化工问题的建模与数学分析方法课件

常微分方程

1、二阶线性常系数方程的解法2、二阶变系数方程的级数解法3、一阶微分方程组的矩阵解法4、稳定性问题分析常微分方程——二阶常系数方程一、二阶常系数方程的解法

1。齐次方程通解 设

得常微分方程——二阶常系数方程相异实根共轭复根重根

2。非其次方程特解：比较系数法常微分方程——二阶变系数方程二、二阶变系数方程的解法1、级数解法

广义幂级数

代入方程，比较系数法确定参数c和

an

常微分方程——二阶变系数方程

设

代入，得

常微分方程——二阶变系数方程首项xc的系数为0——指标方程第n项xn+c的系数为0

——递推公式

常微分方程——二阶变系数方程

由指标方程的第一根c=c1可以得到方程的第一个解当c1－c2不为整数或0时，由常规方法可得第二解。当c1、c2

为重根时，第二解为当c1－c2为整数时，第二解为

常微分方程——二阶变系数方程2。Bessel方程及其级数解

称为k阶Bessel方程。采用幂级数解法，得首项系数为0的指标方程

常微分方程——二阶变系数方程递推公式

第一解

常微分方程——二阶变系数方程第二解分为以下三种情况

i)k为分数

ii)k=0

常微分方程——二阶变系数方程

常微分方程——二阶变系数方程iii)k为整数

常微分方程——二阶变系数方程

3、Legendre方程与Legendre函数 设

代入，得

常微分方程——二阶变系数方程递推公式 根据幂级数收敛判别法知，在x=±1处级数发散，但物理上函数又是有界的，因此只有参数l取整数才能保证级数在x=±1处收敛，此时级数成为Legendre多项式

常微分方程——二阶变系数方程性质

Bessel函数、Legendre函数均为正交函数族，满足正交条件，可以作为函数基将任意分片光滑的函数展开成Fourier级数，分别称为Fourier－Bessel级数和Fourier－Legendre级数。

常微分方程——一阶常系数方程组三、一阶常系数方程组的矩阵解法

齐次方程

常微分方程——一阶常系数方程组设代入方程得 从中可解出n个特征根和特征向量，构成基解矩阵常微分方程——一阶常系数方程组通解或

y=Yc

常数c由初始条件确定

常微分方程——线性稳定性分析

四、线性稳定性分析方法稳定性（stability)——系统的一种动态特性，指偏离定常状态后能否自动返回该定常态的性质,系统抗干扰能力的度量。定常态（steadystate)——稳态（与瞬态对应），系统不随时间变化的某个状态。稳定态（stablestate)——稳定的定常态。 稳定——差之毫厘，失之毫厘 不稳定——差之毫厘，失之千里

常微分方程——线性稳定性分析

流动的稳定性——雷诺实验、圆柱型水流 反应器的热稳定性——飞温与熄火 平行平板间的热对流稳定性——Benard现象 压杆、板壳的屈曲稳定性稳定性分析方法 线性稳定性分析：小扰动的线性化动态分析，获得失稳判据。 非线性稳定性理论：分叉、混沌，非线性科学问题。

常微分方程——线性稳定性分析1、线性稳定性分析方法 目的——获取失稳判据； 方法——稳态附近对小扰动线性展开，由特征根确定非线性动力系统 定常态f(ys)=0

设x(t)为小扰动，令

y(t)=ys+x(t)

常微分方程——线性稳定性分析代入原方程，泰勒展开，保留线性项通解稳定性判别

若A的特征根都是负的，则零解是渐近稳定的；若至少有一个根的是正的，则系统是不稳定的；若都为零，则不定。

常微分方程——线性稳定性分析

因此，线性稳定性分析的问题转化为线性化方程的矩阵A的特征根的正负号判别问题。如何根据A得到稳定性判据？Routh-Hurwitz系数判别法。 特征根方程

Routh方法： 如果系数aj不同号，或某些系数为零，则方程必然有大于等于零的根，系统不稳定。

常微分方程——线性稳定性分析Routh－Hurwitz判定行列式

常微分方程——线性稳定性分析Routh指出，若采用如下的判定函数RiR0=△0,R1=△1,R2=△2/△1,…,Rn

=△n/△n-1=an则当所有的判定函数为正值时，系统是稳定的，否则是不稳定的。Hurwitz则证明了以下定理：实系数的n次代数方程的一切根的实部都是负数的充分必要条件是所有判定行列式均大于0。

