高等数学课后习题参考答案

参考答案与提示

习题1-2

1、/(0)=7；/(4)=27；〃一；)=9；f(a)=2/-3a+7；

/(x+1)=2x2+x+6

2、/(-2)=-l；/(-1)=0：/(0)=l;/⑴=2

3、⑴[-l,0)U(0,l]；(2)x>l(3)[-1,3](4)(-oo,l)U(l,2)U(2,+oo)

4、(1)y-V2+cos2x(2)y-arccot3A

习题1-3

1.(1)5；(2)1；(3)不存在；(4)不存在

qa

2.(1)2；(2)—；(3)—；(4)V2-3；(5)V2—1；(6)1.

22

习题1-4

1.(1)无穷小：(2)无穷大；(3)无穷大(—8)；(4)xf(T时是无穷小；x-0

时是无穷大；

2.(1)同阶无穷小：(2)高阶无穷小；(3)等价无穷小

3.(1)1；(2)—；(3)—；(4)1

22

习题1-5

5230-33019

(1).24;(2).0;(3).—；(4).oo；(5).---——；(6).---；(7).0；(8).------

35502125

50.+9,、

(9).----------；(10).0

24

习题1-6

cinx2

1.⑴-(2)lim-——=-l；(3)4；(4)-(5)2；(6)2

3

2

2.(1)e8(2)e-1；(3)e《；(4)e<(5)/；(6)e

习题1-7

1.tz=1；b=1

2.(1)x=±l是第二类间断点中无穷间断点；(2)x=O是第二类间断点中的无穷间

断点；(3)x=l是第一类间断点中可去间断点；(4)x=-l是第二类间断点中的无穷间断

点，x=l是第一类间断点中的跳跃间断点

3.(1)ln(e+1)；(2)-V2；(3)310g“e；(4)1

3

复习题一

3

1、(1)1；(2)(-2,0)U[1,2]；(3)[0,3);(4)3；(5)ek；(6)|；(7)2；(8)第

一类间断点且可去间断点

2^(1)C；(2C(A.y=Jx—1；C.y=—Jx—1)；(3)B；(4)B；(5)C；

(6)。；(7)A：(8)4

・3

sinx

lim——31;(5)-；

xfo(smx)3

x+3乃

⑹lim(sinx+2)=0；(7)cosa；(8)--

X—>COx2—x

4、a=1

3

5、a=—

2

6、a=4,b=6

7、(1)—；(2)

2

8、（1）勺=1是第一类间断点且是可去间断点，£=2是第二类型无穷间断点；（2）

7T

X1=0是第一类间断点且是可去间断点，z=A7+］（&WZ）是第二类型无穷间断点；（3）

x=0是第一类间断点且是可去间断点；（4）x=0是第一类间断点且是跳跃间断点

9、a=I

习题2-1

1、(1)V(2)X(3)X(4)X(5)X⑹、V

2

2、v=12+6Af+(A/)vlA,_0l=12.6171^,0(),=12.0601vl,_2=12

3、/'(x)=2

4、(1)在x=0处连续且可导

(2)在x=0处连续，但不可导

5、切线方程：2x—y—1=0法线方程：x+2y—3=0

,dO

力』

7—

、~dt

习题2・2

1、(1)X(2)X⑶、X(4)、V(5)、X

2、(1)r(0)=0r(j)=/r⑵/,(o)=i=

(4)r⑴=-；/⑷=1

（3）r（o）=or（i）=i3

3、略

4、(l)6x2+6x+4(2)2'In2——

X

i

(3)2.5—2九一2一201一611

(4)cosx+--------产

X2yjx

11・

(5)优(In〃•sinx+cosx)(6)cosx-lnx+—sinx

X

(7)9X2+8X-3(8)2(2x+x2tanx+2secx)secx

1-21-1xsinx+1+cosx

(9)——x2——K2(10)----------；-------

22x

X2+x72cosx

(H)-(12)-

(x-1)2(sinX_

cosx-xsinx+xcosx+x2cosx

(13)(14)

77^7(I+X)2

xcosx-2sinx

(I5)2'x-'In2-2V%-2(16)

