波动方程和行波法

物理学专业必修课程数学物理方法MathematicalMethodinPhysics西北师范大学物理与电子工程学院1编辑课件第一章波动方程和行波法2编辑课件引言1.1弦振动方程1.2行波法3编辑课件数理方程〔泛定方程〕〔三类〕在物理学的研究中起着重要作用。如何从物理学的实际问题中导出数理方程呢？我们先从弦振动方程入手。引言4编辑课件根本步骤：1.建立坐标系〔时间，空间〕2.选择表征所研究过程的物理量

表征物理量的选择常常是建立一个新方程的起点。〔一个或几个〕。数学模型物理模型5编辑课件3.寻找〔猜测〕物理过程所遵守的物理定律或物理公理;4.写出物理定律的表达式，即数学模型。6编辑课件一、弦的横振动方程二、定解条件的提出三、三类定解问题1.1弦振动方程7编辑课件一、弦的横振动方程〔均匀弦的微小横振动〕演奏弦乐〔二胡，提琴〕的人用弓在弦上来回拉动，弓所接触的是弦的很小的一段，似乎只能引起这个小段的振动，实际上振动总是传播到整个弦，弦的各处都振动起来。振动如何传播呢？8编辑课件实际问题：设有一根细长而柔软的弦,紧绷于A，B两点之间，在平衡位置附近产生振幅极为微小的横振动〔以某种方式激发，在同一平面内，弦上各点的振动方向相互平行，且与波的传播方向〔弦的长度方向〕垂直〕，求弦上各点的运动规律。1.物理模型9编辑课件2.分析弦是柔软的，即在放松的条件下，把弦弯成任意的形状，它都保持静止。绷紧后，相邻小段之间有拉力，这种拉力称为弦中的张力，张力沿线的切线方向。10编辑课件由于张力的作用，一个小段的振动必带动它的邻段，邻段又带动它自己的邻段，这样一个小段的振动必然传播到整个弦，这种振动的传播现象叫作波。弦是轻质弦〔其质量只有张力的几万分之一〕。跟张力相比，弦的质量完全可以略去。11编辑课件①模型实际上就是：柔软轻质细弦〔“没有质量〞的弦〕②将无质量的弦紧绷，不振动时是一根直线，取为x轴。③将弦上个点的横向位移记为12编辑课件④已知：线密度

重量不计，沿切线方向，不随x变化，弦中各点的张力相等（小振动下T与t也无关）.

张力⑤研究方法：连续介质，微积分思想，任意性。13编辑课件3.研究建立方程①如图，选弦绷紧时〔不振动〕直线为x轴AB14编辑课件为表征物理量。②弦离开平衡位置的位移记为③因弦的振动是机械振动，根本规律为：然而弦不是质点，故对整根弦并不适用。但整根弦可以细分为许多极小的小段，每个小段可以抽象为质点。15编辑课件即整根弦由相互牵连的质点组成，对每个质点即每个小段可应用

.方法：将连续分布的介质离散化为多质点系统，再取内部任一代表性的点进行研究。将弦细分为许多极小的小段，取区间上小段为代表。无质量且柔软，故该段仅受到相邻两段的拉力.和

16编辑课件④对弦的每一小段dx,沿x方向〔纵向〕没有运动，沿x方向所受合外力为零。任一小段弦在振动过程中只受到相邻段对它的张力和施加在弦上的外力。设单位长度上受到的横向外力为17编辑课件于是由牛顿第二定律对dx

所对应的这一小段弦有:沿

方向（纵向）：

沿

方向（纵向）：

①②18编辑课件近似：考虑小的振动，

，为小量。

其中:

是弦的线密度，即单位长度的为对应弧长，

为弦的横向为弦的横向加速度。

质量，位移，19编辑课件∵

20编辑课件于是①、②化简为：两点间任一时刻横小振动近似：

与与

相比是一向位移之差

个小量，即

21编辑课件即令

那么上式为:22编辑课件应用微积分中值定理:23编辑课件即——弦的强迫横振动方程其中:

，

量纲分析：

，24编辑课件即：振动的传播速度

它与弦的张力的平方根成正比，与弦的线密度的平方根成反比。

∴

25编辑课件对乐器来讲，意味着弦绷的越紧，波速越大；弦的质料越密，波速越小。那么得弦的自由横振动方程：消失，即

上式中,外力f26编辑课件注意：上述推导过程中，并没有考虑重力。不仅弦振动，一维波动方程，如弹性杆的横振动。二维波动方程，如薄膜的横振动方程，管道中小振动的传播，理想传输线的电报方程等均可用上述波动方程描述。故称为一类方程，即波动方程。〔也是称其为泛定方程的远大〕可描述一类物理现象。流体力学与声学中推导三维波动方程，这里不再一一推导。27编辑课件二、定解条件的提出1、必要性。导出方程后，就得对方程进行求解。但是只有泛定方程缺乏以完全确定方程的解，即缺乏以完全确定具体的物理过程，因为具体的物理过程还与其初始状态及边界所受的外界作用有关，因而必须找一些补充条件，用以确定该物理过程。28编辑课件从物理角度看：泛定方程仅表示一般性〔共性〕，要为物体的运动个性化附加条件。从数学角度看：微分方程解的任意性也需附加条件。通解中含任意函数〔解不能唯一确定〕。通过附加条件确定任意函数〔常数〕，从而确定解。这些附加条件就是前面所谈的问题的“历史〞与“环境〞，即初始条件和边界条件，统称为定解条件。29编辑课件2、初始条件在求解含时间t变量的数理方程时，往往要追溯到早些某个所谓“初始〞时间的状况〔“历史〞〕，于是称物理过程初始状况的数学表达式为初始条件。30编辑课件如弦振动方程:

其初始条件为:同一时刻(

)情况

注意：(a〕初始条件应是整个系统的初始状态，而不是系统中个别点的初始状态。31编辑课件若

就错了。

如：一根长为l的两端固定的弦，用手把它的中点朝横向拔开距离h，然后放手任其振动〔初始时该就为放手的时刻〕，那么初始条件应为：32编辑课件(b)时间t

的n阶方程需n个初始条件，n个常数。如：33编辑课件3、边界条件求解方程时还需考虑边界状况〔周边“环境〞〕〔边界状况将通过逐点影响所讨论的整个区域〕，称物理过程边界状况的表达式为边界条件，或称为边值条件。边界条件在数学上分为三类：34编辑课件

第一类边界条件(Dirichlet边界条件)：直接规定所研究的物理量在边界上的数值其中为已知函数。

35编辑课件

第二类边界条件（Neuman边界条件）：规定所研究物理量在边界外法线方向上的方向导数的数值.，36编辑课件第三类边界条件〔混合边界条件也叫Robin边界条件〕：规定所研究物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的值:常系数37编辑课件第一、二、三类齐次边界条件。时，以上三类边界条件当分别称为38编辑课件⑴

衔接条件集中地由于一些原因，在所研究的区域里出现跃变点，泛定方程在该点失去意义。如波动方程〔弦〕，如果有横向力作用于点，这就成了弦的折点。在点斜率的左极限不同于右极限，因而不存在,

4、其它条件39编辑课件在各段上,弦振动方程有意义，但它是一根弦的两段，并不是各自振动的。从数学上来讲，不可能在两端上分别列出定解问题。两段可作为一个整体来研究，两段的振动是相互关联的。在这一点无意义.如果,将分成，两段分别考虑，40编辑课件F（0,t）α1α2xu41编辑课件虽是折点，但它们连续，即①在

，力

应和张力平衡，即②

①、②合称为衔接条件，这时振动问题适定。42编辑课件再如，不同材料组成的杆的振动，在衔接处的位移和能量相等，即：：杆的两部分位移.：两部分的杨氏模量.