常微分方程——线性稳定性分析2、稳态点的分类

常微分方程——线性稳定性分析1）tr2－4

>0，

>0：

1

2

>0，稳态点为结点2）tr2－4

>0，

<0：

1

2

<0， 稳态点为鞍点

常微分方程——线性稳定性分析3）tr2－4

<0，tr0

：

1，

2

为复数，稳态点振荡焦点4）tr＝0，

>0，

1，

2都是纯虚数 稳态点为中心点

常微分方程——线性稳定性分析3、化学反应器的热稳定性取 x=cA－cAs,y=T－Ts

常微分方程——线性稳定性分析将反应项与移热项线性展开特征根方程

常微分方程——线性稳定性分析渐近稳定性条件

a)斜率条件——系统移热曲线的斜率必须大于系统放热曲线的斜率

b)动态条件

常微分方程——线性稳定性分析斜率条件的物理解释

一阶偏微分方程

1、特征线法2、非线性波与追赶现象一阶偏微分方程——特征线法§1.1一阶偏微分方程的定解问题偏微分方程与常微分方程求解思路的不同

常微分方程：求方程通解，初、边值定常数 一阶偏微分：求方程通解，初、边值确定任意函数 二阶偏微分：不求通解，从问题出发求解

例，一阶PDE

通解一阶偏微分方程——特征线法初值问题（Cauchy问题）初、边值问题（Riemann问题）

一阶偏微分方程——特征线法一般的一阶拟线性偏微分方程的问题

一阶偏微分方程——特征线法§1.2特征线法的几何原理向量

(P,Q,R)

与解曲面u=u(x,y)的法线方向 相互垂直，与

(P,Q,R)

共线的线元(dx,dy,du)必定满足偏微分方程，称为特征曲线，经过初始曲线的特征曲线的全体构成解曲面u=u(x,y)

。 一阶偏微分方程——特征线法

一阶偏微分方程——特征线法

一阶偏微分方程——特征线法因此，特征线法的求解思路是

——用特性曲线来编织解曲面

1。求出与向量场(P,Q,R)

共线的特征曲线；

2、让该曲线通过初始曲线

一阶偏微分方程——特征线法特征线方程解x=x(s),y=y(s),u=u(s)含任意常数，由初始曲线 确定 一阶偏微分方程——特征线法解曲面由以下双参变量形式给出 参变量s沿特征曲线方向变化， 参变量

沿初始曲线方向变化。

一阶偏微分方程——特征线法例2.1

特征线方程初始曲线

一阶偏微分方程——特征线法解出

消去参变量

一阶偏微分方程——特征线法以积分常数形式给出的特征线解

特征方程通解初始曲线限制解曲面

一阶偏微分方程——特征线法例2.3

特征方程通解解曲面由初值得解 一阶偏微分方程——特征线法§1.3特征线法的物理意义 波动——物理量在空间的传播过程 特征线——物理量的传播轨迹，沿该轨迹的变化关系例1．管道中的溶质输送问题

