随机信号分析课件-第三章全解

引言

在许多领域的理论与实际应用中，广泛应用到傅立叶变换这一工具。一方面由于确定性信号的频谱、线性系统的频率响应等具有鲜明的物理意义。另一方面，在时域上计算确定性信号通过线性系统必须采用大量的卷积运算，转换到频域上分析时，可以变换成简单的乘积运算，从而使运算量大为减少，因而傅立叶变换是确定性信号分析的重要工具。

第三章随机过程的谱分析第一页第二页，共57页。

在随机信号分析领域能否应用傅立叶变换，随机信号是否存在某种谱特征？回答是可以，不过在随机信号情况下，必须进行某种处理以后，才能应用傅立叶分析这一工具。因为一般随机信号的样本函数不满足傅立叶变换的绝对可积条件，即第二页第三页，共57页。3.1随机过程的谱分析3.1.1确定性信号谱分析的简单回顾

一、傅里叶变换x(t)是时间t的非周期函数，x(t)的傅立叶变换存在的充要条件是：

1、x(t)在范围内满足狄利赫利条件（有限个极值、有限个断点）；

2、x(t)绝对可积，即

3若x(t)代表信号，则x(t)信号的总能量有限，即

第三页第四页，共57页。满足上述三个条件，则x(t)的傅立叶变换存在由傅立叶反变换，x(t)可以表示为二、帕赛瓦等式第四页第五页，共57页。非周期性时间函数的帕塞瓦等式物理意义：如果x(t)表示的是电压，则上式左边代表x(t)在时间内的总能量。因此等式右边的被积函数表示了信号x(t)能量按频率分布的情况，称为能量谱密度。第五页第六页，共57页。3.1.2随机过程的功率谱密度

样本函数x(t)不满足绝对可积的条件，但功率是有限的因此，可以研究随机过程的功率谱。样本函数x(t)的截取函数第六页第七页，共57页。截取函数的傅立叶变换截取函数应满足帕塞瓦定理两边同除以2T可得第七页第八页，共57页。取集合平均可得随机过程的平均功率第八页第九页，共57页。两个结论1、随机过程的平均功率可以通过对过程的均方值求时间平均得到。若随机过程广义平稳2、不再具有随机性，是的确定性函数第九页第十页，共57页。功率谱密度描述了随机过程X（t）的功率在各个不同频率上的分布在整个频率范围内积分，可得到X（t）的功率平稳随机过程第十页第十一页，共57页。3.1.3功率谱密度与复频率面

在系统分析中，常用复频率表示更为方便.最简单的情况是σ=0，s=jω。沿复频率面s在虚轴jω的变化与沿实轴的变化相一致。二者只是符号的一致，各自的函数形式并不相同。第十一页第十二页，共57页。【例题】用复频率表示功率谱。解：第十二页第十三页，共57页。3.2平稳随机过程功率谱密度的性质3.2.1功率谱密度的性质

1）功率谱密度为非负的，即2）功率谱密度是ω的实函数。3）对于实随机过程来说，功率谱密度是ω的偶函数，即第十三页第十四页，共57页。截取函数为t的实函数，根据傅立叶变换的性质于是4、功率谱密度可积，即第十四页第十五页，共57页。3.2.2谱分解定理功率谱表示成两个多项式之比零极点的性质：1a²为实数2SX（s）在虚轴上无极点。3SX（s）中M<N。第十五页第十六页，共57页。功率谱可以分解为两项之积【例题】广义平稳随机过程X(t),具有功率谱密度

求随机过程的均方值。第十六页第十七页，共57页。

解：第十七页第十八页，共57页。

-1，-3两个极点的留数为第十八页第十九页，共57页。3.3功率谱密度与自相关函数之间的关系

功率谱密度的表达式为 其中功率谱密度可表示为第十九页第二十页，共57页。由得第二十页第二十一页，共57页。对于广义平稳随机过程则

维纳－辛钦定理第二十一页第二十二页，共57页。平稳随机过程的相关函数和功率谱密度皆为偶函数例3.考虑随机电报信号。它是广义平稳随机过程。具有自相关函数为求过程的功率谱密度。第二十二页第二十三页，共57页。解：利用维纳---辛钦公式，并分两段进行积分第二十三页第二十四页，共57页。第二十四页第二十五页，共57页。例4.已知平稳随机过程X(t)，具有功率谱密度为求该过程的自相关函数和均方值。

解：第二十五页第二十六页，共57页。

双边带功率谱密度：功率谱密度分布在整个频率轴上，称为双边带功率谱密度。

单边带功率谱密度：功率谱密度只定义在零和正的频率轴上，成为单边带功率谱密度。第二十六页第二十七页，共57页。

单边带功率谱密度与双边带功率谱密度之间的关系为：广义平稳随机过程的均方值与其单边带功率谱密度的关系

在以后，如不加说明，都指双边带功率谱密度。第二十七页第二十八页，共57页。

平稳随机过程自相关函数和功率谱密度对应关系：第二十八页第二十九页，共57页。

几种常见平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度对照表第二十九页第三十页，共57页。第三十页第三十一页，共57页。例1设随机过程，其中a，w0为常数，X(t)为具有功率谱密度SX(w)的平稳过程。求过程Y(t)的功率谱密度。解：第三十一页第三十二页，共57页。例2平稳随机过程的功率谱密度为求该过程的自相关函数。解：第三十二页第三十三页，共57页。3.4平稳随机过程的采样定理