43编辑课件静电场中，两种电介质的交界面上电势应相等（连续），电位移矢量的法向分量也应相等（连续）,其衔接条件是:44编辑课件代表两种电介质的介电常数，（设电其中代表两种电介质的电势，

则,位移矢量分别为45编辑课件⑵

自然边界条件某些情况下，出于物理上的合理性等原因，要求解为单值、有限，就提出自然边界条件，这些条件通常都不是要研究的问题直接给出，而是根据解的特性要求自然加上去，故称为自然边界条件，如：46编辑课件通解为：

在区间

上要求解有限，故

有限，从而在

中的解为:

47编辑课件但并非所有的定解问题中，都一定同时具有初始条件和边界条件。三、三类定解问题定解问题泛定方程定解条件初始条件边界条件+衔接条件48编辑课件〔1〕初值问题(Cauchy问题〕：定解问题中仅初始条件而无边界条件,如无界弦的振动:49编辑课件〔2〕边值问题：定解条件为边界条件如

50编辑课件〔3〕混合问题:即有初始条件又有边界条件。如有界弦的自由振动51编辑课件物理系统总是有限的，必须有界，要求边界条件，如：弦总是有限长的，有两个端点，但如果注重研究靠近一端的一段弦，即在不太长的时间里，另一端还没来得及传到，可认为另一端不存在这样就可将真实的弦抽象为半无界弦。〔4〕无界半无界问题：52编辑课件如果注重考虑不靠近两端点的某段弦，在不太长的时间里，两端点的影响还没来得及传到，可认为两端点都不存在，即两端点都在无限远，就不提边界条件了，这样有限的真实弦抽象成无界的弦，分别称为半无界问题、无界问题。53编辑课件举例：弦振动问题中

第一类边界条件：

54编辑课件端点的运动规律:

左端点，

右端点

假设两端点固定，那么为齐次边界条件，称固定端点边界条件。

55编辑课件第二类边界条件：

若左端点自由地上下运动，则

称自由（端点）边界条件

.56编辑课件第三类边界条件：

的弹簧，弦的左端点固定于弹簧的自由顶端，弦的左端点受到垂直于轴的已知外力的作用而上下运动。

设在处安置了一个垂直于

轴的57编辑课件58编辑课件假设弹性支承边界条件：

弦的一端与一个其他系统相连接，弦在左端处连接于一弹簧质量系统，保持其运动是完全垂直的。59编辑课件想象质量在垂直轨道上无摩擦，轨道对质量施加一个张力，防止张力的水平分量拉翻质量系统，弦与此质量未连接，质量的位置为弦在端点的位置

，未知的量，满足牛顿第二定律的一个ODE。60编辑课件弹簧的拉伸长度为:

由牛顿第二定律：

弹簧上的其它力假设弹簧的未拉伸的长度为

，且满足胡克定律，设弦的支撑点按照其解的方式移动。弹簧的长度为61编辑课件其中

为小振动近似，

常量，62编辑课件边界条件为（连接于一个弹簧质量系统，带动支撑

的外力的一条振动的处,则弦在63编辑课件若无外力作用于质量上

充分小，那么其中:

是质量的平衡位置64编辑课件假设质量的平衡位置与弦的平衡位置重合，即那么：若弦和质量的，若

处

，。成正比，与平衡位置都是则必有65编辑课件端点处无任何其它垂直外力，弹力在端点的垂直分量必为0，否那么此端点将会有无限垂直加速度。对

取极限

假设端点附在前述无摩擦的垂直轨道上，上下自由移动，无弹簧质量系统也无外力，66编辑课件1.2行波法一、定解问题二、求解定解问题三、分析解答四、依赖区域五、其它:问题67编辑课件引言上节课我们已经了解了数学物理方程所研究的对象、特点，并推导出一类典型的方程——波动方程（弦振动方程），接下来的问题就是对这些问题如何来求解？先来回顾一下的求解