一阶偏微分方程——特征线法特征线

初始曲线解得

x－vt＝ξ

一阶偏微分方程——特征线法图象——矩形方波以速度v传播

c0xt=0t=t1t=t2vvv一阶偏微分方程——特征线法 x-t平面的特征线及图解法

一阶偏微分方程——特征线法

例2．线性色谱问题 特征线

一阶偏微分方程——特征线法x轴给出的初值的解

t轴给出的边值的解

一阶偏微分方程——特征线法 x-t平面的特征线

一阶偏微分方程——特征线法

斜坡输入时的图象

一阶偏微分方程——特征线法

例3

有化学反应时的色谱波动图象

——浓度沿特征线传播时呈指数衰减线性波的特点 波速与因变量无关 保持初始间断和光滑性质不变 特征线不相交

一阶偏微分方程——追赶现象

§2非线性波与追赶现象

1。追赶问题——稀疏波 身高曲线 初始分布

一阶偏微分方程——追赶现象特征线

解得

一阶偏微分方程——追赶现象图象——

稀疏波

xh00hh00hxx

t=0时刻的初始分布t=t1时刻的分布t1t01/4h01/2h03/4h0h0携带不同h值的特征线一阶偏微分方程——追赶现象 2。追赶问题——激波初始分布：前低后高 解得

一阶偏微分方程——追赶现象图象

xh00hx

/h0t0

t<

/h0t=

/h0t>

/h0t=0h=h0h=0

一阶偏微分方程——追赶现象特点 追赶，特征线相交，不真实的多值分布， 非线性本征属性原因：形成强间断——激波，微分方程失效 问题：补充间断面上的关系

一阶偏微分方程——追赶现象 3。激波间断关系

x0

xsxrxl

l,ql

r,qrdxs/dt一阶偏微分方程——追赶现象激波间断关系

熵条件处理含间断问题的原则：分段求解

一阶偏微分方程——追赶现象例1

含有激波的追赶问题

间断条件

初值

一阶偏微分方程——追赶现象图象

xh00hx

/h0t0

t<

/h0t=

/h0t>

/h0t=0CSI

一阶偏微分方程——追赶现象

例2

非线性吸附反应器

一阶偏微分方程——追赶现象特征曲线

波速

一阶偏微分方程——追赶现象激波间断条件

特征线光滑解

一阶偏微分方程——追赶现象

将光滑解代入激波间断条件，解出激波轨迹

一阶偏微分方程——追赶现象图象

x0cxt0t=t1S一阶偏微分方程——色谱段塞问题

§3化学剂段塞的色谱运动问题

一阶偏微分方程——色谱段塞问题物理图象：前沿——激波；后缘——中心稀疏波 激波与稀疏波相互作用

一阶偏微分方程——色谱段塞问题特征线

一阶偏微分方程——色谱段塞问题解题思路

1。运动初期：激波与稀疏波互不干扰，分别求解；

2。运动后期：后缘侵蚀，稀疏波与激波联立求解。

一阶偏微分方程——色谱段塞问题

问题

一阶偏微分方程——色谱段塞问题特征线方程

初始曲线

一阶偏微分方程——色谱段塞问题

1。运动初期激波稀疏波平台区 一阶偏微分方程——色谱段塞问题2。运动后期激波（浓度在变化）稀疏波（给出激波浓度） 联立得到 一阶偏微分方程——色谱段塞问题激波轨迹激波浓度段塞宽度

一阶偏微分方程——小结1、关于特征线法 几何上，一阶偏微分方程可以看成向量（P,Q,R)与曲面法向之间的正交关系.特征线法就是先由向量（P,Q,R)求出满足方程的特征线，再以此为元素构造出解曲面。 物理上，波动总是从初始曲线出发沿特征线传播，特征线方程给出了波的速度和传播中的变化关系。

一阶偏微分方程——小结2、关于非线性波动的概念 线性波的波速与因变量无关，传播过程中保持初始间断或光滑性质不变，特征线不相交。 非线性波容易发生追赶，形成稀疏波和激波，其类型与通量曲线的性质和初始分布状况两方面因素有关。 处理激波问题的思路是：分段求解，联立确定。二阶偏微分方程与分离变量法

1、二阶方程的分类2、分离变量法3、特征值理论4、特殊函数的应用5、典型问题分析二阶偏微分方程——概述化学工程中常见的PDE对流－扩散－反应方程常微分方程：求通解，初值定积分常数；一阶偏微分方程：求通解，初值定任意函数；二阶偏微分方程：从问题出发确定求解方法。二阶偏微分方程——概述二阶导数项占优时，一般采用以下两种方法求解 分离变量法：适用于有限空间区域； 积分变换法：适用于无限空间区域； 均化为常微分方程求解。二阶偏微分方程——方程的分类§1

