高考数学重点考点解析49

第十二章概率与统计

12.2古典概型与几何概型

专题古典概型的概

1率

■（2015江西南昌一模，古典概型的概率,填空题，理13）将a,b,c,d四封不同的信随机放入A,B,C,Q4个

不同的信封里，每个信封至少有一封信.其中“没有放入A中的概率是.

解析:利用排列组合求出基本事件的个数，代入古典概型的概率公式求解.将四封不同的信随机放入四

个不同的信封中，每个信封至少有一封信的放法有A：=24种,其中信。放入A中的结果有A多=6种，故

“信。没有放入A中”的概率为1与=14=1二=最

A彳44

答案:|____________________________

专题几何概型在不同测度中的

3概率

■（2015河北石家庄一模，几何稷型在不同测度中的概率,选择题，理8）已知O,A,B三地在同一水平面

内工地在。地正东方向2km处,B地在。地正北方向2km处,某测绘队员在4,8之间的直线公路上

任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘,0地为一磁场，距离其不超过旧km的范围内会对测绘仪

等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）

B•乎

A-1CJ-fD.l-y

解析:以0为原点建立平面直角坐标系，如图，测绘受磁场干扰的范围是以原点为圆心，半径为次的圆

及其内部区域，其方程为d+y2=3,测绘点C所在的轨迹方程为x+y=2（0Wx<2）,因此测绘员获得数据

不准确的概率为线段4B在圆内的长度与线段AB长度的比值.因为线段AB的长度为2夜，而0到线

段AB的距离为介。=&，圆O截线段4B所得的弦的长度为2员获得准

确数据的概率为1-容，故选C.

答案:C

■（2015江西南昌二模，几何概型在不同测度中的概率,填空题，理14）若在圆C:f+y2=4内任取一点

二的概率是-----------

P(XJ),则4

23

解析:不等式组表示的区域的面积为（l-x）dr=2x^x-1x^=*所以其概，率为.=*

较空.J_

口不,311

■（2015河北保定一模，几何概型在不同测度中的概率,选择题，理5）在边长为4的正方形ABCD内任

取一点则NA用B>90°的概率为（)

A7T

A,8B•吗C-D•吟

解析:如图正方形的边长为4,图中白色区域是以A8为直径的半圆，当M落在半圆内时,/AMB>90°,

所以使NAM8>90°的概率「=不S*=21><：：22=].故选A.

s正方形168

D\

答案:A

■(2015河北石家庄二中一模，几何概型在不同测度中的概率,选择题，理8)若从(0,e)内随机取两个数,

则这两个数之积不小于e的概率为()

A.l-iB.1--D.-

eec.e-e

解析:设这两个数为x,y,则所有基本事件应满足《：；：；’满足两个数之积不小于e的区域为

0<x<e,2

0<y<e,则其面积为fei(e-：)dr=(ex-elar)『i=e2-2e,所以所求概率为3菖=1,，故选B.

xy>e,

答案:B

■(2015江西九校高三联考，几何概型在不同测度中的概率,选择题，理9)已知P是AABC所在平面内

一点,4方+51+3可=0,现将一粒红豆随机撒在"BC内，则红豆落在△尸8c内的概率是()

A，-4B-5c-nD2

解析:依题意，易知点P位于AABC内，作西=4而，际=5近，西=3对,则有西+陶+西=0,点P

是△AIBG的重心.SAPBIQ—SAPQA—SAPAB［，而S^PBCx1)xi).

3_1

x；)SAPA]BI，因此S&PBC­S^PCA:S"AB=3：4；5,即S&PBC

=不

SMBC+SAPC4+SM483+4+5

即红豆落在AP8C内的概率等于故选A.

答案:A

12.4离散型随机变量的均值与方差

专题离散型随机变量的均值与

2方差

■(2015河北保定一模，离散型随机变量的均值与方差,解答题，理18)小明参加某项资格测试，现有10

道题，其中6道客观题,4道主观题，小明需从10道题中任取3道题作答.

(1)求小明至少取到1道主观题的概率；

(2)若所取的3道题中有2道客观题』道主观题,设小明答对每道客观题的概率都是|,答对每道主观题

的概率都是,且各题答对与否相互独立，设X表示小明答对题的个数，求X的分布列和数学期望.

解：(1)设事件A="小明所取的3道题至少有1道主观题”.

则有彳="小明所取的3道题都是客观题”.

因为P(A)=孕=之所以P(A)=1-P(彳)冬

C1066

(2)X所有的可能取值为0,1,2,3.