2x3

5、切线方程：xln2—y+l=0法线方程：x+yln2-ln2=0

6、切点坐标：（―1,—1）切线方程：x+y+2=0法线方程：x—y=0

习题2・3

1、(1)V(2)X(3)X(4)X

c清

2^(1)(r+4x+l)(2)—7=(3)-tanx

2vx

⑷31n2(x+l)

(5)nxn-1(nlnx4-l)(6)sin2xsinx2+2xsin2xcosx2

x+1

⑺cos(lnx)2，^+14

(8)——](9)%y)2

2xjsin(lnx)4y/x\Jx+\[x

arcsinx

12(1—f)

(10)(11)I-----;(12)T7ro

Vl-x'<4-x'

/，(1)=

1f"4)=W

3、fM=

4ydi十6

4、切线方程：2x-y-e=0法线方程：x+2y—3e=0

5、3x-y-2y[e=0

习题2・4

2ax+ayex~y—y

1、(1)3(T7)⑵-----⑶-

ax+ye-+x

y2yx+y+ycos(xy)

⑸一(6)——

e+xe尸)‘+xcos(xy)

2y3yyy

2、(1)(2)—+—cotx-

2(x4-2)x-3x+12x24(1一/)

(3)y(cosxIncosx—sinxtanx)(4)Rn(x+5)-W

3

3、(1)—2,(2)tant

2

4、dy=—2-^/3

n_

dxt.

5、(1)在x=0处切线方程：2x+y—l=0法线方程:x-2y+2=0

(2)在f=2处切线方程：4x+3y-12o=0法线方程：3x—4），+6a=0

习题2・5

1、(1)(In3)23”——]y(2)2csc2x-cotx(3)2(arctanx+——X7)

厂1+x

3

(4)secx(tanx+secx)2(5)-x(x2+1)(6)xr(lnx+l)2+xx-1

2、(1)r(l)=7J〃⑴=4,/m⑴=0(2)/"(_])=；J"(O)=_2J〃⑴=:

3、(1)0(2)3"(In3)”

(3)y'=Inx+1y"--*=(」)"•^^(»>3)

XX

(4)(«+x)ex(5)y=2"-cos(2x+〃•1)

,+,

(6)尸㈠可(不1)Y

4、略

5、(l)y(4)=-4exsinx

(2)y(5}=2xsinx-x2cosx-16cosx

(3)y(20)=0

6^-cot3。，--------o

asin330

习题2-6

1、(1)Ay=0.02dy=0.02(2)Ay=0.030301dy=0.03

3

2、⑴办(=|=0,dy\x=2^-—dx

⑵dyI—=(1-e)dx,dy\x=0^0,dy\x=1(e--)Jx

八一11L

3、(l)dy=6(x+1)，+2x+3>dx⑵dy=T-T---\dx

\2y/xx-)

(3)力=[2-[11)

(4)dy=(sinx+xcosx)dx

2x"—x+2

(5)dy=---------dx(6)dy=(1+x)exdx

(九2+1"

,x,

(7)dy=—―-dx(8)dy=-2xsin2(1+x2)dx

x-1

门,一/isin%、,

(9)dy=x(cosxInx+----)dx(10)dy=Acocos(a)x+(p)dx

x

X2

4、(1)—+C(2)-cosx+C

(3)sinx+C(4)ln(l+r)+C

(5)2\fx+C(6)-1+C

(7)tanx+C(8)arcsinx+C

八13

(9)2sin1(10)-----,------

3x+23x+2

4x+y

5、dy--•dx

x+2y

6、(1)10.0333(2)0.8747(3)0.5076(4)0.5813

(5)1.01(6)0.002

7、精确值：256387.4709mm3近似值：251327.4123mn?

8、0.985m3

复习题二

1、(1)X(2)X(3)X(4)J(5)X(6)X

2、(1)()=2/+2a⑴=2

(2)-1

(3)与x轴平行的切线，与光轴垂直的切线

12x

㈠(4)--/--+--1(/+1)2

(5)ln(l+x)

(6)x-y-\=0

3、(1)B(2)A(3)A(4)C(5)C(6)D(7)D(8)B(9)C(10)A

4、0.00380.5038

a

5、⑴2(x2-a2)⑵当

a+x

,ycos(xy)ycos(xy)

6>(1)y=-----------ay=------------ax

1一xcos(xy)1-xcos(孙)