二阶偏微分方程的分类令得

二阶偏微分方程——方程的分类由线性代数，可通过线性变换将特征二次型化为对角型

二阶偏微分方程——方程的分类二阶方程分类：当b2－ac＜0时，曲线为椭圆，方程称为椭圆型方程当b2－ac=0时，曲线为抛物线,方程称为抛物型方程当b2

－ac＞0时，曲线为双曲线，方程称为双曲型方程二阶偏微分方程——方程的分类标准形式： 椭圆型方程 抛物型方程 双曲型方程二阶偏微分方程——方程的分类物理意义：椭圆型方程——位势方程，描述与时间无关的定常分布；抛物型方程——热传导方程，描述不可逆的发展演变；双曲型方程——波动方程，描述可逆的双向波动。二阶偏微分方程——方程的分类定解问题的提法——方程与初、边值的组合 初值问题(Cauchy问题)

边值问题 混合问题二阶偏微分方程——分离变量法§2分离变量法

——试探问题的变量分离形式的解例1

设二阶偏微分方程——分离变量法变量分离，得求X(x)的非零解，通过调整参数

的值二阶偏微分方程——分离变量法

ⅰ)当

＜0时，方程的通解

c1=c2=0，也即Ｘ(x)≡0

ⅱ)当

=0时，方程的通解

c1=c2=0，也即Ｘ(x)≡0二阶偏微分方程——分离变量法

ⅲ)当

＞0时，方程通解具有如下形式

由边界条件X(0)=0知c1=0,再由 为了有非零解c2≠0，必须sin=0，由此确定出参数

二阶偏微分方程——分离变量法由此得变量分离解二阶偏微分方程——分离变量法为满足初值，将解叠加由初值得解。二阶偏微分方程——分离变量法例2矩形区域的Laplace方程例3圆形区域的Laplace方程

令二阶偏微分方程——分离变量法特征值问题解得＝n二阶偏微分方程——分离变量法由边值二阶偏微分方程——分离变量法得 得解。二阶偏微分方程——分离变量法小结：分离变量法

1、假设变量分离形式的解

2、导出并求解特征值问题

3、叠加成级数，满足初值或边值关键问题——特征值问题 能否通过调整不定参数获得齐次方程的非零解。

二阶偏微分方程——分离变量法§3分离变量法

——非齐次方程与边界条件：化齐与展开1、非齐边值的处理：迭加边值问题特解，化齐例1二阶偏微分方程——分离变量法

令

特解v(x)要求满足边值，有无穷多种选择，规范为

二阶偏微分方程——分离变量法于是，问题化为w(x,t)的齐次边值问题方程化齐的要点，是要求叠加的特解v(x)既要满足边值，又要满足原微分方程，使得化齐后的问题最简单。 二阶偏微分方程——分离变量法例2

令

二阶偏微分方程——分离变量法

解出 问题化齐为

例3环形区域上的热传导方程(p207)二阶偏微分方程——分离变量法方程与边值同时化齐

二阶偏微分方程——分离变量法2、非齐方程的处理：级数展开 难以直接分离变量，但可将所有函数按特征函数展开

二阶偏微分方程——分离变量法

代入方程，得

二阶偏微分方程——分离变量法

二阶偏微分方程——分离变量法小结：分离变量法的关键 特征函数 级数展开 问题——

特征函数的存在性？ 特征函数的正交性？ 特征函数的完整性？ 在一般条件下需要从理论上予以回答。二阶偏微分方程——分离变量法分离变量法的历史发展1700’s——弦振动方程的三角函数试探解(Tayler)二阶偏微分方程——分离变量法1800～1900’s——Fourier方法 无穷级数解 特征值问题

