复数（解析版）-2022年新高考数学模拟题分项汇编（第一期）

专题03复数

1.（2021•北京高三二模）在复平面内，复数z=（l-i）2+l对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】化简复数，写出坐标形式，从而判断其在复平面内所处象限.

【解析】2=（1-/）2+1=1—2"其对应的坐标为（1,一2）,在第四象限.

故选：D.

2.（2021.福建泉州市高三二模）已知复数z=l+i（a+砌，其中若z为纯虚数，则（）

A.a^O,b=-iB.tz=0,/?=-1

C.aW0,力=1D.a=O,h=l

【答案】C

【分析】首先利用复数的乘法运算化简，之后根据纯虚数的定义列方程，解方程即可求得结果.

【解析】z=l+i（a+Z?i）=l+ai+〃i2=1+5一人=（1一〃）+加,

A-h=0｝工0

•・•z为纯虚数,

。w0\b=i

故选：C.

i+z

3.（2021.湖北武汉市高三模拟）若复数z满足——=i+2,则z在复平面内对应的点位于（）

z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】求出z=L+'i,即得解.

22

【解析】由题得i+z=zi+2z,.-.za+i）=i,;.z=」一,

1+z

z(l-l)z+111.

所以z=--------------=-------1—I,

(l+z)(l-z)222

复数z对应的点为&，!）,在第一象限.

22

故选：A

4.（2021・湖南长沙市高三模拟）若2=----.则2=（）

i

A.2+zB.2—iC.—2+iD.—2—i

【答案】D

【分析】根据复数的除法法则计算.

…尤、l-2z（l-2z）z2+i-.

!

【解析】z=-----=-_v--=——=-2-i.

ii2-1

故选：D.

5.（2021.山东济宁市高三二模）已知（2—i>z=i,i为虚数单位，则|z|=（）

A.1B.1C.2D.石

【答案】A

【分析】利用复数的除法化简复数z,利用复数的模长公式可求得忖.

【解析】•••（2r>z=',所以，z=E2_j）（2+j）m，，

故选：A.

6.（2021♦辽宁高三二模）已知复数2=（1-2fH（i为虚数单位），则目=（）

A.#）B.2C.百D.1

【答案】A

【分析】利用复数的乘法化简复数z,利用复数的模长公式可求得结果.

【解析】•.•z=（l-2i>i=2+i,因此，|z|=V22+l2=V5.

故选：A.

7.（2021•辽宁高三模拟）数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Km〃eMer,1823-1891）

说“上帝创造了整数，其余都是人做的工作”，复数是由数学家在数系中规定了虚数『=_1而得到.若复数z

满足Z（2f）=4+3i,则z=（）

A.2+iB.2-zC.l+2zD.l-2z

【答案】C

【分析】根据复数的除法的运算法则进行计算即可.

【解析】由z(2-i)=4+3f=E=(4+3i)(2+i)8+4Z+6/-3

=1+万

(2-/)(2+z)5

故选：C

3+4;

8.(2021•辽宁高三模拟)----=()

2+i

A.—24-iB.2—，C.2+iD.—2—i

【答案】C

3+4z

【分析】利用复数的除法，求一7即可.

2+i

3+42(3+4/)(2-z)10+5/-.

【解析】----=-----------=------=2+,

2+i(2+0(2-/)5

故选：C.

9.（2021.北京高三二模）若复数z=，+x-2）+（x-1»（,•为虚数单位）为纯虚数，则实数x的值为（）

A.1B.2C.-2D.1或—2

【答案】C

【分析】根据纯虚数的定义求解即可.

【解析】因为复数Z=（X2+X-2）+（x-l）z（i为虚数单位）为纯虚数，

X2+x-2=0

所以\,

x—1工0

解得x=—2,

故选：c

2

10.（2021•福建福州市高三二模）已知Z为复数,z+l=0,则|Z-1|等于（）

A.0B.1C.72D.2

【答案】C

【分析】由z=±i,再由求模长公式求解即可.

【解析】由z2+l=0,得z=±i,

所以|z-11=|±i—l1=7(±1)2+(-1)2=V2，

故选：c.

11.（2021•广东江门市高三一模）欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数e、虚数单位

i、三角函数cos。和sin。联系在一起，得到公式e'"=cose+isine，这个公式被誉为“数学的天桥”，根

据该公式，可得（）

A.0B.1C.-1D.i

【答案】C

【分析】直接利用新定义，推出结果即可.

【解析】根据该公式，可得e'"=cos乃+isin万=—1，

故选：C.

1—严2i

12.（2021•河北石家庄市高三二模）已知i为虚数单位，复数z=——,贝i]z的虚部为（）

1-z2018

11.11.

A.-B.---1C.---D.-I

2222

【答案】c

【分析】根据复数乘方及除法运算进行化简，进而得到其虚部.

