（教学设计）5.4.2正弦函数余弦函数的性质

《5.4.2正弦函数、余弦函数的性质》教学设计引导语：先跟学生分享视频。视频中是大家所熟悉的潮汐变化，像这种具有周而复始变化规律的现象都可以用我们这章所学的三角函数表示。上节课我们学习了正弦函数、余弦函数的图象，接下来我们该研究它们的性质了。周期性】问题1：类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？师生活动：学生回答研究定义域、值域、单调性、奇偶性、最值等性质。老师让学生回答定义域和值域，并体会正弦余弦函数具有周而复始的规律，从而引出周期性。问题2：什么是周期函数？什么是周期？一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.问题3：正弦函数是否为周期函数？依据是什么？（从形和数方面）师生活动：学生回答，老师总结。图形：横坐标每隔2π个单位长度，图象会重复出现。代数：利用诱导公式_sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)即自变量x的值增加2π整数倍时所对应的函数值，与x所对应的函数值相等.问题4：正弦函数周期是多少？师生活动：由sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z)，得正弦函数周期为2kπ(k∈Z且k≠0)追问：正弦函数周期唯一么？列举几个.师生活动：学生回答：2π，4π，6π以及2π，4π，6π等。老师引出对于一般函数的结论：对于一般的周期函数f(x)，如果常数T是这个函数的一个周期,那么kT(k∈Z,k≠0)也是f(x)的周期.问题5：在正弦函数的所有周期中，是否存在一个最小的正数？师生活动：学生回答：当k=1时得到最小的正数为2π.从而老师引出最小正周期的定义：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.并且，这里强调：（1）如果不加特别说明，今后本书中所涉及的周期，都是指最小正周期.（2）并不是所有的周期函数都有最小正周期，例如常函数.问题6：你能类比正弦函数的周期性，讨论：余弦函数是否为周期函数？依据是什么？若是，周期是多少？最小正周期是多少？知道了一个函数的周期，对研究它的图象和性质有什么帮助？师生活动：小组讨论问题6，并且找学生展示讨论成果。老师总结：余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.师生活动：第一个题目，找学生回答。第二个题目，老师分析并且板书展示。第三个题目，老师分析并且学生板书。追问：根据例1，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？师生活动：首先，根据例题一，学生回答：函数的周期与自变量x的系数有关。其次，老师通过视频推导公式，最小正周期为：T＝2πω(ω>0)。最后，师生总结求函数最小正周期(1)定义法:利用周期函数的定义求解．(2)公式法:函数y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ)，的T＝2π(3)图象法:通过图象直接观察即可奇偶性+对称性】问题7：观察正弦曲线和余弦曲线具有怎样的对称性?师生活动：看图并且回答：正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称。追问：反映出正、余弦函数的什么性质?怎么用代数证明？师生活动：奇偶性，并让学生证明正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数。问题8：观察正弦曲线和余弦曲线，它们还有其他对称轴和对称中心么？师生活动：首先让学生通过图象列举正弦函数对称轴和正弦函数对称中心。其次老师带领学生利用一个周期归纳整个定义域内的正弦函数对称轴和正弦函数对称中心。最后让学生自己类比正弦函数归纳余弦函数对称轴和对称中心。【例【例2】：求函数的对称轴和对称中心y=师生活动：老师带领学生板书如何求对称轴，然后让学生板书求对称中心。【三、课堂达标】【四、课堂小结】这堂课你收获了什么知识？