⑵y,=y(xlnyy)dy=)'⑴n)」)')△

x(ylnx-x)x(ylnx-x)

7、切线方程为：x—y=0

8、27.96g

9、。=1b=1c=1

2

习题3.1

1.(1)错；(2)对。2.(1)D；(2)C»

5.有分别位于区间(1,2),(2,3)及(3,4)内的三个根。

习题3・2

3.(1)—；(2)—；(3)cosci；(4)2；

b5

m

(5)—；(6)—广；(7)1；(8)3；

8n

(9)0；(10)1；(11)+oo；(12)+coo

4.(1)0；(2)0；(3)—；(4)一；

27t

(5)1；(6)1；(7)1；(8)—o

e

习题3-3

2.(1)单调减少；(2)单调增加；(3)单调增加；

3.(1)单调增区间为：(―00,—1］与［3,+8),单调减区间为：［—1,3］

(2)单调增区间为：P，+oo),单调减区间为：(-00,0]

id

(3)单调增区间为：,单调减区间为：

id'r

(4)单调增区间为：，单调减区间为：-00,—

、2」

(5)单调增区间为：单调减区间为：［0,+8)

(6)单调增区间为：:一吗,单调减区间为：

TC5%［呜一丝24

(7)单调增区间为：，单调减区间为：与

_3_

(8)单调增区间为：:—oo,+co)。

4.略。

习题3-4

3.(1)极小值/(1)=2；(2)极大值/(0)=0,极小值=—1；

(3)极小值/(0)=0；(4)无极值；(5)极小值/[—L/〃2)=2后；

(6)极大值/(；)=：；(7)无极值；(8)极小值〃0)=4,极大值/(—2)=|。

4.(1)当x=—2及x=2时，函数有最大值13；当x=l及x=—l时，函数有最小值4。

(2)当x=2TT时，函数有最大值—1；当工=—7工T时，函数有最小值—3。

44

(3)当x时，函数有最大值3；当x=-5时，函数有最小值—5+后。

44

(4)当x=l时，函数有最大值,；当x=0时，函数有最小值0。

2

5.围成长为10m，宽为56的长方形时，才能使小屋的面积最大。

6.当小正方形的边长为lc〃?时，盒子的容积最大。

7.x=2.5个单位时获最大利润。

8.5批。

习题3-5

4.(1)(0,+QO)为凹区间；无拐点。

(2)(-8,4)为凸区间;(4,+8)为凹区间；拐点是(4,0)。

(3)(―oo,—2)为凸区间；(―5，+°°)为凹区间；拐点是(—5,2

(4)(—8,2)为凸区间；(2,+8)为凹区间；拐点是(吟)。

5.(1)y=3为水平渐近线，x=0为垂直渐近线；

(2)y=0和＞=乃为水平渐近线；

(3)y=0为水平渐近线；

(4)y=0为水平渐近线，x=-3为垂直渐近线。

6.略

r3,9

7.ci=---,b=一©

22

8.a=0,/?=-1,c=3o

习题3-6

2.(1)K=—y/\Oi(2)K=2；(3)K=2；(4)K=0。

50

R(CR06K丘P5百k4亚

3.(1)K=ZyJ2,K=---；(2)K=----，K=-----。

4425

4.(1,1)»

5.苧T〃2）；

复习题三

1.-o2.(—1,0)与(0,1)。3.—l,x=l。

4.e~lo5.(-oo,0］o

6.y=0o7.驻点，不可导的点，区间端点。

8.g,2)。9.g。10.一a)。

11.Do12.Do13.Co14.Co

15.Ao16.Ao17.Ao18.C。

4

19.(1)—2；(2)—1；(3)c；(4)一©

7C

20.函数/(X)的单调增区间为1-8,；和［1,+8),单调减区间为

；极大值

/(x)=g痣，极小值/(1)=0。

21.曲线在(―8,—1］和［,+0。)内是凸的，在［一1,1］内是凹的。

22.1：2„

习题4-1

12-

2.(1)——+C；(2)-x2+C；(3)-^—+C；

x7l+ln3

X

GA+3i2

(4)---+C；(5)e+C；(6)—%6+3。'—cotx-----FC；

\-vlna6In2

1a9

(7)—x+3x----FC；(8)—(x+si〃x)+Co

12x2V

3

3.y=x+x+l0

4.y=ln\x\+2o

习题4-2

⑴-，(3-21)4

3.+C；(2)-——2-2X+C；(3)——ln|1—2x|+C；

21nx

12

(4)2arctanVx4-C；(5)---:-----r4-C;(6)——(2—3X)3+C；

2(1+2x)