即=0)=(|)飞=展；

尸(x=M《)飞)三+时卜备

2)=(|)y+噫飞"=急

尸(X=3)=(|)2]=

X的分布列为

.\0123

4285736

弊

所以EX=0x而+1x而+2x示+3x言=2，

■(2015河北石家庄二中一模，离散型随机变量的均值与方差,解答题，理18)在一次考试中,5名同学的

数学、物理成绩如下表所示：

学生ABCDE

数学a

89919395

分)

物理。

S7S989()2

分)

(1)根据表中数据，求物理分y对数学分X的回归方程；

(2)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中物理成绩

高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X).

(AAAA(xrx)(y.-y)AA\

I附:回归方程y=bx+a中力=---------,a=y-bx

\2(久同2I

\i=l/

89+91+93+95+97

解:⑴：％=二93,

5

87+89+89+92+93

=90,

y=5

5

222222

・：£(xrx)=(-4)+(-2)+0+2+4=40,

i=i

5

£(Xr%)(y,-y)=(-4)x(-3)+(-2)x(-l)+0x(-1)4-2x2+4x3=30,

i=l

AAA

on30_

・：b=—=0.75,a—y—bx=20.25,

A

・：物理分y对数学分x的回归方程为y=0.75x+20.25.

⑵随机变量X的所有可能取值为0,1,2,

P(X=0)=^|=和(X=l)=笔2=|;

尸…露

故X的分布列为

M)I2

1T

66

ZEX=0xi1+lx2^+2xi1=l.

636

(2015河北衡水中学二模，离散型随机变量的均值与方差,解答题，理18)某校为了解2015届高三毕业

班准备报考飞行员学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布

直方图(如图),已知图中从左到右前3个小组的频率之比为1；2；4,其中第二小组的频数为11.

(1)求该校报考飞行员的总人数；

(2)若以该学校的样本数据来估计全省的总体数据,从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选3人，

设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的数学期望与方差.

解:(1)设该校报考飞行员的总人数为〃，前三个小组的频率为P“P,,P%

住=2Pi,

则P3=4P>

31+「2+23+5x(0.017+0.043)=1,

1

解得p

25'

2

p

35,

由于=已故n=55.

z5n7

(2)由(1)知，一个报考学生的体重超过60公斤的概率为P=P3+5x(0.017+0.043)=^,

由题意知X服从二项分布，即

.：P(X=A)=仁晶?儒广"(&=o,l,2,3).

与

.•.L£X=X3x-Z=-21,ADVX=3x-7x-3=—63

■(2015江西九校高三联考，离散型随机变量的均值与方差,解答题，理18)某旅游景点推出了自动购票

机，为了解游客买票情况及所需时间等情况，随机收集了该景点100位游客的相关数据，如表所示:(将

频率视为概率)_____________________________

12345张以

一次购票

张张张张上

游客人数V253010

所需时间(秒/

3035404550

人)

已知这100位游客中一次购票超过2张的游客占55%.

(1)求》,丫的值；

(2)求游客一次购票所需时间X的分布列和数学期望；

(3)某游客去购票时，前面恰有2人在买票，求该游客购票前等候时间超过1.5分钟的概率.

解:⑴由题得30+y+10=55,即y=15,所以x=20.

oni1

(2)X的可能取值为30,35,40,45,50,则P(X=30)=^=*(X=35)=念=主

JLUUO*T

尸的4。)=3丽0=.3，P(X=45)=篇15=.3

产的50)=盖=4

则X的分布列为

\303540455()

11331

i'

5410201Q

即X的数学期望为EX=30x9+35x；+40x2+45x2+50x士=38.5.

54102010

(3)记A为事件“该游客购票前等候时间超过1.5分钟”，

31131

P(A)=P3=45)XP(X2=50)+P(XI=50)XP(X2=45)+P3=50)XP(X2=50)端x—+点x亮+点X

JLUX\JLtxzX\J

J__J_

10-25,

■(2015河北石家庄一模，离散型随机变量的均值与方差,解答题，理18)集成电路E由3个不同的电子

元件组成，现由于元件老化,三个电子元件能正常工作的概率分别降为34,|,且每个电子元件能否正

常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修,且维修

集成电路E所需费用为10()元.

(1)求集成电路E需要维修的概率；

(2)若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的

分布列和期望.

解:⑴三个电子元件能正常工作分别记为事件则P(A)g1,P(B)苫1,P(O=(7.

依题意，集成电路E需要维修有两种情形：

①3个元件都不能正常工作率为Pi=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=^x|x1

②3个元件中的2个不能正常工作,概率为P2=P(ABC+ABC+

ABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=^xixi+^xix^4-ixix^=^=^.

,:集成电路E需要维修的概率为Pl+P2=^+l=1

(2)设《为维修集成电路的个数，则卷)，而

X=100"(X=100k)=Pe=A)=C§⑶“信广隈=0,1,2.

