课时八章立体几何初步平面

平面高一—人教A版—数学—必修二第八章广州市第六十五中学

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问题1：对于点和直线，我们在平面几何中已经有所了解.知道它们都是由现实事物抽象得到的.想一想,生活中的哪些物体给你以平面的感觉？感知平面概念感知平面概念

平面的概念：几何里所说的“平面（plan）”就是从桌面、黑板面、平静的水面等物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展的.它与点、直线的概念类似，是一个不加定义的原始概念.

平面的两个本质特征：①“平”；②“无限延展”.即无所谓面积，无边界；无所谓体积，无厚度；没有质量.正如点的特征是没有形状、大小、质量，直线的特征是没有粗细、长短，可以无限延伸一样感知平面概念

问题2：想一想，我们是怎样用图形和符号表示点和直线的?类似地，如何用图形和符号表示平面?

平面的图形表示：我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.（1）水平放置的平面：（2）竖直放置的平面：平面的符号表示：

②用平行四边形的四个顶点大写英文字母来表示平面.图中的平面可记作：平面ABCD.

③用平行四边形相对的两个顶点的大写英文字母来表示平面.图中的平面可记作：平面AC或平面BD.感知平面概念①常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内.图中的平面可记作：平面α.

三个基本事实的探究

问题3：我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面?基本事实1的探究

在日常生活中，我们常常可以看到这样的现象：自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以“站稳”，三脚架的三脚着地就可以支撑照相机.由这些事实和类似经验，可以得到基本事实1.文字语言：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实1：

图形语言：符号语言：?存在性唯一性作用：确定一个平面的依据.三个基本事实的探究注：不在一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面，可以记作：平面ABC.从集合的角度理解点、直线、平面的关系①点与直线，点与平面的位置关系的符号表示：直线上有无数个点，平面内有无数个点，直线、平面都可以看成点的集合.文字语言：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实1：

图形语言：存在性唯一性作用：确定一个平面的依据.三个基本事实的探究三个基本事实的探究

实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．

上述经验和类似的事实可以归纳为基本事实2

文字语言：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实2：

图形语言：作用：判定直线在平面内的依据.三个基本事实的探究符号语言：?从集合的角度理解点、直线、平面的关系②线面位置关系的符号表示：直线、平面都可以看成点的集合.如果直线l上所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，记作：

l⊂α.否则，就说直线l不在平面α内，记作：

l⊄α.

文字语言：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实2：

图形语言：作用：判定直线在平面内的依据.三个基本事实的探究

问题5：我们知道，平面具有“平”和“无限延展”的特征.而基本事实2反映了直线与平面的位置关系.我们能不能利用这种位置关系，用直线的“直”刻画平面的“平”，用直线的“无限延伸”刻画平面的“无限延展”？三个基本事实的探究直线的“直”平面的“平”直线的“无限延伸”平面的“无限延展”刻画刻画

问题6:基本事实1和2分别从点与平面、直线与平面位置关系的角度对平面进行了刻画.接下来，我们从平面与平面关系的角度对平面进一步刻画.如图，把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B?为什么?三个基本事实的探究三个基本事实的探究

想象三角尺所在的无限延展的平面，用它去“穿透”课桌面.可以想象，两个平面相交于一条直线.我们还可以观察教室里相邻的墙面，它们在地面的墙角处有一个公共点，这两个墙面相交于过这个点的一条直线.由此我们可以得到基本事实3.

文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实3：

图形语言：作用：①判定两个平面相交的依据;

②判定点共线、线共点的依据.三个基本事实的探究

基本事实3，两个平面相交成一条直线的事实，使我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”.三个基本事实的探究应用知识

问题7：基本事实1给出了确定一个平面的一种方法.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，你还可以得到确定一个平面的其他方法吗？我们可以得到以下三个推论.应用知识三个推论：推论1：经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.（如图1）推论2：经过两条相交直线,有且只有一个平面.（如图2）推论3：经过两条平行直线,有且只有一个平面.（如图3）图1图2图3作用：同基本事实1都是确定平面依据.

我们知道，确定一个平面包括存在性和唯一性两个方面，对于以上三个推论，你能从这两方面说明道理吗?推论1的说理过程：经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。应用知识用类似的方法，你能说明推论2和推论3成立吗？存在性：如图，设点A是直线a外一点，在直线a上任取两点B和C，则由基本事实1，经过A,B,C三点确定一个平面α.再由基本事实2，直线a也在平面α内，因此平面α经过直线a和点A.唯一性：假设还有一个不同于α的平面β经过直线a和点A，则与基本事实3矛盾．应用知识例题讲解例1：用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．(1)(2)应用知识例题讲解例2：下列命题是假命题的有（）（多选）A.空间中任意三个点确定一个平面B.两个不重合的平面相交有无数个公共点C.两两相交的三条直线确定一个平面D.两两平行的三条直线确定三个平面A选项分析：当这三个点共线时，可以确定无数个平面；当这三个点不共线时，可以确定一个平面.B选项分析：由基本事实3知，若两个平面相交，则交于一条直线.所以它们有无数个公共点.故A是假命题.故B是真命题.应用知识例题讲解C选项：两两相交的三条直线确定一个平面.故C是假命题.分析：三条直线可能交于同一个点，如图1所示，也可能有三个不同的交点，如图2所示.对于图1，由推论2知，可以确定一个或三个平面；对于图2，由推论2及基本事实2知，可以确定一个平面.所以两两相交的三条直线确定一个或三个平面.图1图2应用知识例题讲解D选项：两两平行的三条直线确定三个平面故D是假命题.分析：两两平行的三条直线共面时，确定一个平面；不共面时，由推论3，可以确定三个平面.所以两两平行的三条直线确定一个或三个平面.应用知识例题讲解例2：下列命题是假命题的有（）（多选）A.空间中任意三个点确定一个平面B.两个不重合的平面相交有无数个公共点C.两两相交的三条直线确定一个平面D.两两平行的三条直线确定三个平面故本题的答案为：ACD课堂小结1.平面的概念与表示2.三个基本事实3.三个推论课后作业必做题：教科书第126页练习第1，2，3，4题.选做题：教科书习题8.4第10题.课堂到此结束，谢谢观看！平面高一—人教A版—数学—必修二第八章课堂答疑广州市第六十五中学

孙仕兵（1）平面的三个基本事实各自的意义和作用是什么？基本事实1的意义：它是在空间确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化是立体几何中解决相当一部分问题的主要思想方法.基本事实1的作用：确定一个平面的依据.基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。（1）平面的三个基本事实各自的意义和作用是什么？基本事实2的作用：①判断直线是否在平面内；②用直线检验平面.

（常被用于实践，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆等.）基本事实2的意义：说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来刻画平面的“无限延展”.基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。（1）平面的三个基本事实各自的意义和作用是什么？

基本事实3的意义：揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法.基本事实3的作用：①判定两个平面相交的依据；②判定点共线、线共点的依据.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（2）我们是如何得到关于平面的三个基本事实的，由此你对研究组成几何图形基本元素的方法有什么体会？

在探究三个基本事实的过程中，我们通过研究基本元素之间的位置关系来刻画基本元素的特征.

在这一过程中，我们能体会到研究立体几何问题的一般思路是：从研究问题出发，通过直观感知、实验操作获得结论，再通过说理或推理确认结论.（3）证明点共线的问题如图所示，在空间四边形各边AD、