(7)------—FC；(8)—2Jcosx+C；(9)Q(l+lnx)~+C；

2sin-x

(10)arctan+C；(11)ln|lnx|+C；(12)--e-'2+C；

2

(13)|sin(x2)+C；(14)-|(2-3x2)^+C；(15)-|ln|l-x4|+C；

(16)sinx--sin3x+C

3

习题4・3

2.(1)-xcosx-\-sinx-vC；(2)x/«(14-x1)-2x+2arctanx4-C；

11/----T

(3)-xsm2x-^—cos2x+C；(4)xarccosx-\l-x+C；

24

22

(5)——x+—/zt(14-x)+C；

366v7

(6)-e3x(x2--x+^\+C；

3139)

—(2%—5)cos2x+—fx"—5x+13jsin2x+C；

(7)

2

(8)W*(3cos2x+2sin2x)+C。

习题4・4

]3

1.(1)———+9x-27ln|x+3|4-C；(2)3/H|X-2|-2/n|x-1|4-C；

2+tanA

(3)ln|jv~+3x—io|+C；(4)Inx-^ln

+1)+C；(5)—In2+c；

2-tan

2

(6)tanx-secx+Co

2.(1)—In2x+J4x?—9+C；(2)-arctan^+C；

222

(3)/〃(x-2)+，5-4>+/+c；(4)剂2d+9+等In(岳+j2/+9)+C；

____^lx

(5)—^2>x2-2---InV3x+也x°-2+C；(6)$(sinx+2cosx)+C；

23

(7)---1arcsin一+—yl4--x~+C；(8)xln^x—3xIn-x4-6xInx—6x+C0

224

复习题四

1.(1)F(x)/(x)；(2)or+C；(3)全体原函数；(4)6e2x；(5)sinx+C；

i2-/

(6)—/；(7)—x2+C；(8)ex+x+1

2.(1)D；(2)B；(3)C；(4)B；(5)B。

i2”—

3.(1)—x'+x"+4x+C；(2)Inlxl-----1-5sinx+C；(3)2sin-\!~x+C；

311In2

々2ii

(4)/小2-3X+8|+C；(5)-(X4+1)34-C；(6)-x--sin2x+C

118V724

(7)x(lnx)2-2xInx+2x+C；(8)secx-tanx+x+C。

(Xx\

Cl-

4.y=—ea+ea0

5.略。

习题5・1

1、

3

(1)J(x2+V)dx；(2)3；-3；[-3,3];(3)0

1

2、30

3y3b1________

3、(a)j-Jx；3)j[(2x+3)-x2t/x]；(C)J(/(x)-g(x))dx；(d)j(72-x2-x2)dx

IX-Ia-1

4、(1)正；(2)负；(3)负

5、略

6、(1)>；(2)<o

7、(1)3；(2)18o

8、略

习题5.2

(1)2(V3-1)；(2)；(3)—4-1；(4)—+1；(5)In2—ln(e+1)；(6)—；(7)

o

3

2,(1)—；(2)0

3

习题5.3

37r21|

(1)—；(2)-；(3)—；(4)—(2+ln3)；(5)-；(6)(7)0；(8)-(e2+1)

422322

2

(9)l-ln3(10)2a2；(11)一一；(12)1；(13)0；(14)0。

3

习题5.4

1、(1)-+ln2；(2)(3)e+e''-2；(4)b-a

2

2、-2和4；

3、

108-

4、------71,12〃

7

5、1000

9、1和2

10.50—改

71

习题5・5

71

1、(1)+oo；(2)+co；(3)2；(4)-1；(5)-；(6)+oo；(7)+oo；(8)+oo；

2

2、(1)p>l,收敛；p<\,发散；(2)q<\,收敛；q>1发散;

复习题五

4

1、⑴—;⑵—；(3)2-5(4)y-V3

316

11

2、(1)6(2)

