福建省漳州市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题（北师大版A卷）（含答案解析）

福建省漳州市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

（北师大版A卷）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若土=],则'的值为（）

7八7「3>4

A.-B.-C.—D.一

4347

2.下列方程是一元二次方程的为（）

A.x+l=0B.—=1

x

C.x2~x=2D.(x-1)2+1=N

3.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）

A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.四条边都相等

4.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△A8C的三个顶点均在格点上，则

5.抛物线），=/通过平移，得到抛物线y=x2+l,则该平移方式正确的是（）

A.向上平移I个单位B.向下平移1个单位

C.向左平移1个单位D.向右平移1个单位

6.在不透明布袋中装有除颜色外其它完全相同的红、白玻璃球，其中白球有60

个.同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数

约为（）

A.15个B.20个C.25个D.30个

7.下列说法正确的是（）

A.任意两个菱形都相似

B.任意两个正方形都相似

C.任意两个等腰三角形都相似

D.任意两个矩形都相似

8.在△ABC中，ZC=90°,若AC=1,BC=3,贝IsinB的值为()

A.-B.叵C,D.3

31010

9.如图，在AABC中，D,E分别是边AB,AC上的点，且AZ>=2,BD=1,

DE//BC.则下列说法不正确的是（

B..ADEfABC

2

C.DE=-BCD.S/\ADE^/\ABC

3

4

10.在平面直角坐标系xO），中，直线y=fcv与双曲线>=一的图象交于A,B两点，点

x

P在x轴的正半轴上，若以，尸B,则OP的最小值是（）

A.4B.2C.4&D.2&

二、填空题

11.计算：cos60°=.

12.抛物线y=2（x-1）2+2的顶点坐标是.

13.菱形A8CC的面积为24,对角线AC的长为6,则对角线8。的长为.

14.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A/B/G是位似图形，且顶点都在格点

15.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户

高、广各几何？'‘大意是说：“已知有一扇长方形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1

丈（1丈=10尺），那么门的高和宽各是多少？”如果设门的宽为x尺，则可列方程为

16.关于二次函数y=N-8x+7；现给出以下结论：

①图象的开口向下；

②图象与y轴的交点坐标为(0,7)；

③当x>4时，y的值随x值的增大而增大：

④)，的最小值为-9.

其中正确的是.(写出所有正确结论的序号)

三、解答题

17.解方程:x2-4x+3=0.

18.如图，矩形ABCQ的对角线相交于点。，BE//AC,AE//BD.求证：四边形

AE8。是菱形.

m—S

19.已知反比例函数>=巴上的图象位于第一、三象限.

x

(1)求机的取值范围；

(2)若该反比例函数的图像与一次函数y=x+l的图象的交点为A(2,〃)，求相的值.

20.在全民阅读活动中，某图书馆第一个月进馆200人次，第三个月进馆392人

次.求第二个月、第三个月进馆人次的月平均增长率.

21.某校延时服务每天中午为学生提供A,B,C三种套餐，每位学生只能从中任选一

种.

(1)若某同学从中随机选一种，则其选中A种套餐的概率是.

(2)若甲、乙两位同学从中随机选一种套餐，请你利用画树状图或列表的方法，求他们

恰好选中同种套餐的概率.

22.如图，在△ABC中，AB=AC,8£>_LAC于点D

D

⑴在BC边上求作点E,使AACEs^BCD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图

痕迹）

⑵在（1）的条件下，连接OE,若48=6,DE=2,求DC的长.

23.在疫情防控工作中，某学校在校门口的大门上方安装了一个人体测温摄像头.如

图，学校大门高ME=7.5米，AB为体温监测有效识别区域的长度，小明身高8。=1.5

米，他站在点B处测得摄像头M的仰角为30。，站在点A处测得摄像头M的仰角为

60。，求体温监测有效识别区域AB的长度.

24.如图，在周长为16的正方形ABCO中，对角线AC,8。相交于点O,E,尸分别

在边48,BC上，且NEOF=90。，连接EF交08于M.

⑴求证：ABOE^/XCOF-

⑵当BE=1时;求OB・OM的值.

25.已知抛物线丫=0-2ar+c（a>0）与x轴交于点（2,0）.

（1）求抛物线的对称轴及c的值；

（2）若该抛物线与直线），=x-2只有一个公共点.

