I）求y关于t的线性回归方程；

（II）利用（I）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人

均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

b=N---------

（■=',a=y-bT

考点9：离散性随机变量及其分布列

题型

（2013课标全国II,理19）（本小题满分12分）经销商经销某种农产品，在一个销

售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300

元.根据历史资料•，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经

销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X（单位：t,100WXW150）表

示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该

农产品的利润.

（D将T表示为X的函数;

(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；

(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需

求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量Xe

[100,110),则取X=105,且X=105的概率等频率/组距

于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学0.030

期望.0.025

0.020

0.015

0.010

100110120130140150需求量/t

数学必修4

4.1三角函数

考点：1.三角函数的概念和性质(单调性，周期性，奇偶性，最值)

2.三角函数的图象

3.三角恒等变换(主要是求值)

4.三角函数模型的应用

5.正余弦定理及其应用

6.平面向量的基本问题及其应用.

题型1三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是

利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题.

例1若x是三角形的最小内角，贝ij函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值

是()

A.-1B.V2C.--+V2D.-+V2

22

分析：三角形的最小内角是不大于。的，而(sinx+cosx)，=l+2sinxcosx,

换元解决.

解析：由0<x«工，=sinx+cosx=V2sin(x+—),1^—<X+—<—K,得

344412

l<f<V2.

又产=l+2sinxcosx,得sinxcosx=----,

得y=/+0」(f+l)2_l,有］+0<”挺+(扬:I=0+L选择答案

'2222

D.

点评：涉及到sinx±cosx与sinxcosx的问题时，通常用换元解决.

解法二：y=sinx+cosx+sinxcosx-V2sin|x+—|+—sin2x>

I4j2

当了=?时，%=&+；，选D。

例2.已知函数/(x)=2asinxcosx+2bcos2x.,且/(0)=8,/弓)=12.

(1)求实数4,匕的值；(2)求函数/(X)的最大值及取得最大值时X的值.

分析：待定系数求。，b;然后用倍角公式和降鼎公式转化问题.

解析：函数/(x)可化为f(x)=asin2x+bcos2x+b.

(1)由/(0)=8,/(巳)=12可得/(0)=2匕=8,f(-)^—a+-b^\2,所

6622

以6=4,a=4#.

(2)/(x)=4\/Jsin2x+4cos2x+4=8sin(2x+M)+4,

6

故当2x+£=2攵乃+即x=人万+看(女eZ)时，函数/(x)取得最大值为12.

点评：结论asin6+/?cos6=Jo：+b?sin(6+0)是三角函数中的一个重要公

式，它在解决三角函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的

证明中有着广泛应用，是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽

带，是三角函数部分高考命题的重点内容.

题型2三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质,

一直是高考所重点考查的问题之一.

例3.(2009年福建省理科数学高考样卷第8题)为得到函数y=cos(2x+W

的图象，只需将函数y=sin2x的图象

A.向左平移三个长度单位B.向右平移三个长度单位

C.向左平移？个长度单位D.向右平移？个长度单位

66

分析：先统--函数名称，在根据平移的法则解决.

解析：函数

y=cos(2x+；)=sin(2x+q+5)=sin(2x+K)=5亩2(^+碧)，故要将函数

y=sin2x的图象向左平移三个长度单位，选择答案A.

例4函数y=tanx+sinx-'anx-sinx|在区间(5,£)内的图象是

分析：分段去绝对值后，结合选择支分析判断.

2tanx,当tanxvsin耐

解析：®y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=<

2sinx,当tanx2sinx时

择支和一些特殊点，选择答案D.

点评：本题综合考察三角函数的图象和性质，当不注意正切函数的定义域或

是函数分段不准确时，就会解错这个题目.

题型3用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换

公式解决.

例5（2008高考山东卷理5）已知cos（a-弓）+sina,则sin（a+誓）

的值是

A2百口2百„4n4

5555

分析：所求的sin[a+?J=sin(a+V),将已知条件分拆整合后解决.

解析：

「(.4G3.也4月.(吟4

C•cosa---+sina------—sinaH----