1-k

习题6-1

一、1.t2f(x,y)2.03.e4.定义区域

二、1.{(x,y)I1<x2+y2<4}2.{(x,y,z)Ix2+y2-z2>0,x2+y2^0}

习题6.2

~■、1.x2,V3.x

—12更212v

—"、i.乙乙、

dx

三、(4)

四、1.更=4x,曼=9)32.更=4盯3,堂=6fy2

dxdydxdy

3.—=yxy-'+yx\ny,^-=xy\nx+xyx-l

dxdy

d2z_2xyd2z_2xyd2z_y2-x2

dx2(x2+y2)2?dy2(x2+y2)2dxdy(x2+y2)2

习题6-3

2.

->、1.—Inr+2r1n22.

t

3丁力后—―

舄":+/++左dxdy

ez2xfff

-r2'4-J22

Sy2yy

dzyz-y[xyzxz-2y/xyz

x+ydz

二、1.----=/---------

九一ydxy/xyz-xySyy[xyz-xy

3,包=工&=_^_

dxx+zdyy(x+z)

习题6・4

一、1.x2.V3.V

二、1.B2.D

三、1.极大值/(3,2)=36

习题6-5

一、1.V2,x3.V

—、

22

1.|j(x+y)JJ2.43./1>I2

D

习题6-6

1.201

l41345

2.l(e-e-e-+e-)

6

3.，(x,y)dx

4.f(x,y)dx

5.21

140

6.1(1--)

6e

7.-e--y[e

82

复习题六

一、1、X2、X3、X4、J

二、1、D-{(x,y^x>0,y>-x}；(—°°,+°°)

2、积分区域；被积表达式

三、1、C2、D3、D4、B5、B6、B7、B

四、

1、2.

2、1,e

3、1

4、2z

5、极大值为z(0,0)=l

6、—(e-1)

2

7、2

2

8、ylnydx+x(lny+l)dy

习题7-1

1.(1)11;(2)1;(3)-130;(4)0;(5)(ah-bg)(cf-ed)-,(6)-20;⑺90;(8)-120.

习题7-2

I,(1).20(2).40(3).394(4).a"+(-lY+'b"(5).0(6).

(-6尸这…)

<=|

2、(1).-12(2).36(3),-6(4).30

习题7-3

1.(1)(1,2-1,1)(2)(-1,1,-1,1,-1)

2.(1)否(2)是

3.(1)(2,—3,4,—5)(2)(-1,-1,0,1)(3)(1,0,-1,—2)

4./(X)=2X2-4X+3

习题7-4

’65-2、<612、’04-4、

1.AB=630,BA=410,AB-BA=220

、802,、434；、4-3-2,

(744、<31\

-6、1

2.(1)943Q)⑶(4)-2(5)43

U20

334J32J

(\14、

(\

(7)023

6-2J

00

-80>

3.

5198J

q35、'02-4、

4.532-4,C=-201

©-43)14-10,

习题7-5

'1-4-3、rcosx-sinx0、

1、(1)A-1=1-5-3(2)B-'=sin%cosx0

<-1641Loob

(1311-20>

-b

ad-he^-ca

<1136、

'-24T3)

3、(1)X—⑵--1-30

、146146Oj

习题7-6

1>(1)rA=2(2)rfi=4(3)rc=4

'24000、

1-121200

2>(1)--11-26(2)—(3)不存在

21I28-3)24-12-480

.3-5-20,

’-42i-r

1-4-107-1

(4)—

682-22

[24-11,

习题7-7

(2)(其中马,4是自由未知量)(3)(-1,-2,2)

xJ/

3

x,=-4一3气_+5±其中/亦5为自由未知量。

（4）无解（5）■

6

=0

164

2.m=5时，通解为＜373其中为自由未知量。

X2=丁3-铲4+-

3/w2时，方程组有唯一解；。=2力^3时方程组无解；当a=2/=3时，方程组有无穷

%=8

多解，其通解为：＜々=一工3+3其中刍是自由未知量。

=2

4.当2=0,-1,9时，方程组有非零解。

X.=-X,X,=-X.,

当；1=0时，\13（其中占是自由未知量）；当人=—1时，\1-（其中X,是自

x2=-x3-[x3=0

由未知量）；当2=9时,（其中X3是自由未知量）。

5.第一种麦片1.5个单位，第二种麦片1个单位。

。5-200、'40、'7.56、

-211-30，2-30-1.10

所以i=

0-317-4A20A0.93

<00-425,、一MJ4/f25,

7.(1)

部门的产出分配

部门的投入

化工石油机械

0.20.80.4化工

0.30.10.4石油

0.50.10.2机械

'0.8-0.8-0.4O'

(2)—0.30.9—0.40

、一0.5-0.10.80,

(3)p化工=141.7,p石油=91.7,p机械=100.