【解析】Vi4=1,

.1一严211-/11.

,,z=---------=------=--------1,

1_型222

z的虚部为---，

2

故选：C

13.（2021•河北张家口市高三三模）若复数z满足上=2二L,则在复平面内彳对应的点位于（）

z5

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】先求出z,W,再判断彳对应的点的位置.

5z(2-z)

【解析】由已知得z==y=1+2/,所以5=1—2i,所以在复平面内已对应的点位于第

(2+0(2-/)

四象限.

故选：D.

14.(2021.河北唐山市高三三模)已知i是虚数单位，aeR,若复数”为纯虚数，则。=()

1-2/

11

A.-2B.2C.——D.—

22

【答案】A

【分析】根据复数的四则运算化简得到复数的基本形式，在根据复数为纯虚数，即可求解。的值.

(6f-z)(14-2z)_a—i+2ai+2

【解析】由题意匚^(l-2z)(l+2z)~1+4

(a+2)+(2a—l)ia+22a—1.

=--------------=-----1------z,

555

^^=0

n—i5

又由建为纯虚数，所以,，解得a=—2.

1-2/2a-\八

-----W0

I5

故选：A.

15.(2021•湖北黄冈市•黄冈中学高三三模)己知复数z满足z2+4i=O,则lz|=()

A.4B.2C.V2D.1

【答案】B

【分析】设复数z的代数形式，求出z即可得解.

【解析】设z=a+6(a,。GR),则z2+4i=(a+bi)2+4i^a2-b2+(lab+4)i=0,

所以“2=人2[[ab=—2,即a=>/2,h——>/2或a=—\[2,b—V2,

Iz|=\!a2+b2=2-

故选：B

16.(2021•江苏盐城市高三三模)若复数z满足|z-z]42,则技的最大值为()

A.1B.2C.4D.9

【答案】D

【分析】由于方=，，ZN的最大值即复数Z对应的点到原点距离的平方的最大值.

【解析】设2=。+阮(a,8eR),

则zz=(a+bi)(a-bi)=a"+b2,

zz的最大值即复数z对应的点到原点距离的平方的最大值，

又复数Z满足|z-i区2,

二复数z对应的点在以(0,1)为圆心，2为半径的圆的内部(包括边界)，

二国的最大值为3,

二zf的最大值为9.

故选：D

3

17.(2021•山东泰安市高三模拟)已知z=2飞上则Iz|=()

A.1B.&C.2D.75

【答案】A

【分析】根据复数的四则运算化简复数，再根据复数的模长计算公式求解即可.

【解析】因为z=_3__=3(2+石0.J+在「

2-V5i933

故选：A.

18.(2021•山东高三二模)已知复数z满足区1,则目的最小值为()

A.1B.V2-1C.y/2D.6+1

【答案】B

【分析】令2=》+何，根据复数的几何意义知l(x-l)2+(y-l)2wl,要使目的最小值，即圆

(X—1)2+(y—1)2=1上动点到原点的距离最小，即可求|z|.

【解析】令2=%+^,则由题意有(无一1尸+()一1尸41,

|z|的最小值即为圆（x-1）2+-1）2=1上的动点到原点的最小距离,

.」z|的最小值为&-1.

故选：B.

19.（2021•山东高三模拟）复数z=一」的虚部是（）

1+z

A.1B.iC.-1D.2

【答案】A

【分析】利用除法运算公式化简复数，再求其虚部.

整=y^=竿=2+＞虚部是L

【解析】Z:

1+z(l+z)(l-z)22

故选：A

20.（2021•辽宁高三模拟）己知（i—l）z=i,复数z的共轨复数彳在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算和共朝复数的概念可得选项.

【解析】「=占=管1...11.

—Z,..Z=—I---1

2222

I11]

复数z的共轨复数2在复平面内对应的点是不，不，在第一象限.

故选：A.

21.（2021•沈阳市・辽宁实验中学高三模拟）设复数z满足|z—l|=|z+4，z在复平面上对应的点为则点

P不可能在（）

A.二、四象限B.一、三象限C.实轴D.虚轴

【答案】B

【分析】设复数z=a+沅，根据题意及求模公式，可得。=-）,分析即可得z在复平面上对应的点为P所

在象限，即可得答案.

【解析】设复数z=a+4,由题意得：|。-1+网=|a+S+l）i|,

所以J（a—1）2+/=旧+3+1）2,整理可得：a=-b,

所以当a>0时，b<0,此时z在复平面上对应的点为P位于第四象限，

当“<0时，。>0,此时z在复平面上对应的点为「位于第二象限，

所以点P不可能在一、三象限.

