第十章 概率2023年高考数学必背知识手册

第十章概率（公式、定理、结论图表）

I随机现象,随机试验I

_________♦__________

I样本点：样本空间I

______J______

随机事隹］

++___

事件的关系藕算事件的概率

______I______

I事件的独立性古典概型频率的稳定性

______▼_____随机模拟试验

A概率的基本性质频率估计概率

»概率.计算

।隹用概率解决实际问题

「知识梳理

1.基本事件的特点

⑴任何两个基本事件是互斥的.

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.

2.古典概型

具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.

⑴试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.

⑵每一个试验结果出现的可能性相同.

【特别提醒】

如果一次试验中可能出现的结果有"个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概

率都是上如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)=㈣.

nn

3.古典概型的概率公式

事件A包含的可能结果数

一试验的所有可能结果数.

典例1:5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲抽一张，然后由乙抽一张，求：

(1)甲中奖的概率P(A)；

(2)甲、乙都中奖的概率P(B)；

(3)只有乙中奖的概率P(C)；

(4)乙中奖的概率P(D).

【思路点拨】先确定事件总数，再确定四个事件中包含的基本事件个数，用古典概率公式求解.

【解析】甲、乙两人按顺序各抽一张，5张奖券分别为Ai，Az，Bi，Bz，B3,其中A1，A2为中奖券，则

IIIIZIII

基本事件为(Ai，A2),(A，Bi),(Ai，B2),(A，B3),(A2,A),(A2.B),(A，B2),(A2,B3),(B，A),(B，

IIIIZII

A2),(B，B2),(B,B3),(B2，A),(B2,A2),(B2,B),(B，B3),(B3,A),(B3,A2),(B3IB),(B3,B2),共

20种.

IIZI

(1)若"甲中奖"，则有(Ai，A2),(A，Bi),(Ai，B2),(Ai，B3).(A2.A),(A，B),(A2.B2),(A2.B3),

Q2

共8种，故P(A)=2=±.

205

21

I

(2)甲、乙都中奖含有的基本事件有(Ai，A2),(A2,A),共2种，所以「伯)=三=历.

(3)”只有乙中奖”的基本事件有(Bi，Ai),(B2,A0,(B3,Ai),(Bi，Az),(B2,A2),(B3,A2),共6种，故

P(C)=—=—.

2010

III

⑷"乙中奖"的基本事件有(A2,A),(Bi，Ai),(B2,A),(B3,A),(Ai，A2),(Bi,A2),(B2,A2),(B3,A2),

QO

共8种，故p(z))=a=士.

205

【总结升华】

1、利用古典概型的计算公式时应注意两点：

⑴所有的基本事件必须是互斥的；

(2)m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏.

2、古典概型解题步骤：

(1)阅读题目，搜集信息：

(2)判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；

(3)求出基本事件总数〃和事件A所包含的结果数加：

(4)用公式P(N)="求出概率并下结论.

n

4.事件的关系与运算

定义符号表示

如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件8B^A

包含关系

包含事件4或称事件A包含于事件8)（或—B）

相等关系若B2A且A284=8

并事件若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称AUB

(和事件)此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)（或4+8）

交事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则AaB

(积事件)称此事件为事件A与事件8的交事件(或积事件)（或AB）

互斥事件若AC8为不可能事件，则称事件A与事件B互斥AnB=0

若AC8为不可能事件，AUB为必然事件，那么称事件Ac\B=0

对立事件

A与事件8互为对立事件P（AUB）=1

5.概率的几个基本性质

⑴概率的取值范围：04P(A区1.

⑵必然事件的概率P(E)=1.

⑶不可能事件的概率P(F)=O.

⑷互斥事件概率的加法公式

①如果事件A与事件B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B).

②若事件8与事件A互为对立事件，则P(A)=1—P(8).

典例2:经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下:

排队人数012345人及5人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

⑴至多2人排队等候的概率是多少?

⑵至少3人排队等候的概率是多少？

【思路点拨】利用互斥事件概率加法公式计算.

【解析】记"等候的人数为0"为事件A,"1人等候"为事件B,"2人等候〃为事件C,"3人等候"为事件D,

"4人等候〃为事件E,"5人及5人以上等候”为事件F,则易知A、B、C、D、E、F互斥.

⑴记"至多2人排队等候"为事件G,则G=AUBUC,

二P(G)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)

=0.1+0.16+0.3=0