Fourier级数理论

Fourier变换1800’s——Strum－Liouville特征值理论 分离变量法的理论基础 特殊函数的应用二阶偏微分方程——特征值理论§4

特征值问题

1、正交性的定义

Fourier展开二阶偏微分方程——特征值理论 2、特征值理论定理一存在着无穷多个实特征值定理二当q(x)≥0时,所有特征值非负定理三不同的所对应的特征函数带权ρ(x)正交定理四任意函数f(x)可展开为特征函数yn(x)的级数二阶偏微分方程——特征值理论说明

1、S-L特征值方程具有一般性；

2、四个定理只回答了特征函数的存在性、正交性、完整性问题，可据此判断分离变量法的可行性，给出解的结构。但没有给出特征值方程的求解方法。二阶偏微分方程——特殊函数§5特殊函数的应用

1、极坐标系与Bessel函数 令二阶偏微分方程——特殊函数得到

判断：特征值存在，特征函数Rn(r)正交，完整二阶偏微分方程——特征函数解的构造 由正交性二阶偏微分方程——特征值理论二阶偏微分方程——特征值理论求特征函数R(r)，令，将特征值问题化为 上式是0阶Bessel方程，可用级数解法得到其解 式中，J0和Y0分别为第一类和第二类Bessel函数二阶偏微分方程——特征值理论二阶偏微分方程——特征值理论

由边界条件确定特征值和特征函数

得解二阶偏微分方程——特征值理论2、球坐标系与Legendre函数 问题——球形区域的稳态传热与传质分离变量，令u(r,

)=H(

)R(r)得到二阶偏微分方程——特征值理论特征值问题为H，作变换x=cos

,化为Legendre方程

二阶偏微分方程——特征值理论自然边界条件由特征值理论，特征函数存在，分离变量法可行。

Legendre方程的解为无穷级数，若边界上有限，必须相应的特征函数为n阶的Legendre多顶式二阶偏微分方程——特征值理论于是，问题的分离变量解为其中系数B＝0，A由边界条件确定二阶偏微分方程——特征值理论二阶偏微分方程——典型问题1、球形催化剂颗粒的瞬态响应化齐边值，令二阶偏微分方程——典型问题S=2时，特解 令

得二阶偏微分方程——典型问题再求齐次边值问题二阶偏微分方程——典型问题令w(x,t)=X(x)T(t),得到特征值问题

作变换得二阶偏微分方程——典型问题于是二阶偏微分方程——典型问题2、管式反应器的动态行为

问题二阶偏微分方程——典型问题为化齐边值，令v(x)为固定床反应器稳态解二阶偏微分方程——典型问题齐次边值问题分离变量w=X(x)T(t)

，得特征值问题二阶偏微分方程——典型问题化为Sturm－Liouville型方程非零解Xn(x)存在，带权exp(-Pex)正交二阶偏微分方程——典型问题特征函数欲得非零解，要求二阶偏微分方程——典型问题

令 得 由x=1处的边界条件确定特征值二阶偏微分方程——典型问题二阶偏微分方程——典型问题3、管道中的层流换热Graetz问题二阶偏微分方程——典型问题无量纲化后分离变量法求解,令

二阶偏微分方程——典型问题

得特征值问题幂级数解二阶偏微分方程——典型问题由x=１处的边值确定特征值λ

解得二阶偏微分方程——小结分离变量法的适用条件有限空间区域线性方程方程中系数可分离变量自变量区域可分离变量满足S－L方程的条件积分变换与矩量分析方法

1、Fourier变换2、Laplace变换3、基本解与传递函数4、矩量分析方法5、线性色谱理论积分变换与矩量分析——概述积分变换——一种数学运算特点：微分的逆运算，可将求导转变为乘积运算；应用：积分变换性质的利用 方程求解，化微分方程为代数方程；频谱分析——随机信号的谱处理方法； 传递函数矩量分析积分变换与矩量分析——Fourier变换§1

Fourier变换来源与发展：

Fourier级数（有限区域，－l，+l） －→Fourier积分（无限区域） －→Fourier变换（－∞，＋∞） －→Laplace变换（0，＋∞）定义积分变换与矩量分析——Fourier变换性质 导数－→乘积 变量平移－→指数乘积