.：X的分布列为

\0100200

493525

/)

14472144

•LXZc49,1八八35me25250「。.八八八八5250\

••EX=0x——+100x—+200x--=——।或EX=lOOEf=4100xn2x—=-r-).

■(2015河北唐山一模，离散型随机变量的均值与方差,解答题，理18)小王在某社交网络的朋友圈中，向

在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个.

(1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；

(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个,10元的1个，记乙所得红包的总钱数为X,求X的分布列和

期望.

解:⑴设“甲恰得一个红包”为事件4,

P(A)=Clx|x|=J

(2)X的所有可能值为0,5,10,15,20.

P(X=0)=(|)2x|=^,

P(X=5)^X|X(|)2=A

2

^W)<X|.(|)X|=A

P(X=15)=Gx(§x|=5

p(x=20)=(i)3=-L.

X的分布列为

0510152()

88641

1)

27272727%7

EX=0x^+5xA+1OxA+15x±+20x^=冬

■(2015江西南昌一模，离散型随机变量的均值与方差,解答题，理18)某市教育局为了了解高三学生体

育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布

M80,/)(满分为100分)，已知P(X<75)=0.3,P(X》95)=0.1,现从该市高三学生中随机抽取三位同学.

⑴求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间［80,85),［85,95),［95,100］各有一位同学的概率；

(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间［75,85］的人数为媒求随机变量4的分布列和数学期望

E4.

解:(l)P(80WX<85)=0.5-P(XW75)=0.2,

P(85<X<95)=0.3-0.1=0.2,

所以所求概率P=A1x0.2x0.2x0.1=0.024.

⑵P(75WXW85)=1-2尸(X<75)=0.4,

所以服从二项分布B(3,0.4).

p((f=0)=0.63=0.216,P(c=1)=3X0.4X0.62=0.432,

P(C=2)=3x0.42x0.6=0.288,P(<f=3)=0.43=0.064,

所以随机变量^的分布列是__________

0123

0.2160.4320.2880.064

心=3x0.4=1.2(人).

■(2015江西南昌二模，离散型随机变量的均值与方差,解答题，理18)如图是某市11月1日至15日的

空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200,表示空气重

度污染.该市某校准备举行为期3天(连续3天)的运动会，在11月1日至11月13日任意选定一天开

幕.

1日2日3日4日5日6日7日8日9日10011日12日13日14日15日

日期

(1)求运动会期间至少两天空气质量优良的概率；

(2)记运动会期间，空气质量优良的天数为。求随机变量。的分布列和数学期望.

解:(1)该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有:1日,2日,3

日,8日,9日，10日，12日,所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是尸2=5.

(2)随机变量^所有可能取值有0,1,2,3,

%=0)=［，尸(勺1)陪尸(勺2)哈尸(勺3)=表，

所以随机变量^的分布列是

II13ll3ll3ll3l

随机变量^的数学期望是£^=0x^+1XA+2XA+3X^=咎

■(2015江西赣州高三摸底考试，离散型随机变量的均值与方差,解答题，理19)某校学生参加了“铅球”

和“立定跳远”两个科目的体能测试,每个科目的成绩分为4,8,C,2E五个等级，分别对应5分、4分、

3分、2分、1分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的

学生有16人.

(1)求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数；

(2)若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分,其中有2人10分,2人9分,6人8分.从这10人中

随机抽取两人，求两人成绩之和X的分布列和数学期望.

解:(1)因为“铅球”科目中成绩等级为E的考生有16人，

所以该班有16—0.2=80人,

所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数为80x(1-0.375-0.375-0.150-0.025)=6.

2]]

(2)设两人成绩之和为X,则X的值可以为16,17,18,19,20,尸。=16)=孕=学/(*=17)=华12

Cio45Cfo再

P(X=18)=警+3=初(X=19)=等=白尸(X=20)普1

LioLioa5o"5o45'

所以X的分布列为

,\1617IS1920

15121341

I1

4S4545454S

所以EX=16xt+17x^|+18x^|+19x2+20x上=貉

45454545455

所以X的数学期望为第

■(2015河北石家庄高三质检一，离散型随机变量的均值与方差,解答题，理19)某学校为了解学生身体

发育情况，随机从高一学生中抽取40人作为样本，测量出他们的身高(单位:cm),身高分组区间及人数

见下表：

一

分

组1155,160)[160,165)1165,170)1170,175)[175,1801

一

人

a814h2

数

(1)求a,b的值并根据题目补全直方图；

「频率

组距

0.07——y

0.06——|

0.05------TV

0.04——+

0.03--------

0.02--------n------1

0.01---------------------—

oL^J————।——!——।——।---------►

155160165170175180身高