①求抛物线的解析式；

②将抛物线的图象沿无轴平移〃个单位后，当32时，），的最小值为3,请说明平移

方式.

参考答案:

1.A

【解析】

【分析】

将所求代数式进行变形，再将已知式子值代入即可求出答案.

【详解】

解：=7

y4

yyy44

【点睛】

本题主要考查了代数式求值问题的整体代入法，能将所求代数式正确变形是做出本题的关

键.

2.C

【解析】

【分析】

判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含

有一个未知数且未知数的最高次数是2.

【详解】

解：A、方程是一元一次方程，故选项不符合题意；

B、不是整式方程，故选项不符合题意；

C、方程只含有一个未知数（即"元”），并且未知数的最高次数为2（即“次”）的整式方

程，符合一元二次方程的定义，故选项C符合题意.

B、化简（x—l）2+1=/得-2X+2=0,是一元一次方程，故选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次

数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数.

3.B

【解析】

【分析】

答案第1页，共16页

矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形具有的性质就是矩形，菱

形，正方形都具有的性质.

【详解】

矩形，菱形，正方形都具有的性质：对角线互相平分.

故选B.

【点睛】

本题主要考查的是对矩形，菱形，正方形的性质的理解.

4.D

【解析】

【详解】

BC4

VAB=3,BC=4,ZABC=90°,Z.tanA=——=-.故选D.

AB3

5.A

【解析】

【分析】

直接利用二次函数图象平移规律（左加右减，上加下减）进而得出答案.

【详解】

解：抛物线y=f向上平移1个单位即可得到抛物线y=x?+l.

故选：A.

【点晴】

此题主要考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是正确记忆平移规律.

6.B

【解析】

【分析】

根据频率估计概率问题可直接进行求解.

【详解】

♦.•通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，

...摸到红色球的概率为0.25,

•••布袋中装有除颜色外其它完全相同的红、白玻璃球两种，

摸到白色球的概率为1-0.25=0.75,

答案第2页，共16页

:有白色球60个,

...球的总个数为：忌=8。，

红球个数约为80-60=20,故B正确.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题的关键.

7.B

【解析】

【分析】

根据相似图形的定义，对应的角相等，对应边的比相等对每个命题进行判断.

【详解】

解：A任意两个菱形满足四条边对应成比例，但不一定满足四个角分别对应相等，所以不

一定相似，故A不符合题意；

B任意两个正方形既满足四条边对应成比例，也满足四个角对应相等，所以任意两个正方

形都相似，故B符合题意；

C任意两个等腰三角形不一定满足有两个角对应相等，所以不一定相似，故C不符合题

意；

D任意两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，所以不一定相似,，故D不符合

题意.

故选：B.

【点睛】

本题考查的是相似图形的判定，掌握相似多边形各自的判定方法是解题的关键.

8.B

【解析】

【分析】

根据勾股定理可得再根据正弦的定义，即可求解.

【详解】

解：VZC=90°,若4c=1,BC=3,

­■•AB=4AC2+BC2=>/io，

答案第3页，共16页

故选：B

【点睛】

本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角的对边与斜边的比叫做该锐角的正

弦；锐角的邻边与斜边的比叫做该锐角的余弦；锐角的对边与邻边的比叫做该锐角的正切

是解题的关键.

9.D

【解析】

【分析】

根据平行线分线段成比例和相似三角形的判定与性质解答即可.

【详解】

解：VAD=2,BD=1,DEIIBC,

：.AE:EC=AD:BD=2:\,故选项A正确；

AAE：AC=AD：AB=2:3,又ZDAE=NBAC,

：.^ADE~^ABC,故选项B正确；

2

ADE:BC=AD:AB=2:3,\^DE=-BC,S^ADE:S^ABC=4:9,

故选项C正确，选项D错误，

故选：D.

【点睛】

本题考查平行线分线段成比例性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判

定与性质是解答的关键.

10.D

【解析】

【分析】

由图象的对称性可得从而可得。尸=。4,设点A坐标为（机,进而求解.

【详解】

解：如图，

答案第4页，共16页

4

・・・直线y二履与双曲线），=?的图象关于原点成中心对称,

x

:.OA=OB,即点。为A8中点,

•••PALPB,

・.在aAAP8中，OP=-AB=OAf

2

设点A坐标为（肛—,则OP=OA=/2+（』）=/（加_2）+8

.•.当即小=2时,0P取最小值为20.

m

故选：D.