故选：B

22.（2021•辽宁沈阳市高三三模）虚数单位i的平方根是（）

A.-1B.—也—乌C.也+gD.克+乌或一克—乌

22222222

【答案】D

【分析】设平方根为。+4（a,beR）,然后由平方根定义列式，由复数相等的定义计算.

【解析】设i的平方根为。+初（a,"eR）,则（a+万）2=/一62+2。质=晨

60

ci----__ci―--/-7-—____

a'—h"=02「2

所以，,解得或<

\2cih=\

b=---b=----

[22

所以i的平方根为巫+巫/或—也-亚i.

2222

故选：D.

23.（2021•辽宁丹东市高三二模）在复平面内，。为坐标原点，复数z,z+1对应的点都在单位圆。上,

则z的实部为（）

11

A&RrD百

A.---D.C・-D.

2222

【答案】B

【分析】设2="+初利用Z,Z+1对应的点都在单位圆。上，建立方程组，解出“、6即可.

【解析】设2=4+初则z+l=a+l+初，由题意可得：|z|=l,|z+l|=l,

即/+〃=]5+1）2+〃=]解得：a=—L,b=土®,所以z的实部为

''222

故选：B

24.（2021・湖南高三三模）设复数卬Z2满足ZI+Z2=0,贝U（）

A.Z]=Z2B.匕|="|

C.若虱27）=3+"则中2=-2，D.若z「+=则14卜2区3

【答案】BCD

【分析】由待定系数法先假设马=。+初，则Z2=-a-初，根据共朝复数的概念判断A选项，根据模长的

公式判断B选项，根据复数的运算法则判断C选项，根据复数的几何意义判断D选项.

【解析】设复数Z]=。+6，由Z]+Z2=。，所以Z2=-a—4，

因此：z1=a-bi^z2,故A选项错误；

22222

因为㈤=yla+h,\z2\=yl（-ay+（-b）=yja+b，所以B选项正确；

因为z/2）=3+i,所以4=2=1+八则z2=—1—i

2—i

所以2仔2=（1+，）（一1一，）=—2/，所以C选项正确；

因为t1一（1+百|）卜1,

根据复数的几何意义可知，复数4=。+方所表示的点g,b）的轨迹是以（1,若）为圆心，1为半径的圆，

则由对称性可知，复数Z2=-a-4所表示的点（-%-6）的轨迹是以（-1,-6）为圆心，1为半径的圆，

由同的几何意义表示点（一。,一份与（0,0）间的距离，山图可知：1<区区3,故D选项正确；

故选：BCD.

25.（2021•江苏高三二模）设复数z=a+4,QGR力GR（i为虚数单位），则下列说法正确的是（）

2021

A.若。=0,匕=1,则2z*=i

k=\

B.若“=£>=--，则z2=,

22

C.“zeR”的充要条件是“z=|z|"

D.若。=©。5。，8=sin8（0<e<%）,则复数z在复平面上对应的点在第一或第二象限

【答案】AB

【分析】由已知结合复数的运算及复数的基本概念分别检验各选项即可判断.

【解析】。=0，b=l，z=i,

2()21

则=I•+产+F+/+…+叩=i,A正确;

k=l

若b=-^1百.

------------1

22

则z2=(_J—3i)2=—L+3j=5,B正确;

2222

当zeR时，例如z=-l，不满足z=|z|,故"zeR”的充要条件不是“z=|z|"，C错误.

若。=以的夕，b=sin6（0<e<万），则复数z在复平面上对应的点在第一或第二象限或在虚轴的正半轴上,

故D错误.

故选：AB

2

26.（2021•辽宁朝阳市高三一模）下面是关于复数2=——（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（）

1-1

A.|z|=\/2B.z-z2=l+i

C.z的共辗复数为_i+iD.z的虚部为1

【答案】AD

【分析】由除法运算把复数化为代数形式，然后根据复数的定义与运算法则计算并判断.

22（l+i）2

【解析】由已知2===高品。+。=l+i,

2

:.\z\=y[2,z-z2=l+i-(l+i)2=l+i-2i=l-i,共规复数为1—i,z的虚部为i.

其中真命题为AD.BC为假命题.

故选：AD.

27.（2021•天津一中高三模拟）若复数z=9皿则2=.

3+4，

8+6Z

【答案】

25

【分析】根据复数的四则运算法则即可求解.

(12l+2i+/_2i_2i(3_4z)_8+6i_8+6<

【解析】z+。

3+4/3+4—3+41—(3+4z)(3-4z)-32+42-25

8+6/

故答案为:

25

c।♦

28.（2021•山东济南市高三一模）已知复数z='£（其中i为虚数单位），则忖的值为.

—I

【答案】V5

【分析】根据已知等式，山复数除法的几何含义，即可求囱的值.

【解析】由题设,知小丹卜胃事6

故答案为：石.

29.（2021•福建厦门市高三三模）若复数z=a+"i（。，