X(t)为平稳随机过程，具有零均值，它的功率谱密度为当满足条件时，变可将它的振幅样本展开为X(n)功率谱密度与X(t)的功率谱密度之间的关系为第三十三页第三十四页，共57页。3.5联合平稳随机过程的互谱密度3.5.1互谱密度

定义两个截取函数为二者满足绝对可积的条件，则第三十四页第三十五页，共57页。定义两个随机过程的互功率为应用帕塞瓦定理

实随机过程第三十五页第三十六页，共57页。

下面求平均功率，取极限得到平均功率QXY第三十六页第三十七页，共57页。互功率谱密度定义为则有类似地互功率谱密度定义为相应的互功率为第三十七页第三十八页，共57页。互功率、互功率谱密度物理意义考虑实随机过程W(t)=X(t)+Y(t)，其自相关函数RW对上式等号两边求时间平均，则有其中若X(t)、Y(t)联合平稳，则第三十八页第三十九页，共57页。则有等号两边取傅里叶变换，得到其中F(•)表示傅里叶变换，

、

、

分别为W(t)、X(t)、Y(t)的功率谱密度第三十九页第四十页，共57页。3.5.2互谱密度与互相关函数的关系

平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度互为傅里叶变换，互相关函数与互谱密度也有类似关系1.两个实随机过程X(t)、Y(t)，其互谱密度与互相关函数的关系为即2.若X(t)、Y(t)联合平稳，则

第四十页第四十一页，共57页。证明根据、得到根据互功率谱密度定义，可得第四十一页第四十二页，共57页。令，代入上式进行变量置换，得到即互谱密度与互相关函数满足第四十二页第四十三页，共57页。当X(t)和Y(t)广义联合平稳时，有则从而结论：对于两个联合平稳（至少是广义联合平稳）的实随机过程，它们的互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换第四十三页第四十四页，共57页。3.5.3互谱密度的性质

1.2.实部为偶函数3.虚部为奇函数4.若X(t),Y(t)正交，则5.若X(t),Y(t)不相关，分别具有常数均值mX和mY6.第四十四页第四十五页，共57页。例1.设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数为求互谱密度和。解：根据互谱密度的性质，得第四十五页第四十六页，共57页。例2.设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互谱密度为其中，a、b皆为实常数，求互相关函数解：第四十六页第四十七页，共57页。3.6白噪声

随机过程通常可按它的概率密度和功率谱密度的函数形式来分类。就概率密度而言，正态分布的随机过程占有重要地位；就功率谱密度来说，具有均匀功率谱密度的白噪声非常重要。3.6.1理想白噪声

若N(t)为一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密度均匀的分布在整个频率区间，即其中N0为一个正实常数，则称N(t)为白噪声过程或简称白噪声。“白”字借用光学中的“白光”术语，因为白光光谱中包含所有可见光的频率分量。

第四十七页第四十八页，共57页。

利用维纳—辛钦定理，不难测到白噪声的自相关函数为上式说明，白噪声的自相关函数是一个δ函数，其面积等于功率谱密度。如图所示。第四十八页第四十九页，共57页。

白噪声的自相关系数为以上说明，白噪声在任何两个相邻时刻的取值都是不相关的。这就意味着白噪声过程随时间的起伏极快，过程的功率谱密度极宽。

上面定义的白噪声只是一种理想化的模型。实际上，白噪声是不存在的，因为白噪声的均方值而物理上存在的随机过程，其均方值总是有限的。第四十九页第五十页，共57页。由于白噪声在数学处理上具有简单、方便等优点，因此它在诸如线性系统分析等实际应用中，仍占有极其重要的地位。在实际工作中，当研究随机过程通过某一系统时，只要该随机过程的功率谱密度在一个比系统带宽大得多的频率范围内近似均匀分布，就可以把它作为白噪声来处理，而不会带来太大的误差。电子设备中的起伏过程，许多都可以认为是白噪声。例如电阻的热噪声，晶体管的散粒噪声等，在相当宽的频率范围内都具有均匀的功率谱密度，故可把它们看成是白噪声。第五十页第五十一页，共57页。3.6.2限带白噪声

如果一个具有零均值的平稳随机过程X(t)，其功率谱密度在某一个频率范围内均匀分布，而在此频率范围外为零，则称这个过程为限带白噪声。1.低通型若过程的功率谱密度满足则称此过程为低通型限带白噪声。将白噪声通过一个理想低通滤波器，可产生低通型限带白噪声。第五十一页第五十二页，共57页。其自相关函数为采样周期恰好等于时，得到的采样值互不相关第五十二页第五十三页，共57页。2.带通型限带白噪声的功率谱密度为应用维纳－辛钦定理，可得到相应的自相关函数为限带白噪声的产生方法：白噪声通过理想带通滤波器。第五十三页第五十四页，共57页。3.6.3色噪声

按功率谱密度函数形式来区分随机过程，我们将把除了白噪声以外的所有噪声都称为有色噪声或色噪声。第五十四页第五十五页，共57页。本章