【点睛】

本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握反比例函数的性质，掌握函

数与方程的关系，掌握直角三角形斜边中线长度等于斜边的一半.

【解析】

【分析】

直接利用特殊角的三角函数值填空即可.

【详解】

解：8s60°=；,

故答案为：

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，熟记部分特殊角的三角函数值是解题的关键.

12.（1,2）

答案第5页，共16页

【解析】

【分析】

根据二次函数》=4（犬-域+氏（。*0）的顶点坐标为（/7次），即可求解.

【详解】

解：抛物线y=2（x-1）2+2的顶点坐标为（1,2）.

故答案为：（L2）

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数y=o（x-〃）2+%（。*0）的顶点

坐标为（〃《）是解题的关键.

13.8

【解析】

【分析】

根据菱形的面积等于对角线乘积的一半直接计算即可.

【详解】

解：菱形ABCD的面积=gAUBO=24,

VAC=6,

故答案为：8.

【点睛】

本题考查了根据对角线长计算菱形的面积的方法，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半

是解题的关键.

14.（6,2）

【解析】

【分析】

根据位似中心的概念解答即可.

【详解】

解：如图可知，位似中心户的坐标为（6,2）,

答案第6页，共16页

【点睛】

本题考查的是位似变换的概念，解题的关键是掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对

应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点

叫做位似中心.

15./+(x+6)-=102

【解析】

【分析】

设门的宽为x尺，则(x+6),根据勾股定理，列出方程，即可求解.

【详解】

解：设门的宽为x尺，则(x+6),根据勾股定理得：

/+(x+6,=102.

故答案为：/+(x+6)2=102

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，明确题意，准确得到数量关系是解题的

关键.

16.②③④

【解析】

【分析】

根据二次函数解析式中二次项的系数大于0即可判断①；求出当x=0时，y=i,由此即

答案第7页，共16页

可判断②；将二次函数的解析式化成顶点式，由此即可判断③；根据二次函数的顶点式即

可判断④.

【详解】

解：•.•二次函数y=f-8x+7中的二次项的系数为1>0,

・.・函数图象的开口向上，结论①错误；

当x=0时，y=7,

则图象与y轴的交点坐标为(0,7),结论②正确；

二次函数y=》2-8x+7化成顶点式为y=(x-4)2-9,

则当x<4时，y随x的增大而减小；当x>4时，y随x的增大而增大，当x=4时，y取得

最小值，最小值为-9,结论③④正确；

综上，正确的是②③④，

故答案为：②③④.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键.

17.x/=3,X2=l

【解析】

【分析】

利用因式分解法求解即可.

【详解】

解：/一4/3=0,

(x-3)(x-1)=0,

/.x-3=0或x-l=0,

.".Xl=3,X2=l.

【点睛】

本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法的步骤是本题的关键，解一

元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特

点灵活选用合适的方法.

18.见解析

【解析】

答案第8页，共16页

【分析】

首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形04EB是平行四边形，再根据

矩形的性质可得OA=OB,即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论.

【详解】

证明：-：BE//AC,AE//BD,

...四边形AEBO是平行四边形.

•.•四边形ABCD是矩形，

：.OA^OB=-AC^-BD

22

.••四边形AE8。是菱形.

【点睛】

本题考查矩形的性质和菱形的判定，掌握他们的性质和特征是本题关键.

19.(l)m>5；

(2)m的值为11.

【解析】

【分析】

(1)由反比例函数图象位于第一象限得到&=怙5>0,即可求出团的范围；

(2)将A坐标代入正比例函数解析式中求出〃的值，确定出A坐标，代入反比例解析式中

即可确定出反比例解析式.

(1)

解：•反比例函数位于第一、三象限，

/.fc=/n-5>0,

解得m>5；

(2)

解：点A(2,n)在一次函数产r+1的图象上，

〃=2+1=3,则A点的坐标为(2,3).

又・・•点A在反比例函数产"-上(加为常数，x>0)的图象上，

x

A??-5=2X3=6,

•*."1=11.

・・・加的值为11.

答案第9页，共16页

【点睛】

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：反比例函数的图象与性

质，待定系数法求反比例解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

20.第二个月、第三个月进馆人次的月平均增长率为40%.