卷积－→像的乘积 能量积分积分变换与矩量分析——Fourier变换应用——解PDE三步骤 对问题进行积分变换 解像函数的问题 反变换，得到原函数解

积分变换与矩量分析——Laplace变换§2

Laplace变换Fourier变换的问题 变换条件苛刻（绝对可积） 区间含负值（－∞，∞）改进，令 则函数f1(x)的Fourier变换就不存在上述缺陷，得Laplace变换积分变换与矩量分析——Laplace变换性质 导数－→s乘积 变量平移－→指数乘积

卷积－→像的乘积 端点性质积分变换与矩量分析——Laplace变换Laplace逆变换

1）查表法

2）根据定义计算复平面上的围道积分

3）有理函数展开法——化为简单分式求逆

积分变换与矩量分析——基本解§3

基本解与传递函数δ函数基本解E(t)满足物理意义——单位脉冲输入或单位点源（质量源、动量源、热源、点电荷）形成的响应或分布

积分变换与矩量分析——基本解为什么要求基本解？ 为了构造一般非齐次方程的解基本解的求取——积分变换法 方法优势：δ函数的积分变换恒为1，正、逆变换易例5.15

积分变换与矩量分析——传递函数传递函数 系统对单位脉冲输入的响应 基本解的像函数传递函数的求取——积分变换法为什么要引入传递函数？因为不需求逆变换，可方便复杂系统的运算，特别对于串连系统和反馈回路系统积分变换与矩量分析——矩量分析§4

矩量分析矩的概念——分布函数的数字特征矩与积分变换的关系

矩量分析——不求逆变换而获得数字特征的方法

积分变换与矩量分析——矩量分析停留时间分布的矩量分析

RTD方法思想：热模与冷模解耦研究 矩量分析：建立矩与返混参数之间关系，指导冷模 实验测定 模型

积分变换与矩量分析——矩量分析传递函数矩与参数的关系

积分变换与矩量分析——矩量分析脉冲动态实验方法原理

数学模型传递函数输出信号的各阶矩测定矩值积分变换与矩量分析——矩量分析§5

线性色谱理论考虑外扩散时的色谱过程床层模型颗粒模型积分变换与矩量分析——矩量分析

颗粒传递函数床层传递函数方差加和原理积分变换与矩量分析——矩量分析同时考虑内外扩散的色谱过程颗粒模型积分变换与矩量分析——矩量分析

颗粒传递函数 方差加和性质 串连过程的总方差等于各步方差之和积分变换与矩量分析——矩量分析传递阻力的等效模型在保持过程总方差相同的情况下，可以采用简化的等效模型代替复杂的多步串连模型颗粒内外扩散阻力的归并——等效传质系数积分变换与矩量分析——小结传递阻力的等效模型在保持过程总方差相同的情况下，可以采用简化的等效模型代替复杂的多步串连模型颗粒内外扩散阻力的归并——等效传质系数积分变换与矩量分析——矩量分析传质阻力与返混项的归并——等效简化模型 表观扩散系数 等效的平衡模型第五章积分变换与矩量分析——小结积分变换概念的引出及其发展Fourier级数－→Fourier变换－→Laplace变换－→－→基本解－→传递函数－→矩量分析 上述方法在概念上都是一脉相承的。方法应用 积分变换 传递函数 各有其适用的问题与条件 矩量分析近似解析方法1、奇异摄动法2、试验函数法3、正交配置法近似解析方法——概论解析解与数值解的比较

解析解——由简单函数关系式直接给出的对应关系 结构简单，计算代价小 结果可靠，直观，便于应用 对一般问题难以得到 数值解——以大量数字对应方式给出的函数关系 适用性广，可处理复杂问题和大规模问题依赖于计算工具和特定算法，代价较大近似解析方法——概论