。的求解

１.68编辑课件先求方程通解〔含任意常数〕常微分方程（

）的求解思路：

(利用初值条件)方程的特解确定条件中的数69编辑课件例如：

通解为:

70编辑课件2.的求解

对，可否也用这种思路来求解？即先求通解（通解中包含任意常数或函数），然后利用各种条件确定常数或函数，从而得到特解。已经表明，对如下困难：来讲有71编辑课件其一，通解不好求；其二，用定解条件确定函数较困难，但也却非不能解决任何方程，对一类问题是可行的：无界区域齐次波动方程的定解问题。72编辑课件齐次波动方程（

）反映介质一经扰动后在区域里不再受外力的运动规律。如弦振动方程，所考虑的弦，长度很长，所需知道的又只是在较短的时间内离边界较远的一段范围中的运动情况，则边界的影响可以不予考虑，就构成一个无界问题，73编辑课件〔初值问题〕抽象成问题的区域是整个空间，由初始扰动所引起的振动就会一往无前的传播下去，形成行进的波，简称行波。〔数学上将弦的长度视为无限〕。这种求解行波问题的方法成为行波法。74编辑课件一、定解问题上式为无界弦的自由振动方程.其中为已知函数。

75编辑课件物理模型解释：①无限长弦的自由振动②无限长杆的纵振动③无限长理想传输线上电流、电压之比这里“无限长〞指没有受到外力作用，只研究其中一小段，那么在不太长的时间里，两76编辑课件端的影响来不及传到，可认为两端不存在，因而为无限长。对该问题的处理思路〔借鉴ODE处理方法〕自变量变换简化泛定方程定解问题的解得通解初始条件77编辑课件二、求解定解问题〔一维齐次波动方程的通解〕〔1〕作自变量变换〔行波变换〕.目的：将泛定方程简化成易积分的形式.设78编辑课件利用复合函数求导法则有：

（上述变换的由来：

由有引入变换

找两个微分算子：

79编辑课件使

为常数，

80编辑课件令那么故令

81编辑课件那么有这时

82编辑课件为了书写简便和对称，令

即

83编辑课件84编辑课件85编辑课件86编辑课件〔２〕求通解两边对

求积分得：

和

无关，是关于

的函数，那么有87编辑课件求积分有：

其中为的函数，然后再对自变量

其中，分别为

，函数，只要有两次积分就可。

的任意88编辑课件故，通解为

89编辑课件（３）用初始条件定特解——确定由初始条件

由

有

90编辑课件91编辑课件由此解得

92编辑课件93编辑课件故:这叫做达朗贝尔解，简称达氏解，因此这种方法叫做达朗贝尔解法。94编辑课件三、分析解答〔1〕解的适定性(存在性、唯一性、稳定性)〔2〕解的物理意义.通解的物理意义：先考虑

，时

，表示弦在

时的波形（位移），

95编辑课件初始时刻的状态，经过时间

后由

，的波形向

正方向右进行，故

所描述的振动规律，称为右行波（正行波、右传播波）；

向平移距离，即这种波的传播形式是保持波形不变地以速度96编辑课件表示不变地向左传播，称为左行波（逆行波、左传播波），故弦振动方程的通解是左右行波的叠加，（即弦上任意扰动总是向相反的两个方向传播下去）同理，越大,表示波传播速度越快。97编辑课件+98编辑课件表示初始位移引起的波动左右行波叠加由初始位移激发的行波，时刻波形为

向左右传播.，以后分成几部分以独立的速度上式第一项为:99编辑课件表示由初始速度引起的波动.设

的一个原函数是

即则100编辑课件左右对称地扩展到的范围，它表示左右行波叠加，由初始速度激发的行波，在

时刻，它传播速度为.101编辑课件例1.求解初值问题〔初始位移引起的波动〕102编辑课件解：由

公式：

假设103编辑课件四、依赖区域、影响区域、决定区域无界弦自由振动的这种特性，可以更几何直观地表现出来.定解问题如下:104编辑课件其定义域是