【解析】

【分析】

设第二个月、第三个月进馆人次的月平均增长率为x,利用第三个月进馆人次数=第一个月

进馆人次数X(1+月平均增长率)2,即可得出关于X的一元二次方程，解之取其正值即可

得出结论.

【详解】

解：设第二个月、第三个月进馆人次的月平均增长率为X,

依题意得:200(1+jc)2=392,

解得:x/=0.4=40%,X2=-2.4(不合题意,舍去).

答：第二个月、第三个月进馆人次的月平均增长率为40%.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

21.(1)1

⑵1

3

【解析】

【分析】

(1)直接根据概率公式求解即可；

(2)根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概

率公式即可得出答案.

(I)

解：根据题意得：选中A种套餐的概率是

(2)

解：根据题意，画出树状图如下：

答案第10页，共16页

开始

ABC

/4\/N/N

ABCABCABC

共有9种等可能结果，其中恰好选中同种套餐的有3种，

，恰好选中同种套餐的概率|=1.

【点睛】

本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解

题的关键.

22.(1)见解析

4

(2)DC=-

【解析】

【分析】

(1)作于点E,根据两个角对应相等可判定两个三角形相似；

(2)由AC=A8=6,AE±BC,得E是BC的中点，再证8c=2£>E=4,CE=DE=2,

再根据△ACEsABCD即可求解.

(1)

解：如图，作AEJ_BC于点E,

"：BDLAC,AELBC

：.ZADB=ZAEC=90°

又•:ZC=ZC

/XACE^/XBCD

答案第II页，共16页

点即为所作.

(2)

如图所示，连接。E,

'：AC=AB=6,AELBC,

.♦.E是8c的中点

又DE=2,

：.BC=2DE=4,CE=DE=2

'：^ACE^^BCD

.=4，即9=2,

BCDC4DC

4

解得：DC=-

4

即0c的长为

【点睛】

本题考查作图与相似变换.解题的关键是掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性

质.

23.4G

【解析】

【分析】

首先分析图形，根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构

造三角关系，进而可求出答案.

【详解】

解：根据题意可知：四边形EFC4和ABOC是矩形，ME=7.5米,

.•.C4=EF=B£>=1.5米，CD=AB,

答案第12页，共16页

设FC=x,

在RAMFC中,

•.•/MCF=60。，

/.ZFMC=30°,

MC=2FC=2x,MF=y/3x,

•.♦NM£)C=30。，

.-.ZCMD=60°-30°=30°,

/.CD=CM=2x,

■：ME=MF+EF,

，6X+1.5=7.5,

解得：x=2-fi,

.-.MC=2x=4y/3(米).

答：体温监测有效识别区域AB的长为4g米.

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数的定义及特殊角的三角

函数值，熟练掌握以上知识是解答此题的关键.

24.⑴见解析

(2)5

【解析】

【分析】

(1)由“ASA”可证△BOE当ACOF；

(2)通过证明△EOMsaBOE,可得OE2=O"OM,由等腰直角三角形的性质可求解.

(1)

证明：：四边形438是正方形，

：.AO=CO=BO=DO,AC±BD,NABO=NACB=45。，

NB0C=NE0F=9U°,

：.NEOB=NFOC,

在ABOE和△CO/中,

答案第13页，共16页

ZABO=ZACB

<OB=OC,

ZBOE=Z.COF

：./\BOE^/\COF(ASA)；

(2)

,:4B0E经ACOF,

・・・OE=OF,

：.ZOEF=45°,

ZABO=ZOEF,

XV/BOE=/BOE,

:•△EOMSXBOE、

,OMOE

••=,

OEOB

：.OE2=OB'OM,

如图，过点。作0HLA8于H,

♦.,正方形A8C。的周长为16,

：.AB=4,

'：OA=OB,ZAOB=90°,OHLAB,

:.AH=BH=2=0H,

；BE=l,

：.HE=\,

：.OE^=OH2+HE2=5,

：.0B-0M=5.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角

形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键.

25.⑴抛物线对称轴为直线x=l,c=0；

答案第14页，共16页

2

⑵①尸yx-x；②沿x轴向左平移Q-2个单位或向右平移3+近个单位

【解析】

【分析】

（1）根据抛物