近似解析解——准确解的近似解析表达式 局部精确性较差，但整体规律性好 形式简单而满足工程应用 容易得到数学问题的求解原则 首先求准确解析解 其次求近似解析解 最后采用数值解近似解析方法——摄动法§1摄动法

摄动法——将问题对小参数进行级数展开的求解方法 正则摄动：小参数直接展开的方法 奇异摄动：直接展开失效后采用的专门方法或改进方 法近似解析方法——摄动法1、正则摄动与奇异摄动例1

最高次项含小参数的非线性代数方程的求解 设

得

近似解析方法——摄动法正则摄动只能得到一个根，因为直接展开失去了问题的非线性性质。 近似解析方法——摄动法如果作变换y=u/

，得

然后对u直接展开，得到另一个根近似解析方法——摄动法

准确解为

当

→0时，其两个根分别趋于y→a和y→

－1，对应的两个摄动解分别称为正则摄动解与奇异摄动解。近似解析方法——摄动法例2小参数位于非导数项中的情况 设 得近似解析方法——摄动法近似解与准确解极为接近，这种情况下正则摄动法是奏效的。

近似解析方法——摄动法

例3方程最高阶导数乘小参数的情况 当

＝0时，方程由二阶退化成一阶方程，近似解只能满足一个边值而难以同时满足两个边值。近似解析方法——摄动法直接展开得到

取x=1处的边界条件y0(1)=

，y1(1)=0，得到

近似解析方法——摄动法

在x=0处 因此，近似解不满足x=0处的边值。近似解析方法——摄动法分析：x=0处存在一个边界层 边界层的存在是小参数乘最高阶导数问题的特征

近似解析方法——摄动法概念：渐近级数与收敛级数 收敛级数：按变量展开的级数，如泰勒级数，三角级数，幂级数等，级数的精度随项数的增加而提高； 渐近级数：按参数展开的级数 系数yn(x)是由展开后的问题顺序解出的，因此级数不一定收敛，一般只取级数的2～3项。近似解析方法——摄动法2、边界层方法 基本思想：放大镜——将空间边界层放大，使分布变平缓，突出边界层内的作用；慢镜头——将时间尺度放大，使变化减缓，突出快速变化的过程。历史来源与发展：

Prandtl边界层方程，Blasuis匹配方法，PLK方法近似解析方法——摄动法边界层方法的求解步骤

1、外解——直接展开

2、内解——边界层放大

3、匹配——内解与外解的衔接

4、合成——内解与外解的组合近似解析方法——摄动法例3

1、外解

近似解析方法——摄动法

2、内解

边界层放大，定义内部坐标近似解析方法——摄动法

取

＝1以保留二阶导数项，得 令 得近似解析方法——摄动法

解出0阶近似 常数C由匹配条件确定近似解析方法——摄动法 3、匹配

Prandtl匹配原理——0阶近似的匹配方法 得0阶内解近似解析方法——摄动法 4、合成

加法合成法 合成解＝外解＋内解－公共部分

高阶近似的匹配——VanDyke匹配原理

n项外解的m项内部展开＝m项内解的n项外部展开

近似解析方法——摄动法匹配后的两项近似内解合成后的两项近似解近似解析方法——摄动法3、时间边界层——刚性问题（stiffequs)

刚性问题：具有不同时间尺度的变化问题； 特点：快步骤与慢步骤共存 拟稳态近似与定常态近似 计算难点：数值振荡，多步Gear方法 奇异摄动：慢镜头分析，给出完整的结果近似解析方法——摄动法

例

慢时间尺度解（

＝0）——拟稳态近似近似解析方法——摄动法

快时间尺度解——定常态近似近似解析方法——摄动法合成与匹配——VonDyke匹配原理 例：催化剂的平行失活问题

反应快、失活慢，二者均需要考虑近似解析方法——摄动法无量纲化

1、先求内解，内解可完全确定

近似解析方法——摄动法

令

近似解析方法——摄动法得到两项近似内解

近似解析方法——摄动法2、直接展开求外解，外解不满足初值，含任意常数3、内、外解匹配确定外解任意常数

得到外解近似解析方法——摄动法

近似解析方法——摄动法4、合成含有快、慢尺度的统一解

近似解析方法——摄动法

近似解析方法——摄动法4、移动的空间边界层问题

非线性色谱过程的浓度前沿 非线性吸附效应与扩散效应之间的竞争作用 移动的空间边界层的形成求解思路 外解——非线性色谱问题的激波解 内解——采用跟随激波的移动坐标系，放大边界层 匹配与合成近似解析方法——摄动法问题