复习题七

1、l.(x)；2.(x)；3.(对)4.(x)；5.(对)；6.(x)。

(4a2a3

1<12一2、

2、1.々+Zqh+kcb+kc2.一

223321-51J

、G0203

3.系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等；4.系数矩阵的行列式等于零；

5.12；6.心=1,力=0；7.|A|0；8.-39；9.ad-be；10.行数，列数。

3、1.(1)(2)；2.(1)(3)；3.(1)(2)(3)4.(3)(4)

4、1.202.103.-364.05.(d-a)(d-b)(d—c)-网

6、4=1（三重解），4=—3

’200、

7>0108、k=5

、002,

,146、

(4)014

、00L

q

2.不存在3.—

41

31

/=L一5

35

11、1.无解2.<=]—其中是自由未知量。

=0

12、1.(1)表示#1矿5天的产量(2)(1.5,4)(单位：天)

X]=40+刍+x4节点A处

玉+々=200节点B处

x2+x3=x5+100节点C处

x4+x5=60节点D处

%=100-x5+x3

解得：<x2-100+x5-x3(其中马,卓是自由未知量)

x4=60-x5

玉=40+x3

(2)«入2=160-》3(其中工3是自由未知量)

、七=60

(3)再的最小值是40。

习题8・1

1,填空题

(1)线性目标函数一、线性约束；

(2)2；

(3)0；

(4)左，松弛；

(5)决策(可控)变量，约束条件，目标函数;

(6)极大、极小；

(7)等，极大，非负；

(8)这段边界上的所有点都是最优解；

(9)无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解;

(10)松弛；

(11)X/-X」"；

(12)max(min)Z=EciX>。

2、选择题

(1)D；

(2)B；

(3)D；

(4)B；

(5)D；

(6)A；

(7)D；

(8)A

MaxZ=一5项+2X2

X|+工3=4

(1)解:X-X-X=2

<{24

2X2+x5=3

Xj>0(/=1,2,...,5)

(2)令X|=X|,》3=X3-x；化为标准型为:

(2)最优解苞=&%,=io，maxZ=7x8+5x10=106

5-7题为建立各线性规划问题的数学模型

5、

设X/、后分别代表三种产品的产量，则线性规划模型为:

maxZ=10工1+14H2+12x3

,xI+1.5X2,+4X342000

2Hl+1.2X2+必《1000

200<x,<250

',"2504巧4280

100<x,<120

,X1，工2，工3)0

6、10m的钢筋可能的下料方案有：

方案截取长度3M数量截取长度4M数量料头

方案1210

方案2022

方案3301

设第i种方案的原材料根数为x,(i=L2,3),其数学模型为:

目标函数：minZ=0X]+2X2^X3

约束条件：

2玉+Ox2+3尤3=90

匹+2X2+0x3=60

xt,x2,x3>0,且为整数

习题8-2

1、填空题

(1)所有约束条件；

(2)零；

(3)线性无关；

(4)顶点(极点)；

(5)基可行解;

(6)基可行解；

(7)非负；

(8)顶点多于基可行解；

(9)W；

(10)-M；

(11)最终，人工变量不为零；

(12)人工变量；

(13)最小比值9；

(14)W0：

(15)单位列向量;

(16)-1；

(17)充分大正数。

2、(1)A；(2)D；(3)B；(4)D；(5)A；(6)C；(7)A；(8)D；(9)D；(10)B；

(11)C；(12)C；(13)B；(14)B：(15)B；(16)C；(17)A；(18)C；(19)C；(20)D；

(21)Do

3>(1)maxz=36,最优解(2,6)。

(2)maxz=25,最优解(15,5,0)。

(3)max[=18000,最优解(0,25,0,140