近似解析方法——摄动法1、外解

由特征线法浓度激波位置xs由匹配条件确定

近似解析方法——摄动法2、边界层内解

积分得3、匹配近似解析方法——摄动法由以上Prandtl匹配条件得激波间断关系解得激波轨迹

边界层内解近似解析方法——摄动法

近似解析方法——摄动法4、0阶近似合成解

近似解析方法——试验函数法§2试验函数方法

思想：用已知的、含待定参数的简单函数近似代替准确解，用积分形式的方程或点近似方程代替微分方程，确定不定参数。 以牺牲一些局部的精确性为代价，换取对问题整体规律性的把握，在一定的近似范围内解决问题。 要点：试验函数的选择 残差处理方法近似解析方法——试验函数法1、试验函数与方程残差

例1落石问题 分析：下落速度从零增加到末速度近似解析方法——试验函数法设试验函数为

是待定参数，代入方程得到残差若要求在t=τ时刻方程成立，R(τ)=0，得近似解析方法——试验函数法由准确解

特点：方程只在一个点满足，近似解“八九不离十” 例2催化剂颗粒有效系数计算

近似解析方法——试验函数法

设试验函数要求方程积分满足，得近似解析方法——试验函数法取s=0，r(y)=y

，得

准确解

<1时，相差甚微（1%左右），

越大相差越大。 原因：快速反应浓度分布空心化，偏离抛物分布。近似解析方法——试验函数法改进，对于快速反应，采用以下蛋白型试验函数

仍要求方程积分满足，确定参数xp近似解析方法——试验函数法

准确解，说明试验函数越接近真实，结果越准确。

例3试井问题

拭井：反求地层参数的工业试验方法，压力变化方程近似解析方法——试验函数法

近似解析方法——试验函数法分析：影响半径R＝R(

)，漏斗型分布，拟稳态假设

无穷远边值的有限化

积分平均近似

拟稳态试验函数近似解析方法——试验函数法由边界条件

影响半径为待定函数，代入积分的压力方程，得准确解近似解析方法——试验函数法小结：试验函数法试验函数的选择 尽可能接近真实 事先满足初始与边界条件方程残差的处理 点近似 积分平均近似 加权积分近似近似解析方法——试验函数法2、空间平均近似

例：球形颗粒上的不定常扩散

采用抛物型试验函数:近似解析方法——试验函数法代入方程，令空间积分为0，得

系数A由初始条件确定，定义空间平均浓度，得由初值为0

近似解析方法——试验函数法近似解与准确解的比较： 长时间后准确，短时间内偏离。 原因：渗透区的存在，偏离抛物型试验函数。近似解析方法——试验函数法近似解析方法——试验函数法改进——取渗透型试验函数由空间平均近似近似解析方法——试验函数法短时间解准确解近似解析方法——试验函数法3、边界层动量积分方法 问题：Prandtl边界层方程，非线性PDE方程组

y=0:u=v=0;y→∞:u=U,v=0

x<0:u=U,v=0近似解析方法——试验函数法

方法要点： 在边界层内用积分形式的动量方程代替微分方程 选择满足边界条件的多项式或其它函数为试验函数近似解析方法——试验函数法1）边界层积分动量方程的推导 边界层厚度(x)是一个待定的函数近似解析方法——试验函数法2）试验函数的选取 满足以下边界条件取近似解析方法——试验函数法代入动量积分方程得到确定边界层厚度

(x)的方程准确解近似解析方法——试验函数法4、加权余量法（Galerkin方法）

残差加权积分为0的近似方法权函数的选择