专题2.1 将军饮马模型（压轴题专项讲练）（浙教版）（解析版）

专题2.1将军饮马模型【典例1】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB＝，C′B＝，∴AC+CB＝AC+CB′＝．在△AC′B′，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A，C，B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．拓展应用：如图4，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，点P是BD上一个动点，点M是BC上一个动点，请在图5中画出PC+PM的值最小时P的位置．（可用三角尺）【思路点拨】利用轴对称的性质和三角形的三边关系可得；拓展应用中，在BA上截取BC'＝BC，连接CC'，可证得C、C'关于BD对称，将两条线段的和最小问题转化为垂线段最短来解决．【解题过程】证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB＝CB'，C′B＝C'B'，∴AC+CB＝AC+CB′＝AB'．在△AC′B′，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．故答案为：CB'，C'B'，AB'；拓展应用：如图，在BA上截取BC'＝BC，连接CC'，过C'作C'M⊥BC于点M，交BD于点P，在BD上另取一点P'，连接P'C'，在BC上取点M'，连接P'M'，∵BC＝BC'，BD平分∠CBC'，∴BD垂直平分CC'，∴PC＝PC'，P'C＝P'C'，∴PC+PM＝PC'+PM＝C'M，∵C'P'+P'M'＞C'M，∴PC+PM＜P'C+P'M'，∴点P即为所求．1．（2021秋•海丰县期末）如图，OE为∠AOB的角平分线，∠AOB＝30°，OB＝6，点P，C分别为射线OE，OB上的动点，则PC+PB的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【思路点拨】过点B作BD⊥OA交于D点，交OE于点P，过点P作PC⊥OB交于C点，此时PC+PB的值最小，求出BD的长即可．【解题过程】解：过点B作BD⊥OA交于D点，交OE于点P，过点P作PC⊥OB交于C点，∵OE为∠AOB的角平分线，∴DP＝CP，∴PB+PC＝PD+PB＝BD，此时PC+PB的值最小，∵∠AOB＝30°，OB＝6，∴BD＝3，故选：A．2．（2021秋•天津期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（）A．7 B．6 C．9 D．10【思路点拨】连接BM，依据DE是AB的垂直平分线，可得AM＝BM，进而得到当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长，依据AC＝4，BC＝6，即可得到△AMC周长的最小值．【解题过程】解：如图所示，连接BM，∵DE是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴AM+CM＝BM+CM，当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长，又∵AC＝4，BC＝6，∴△AMC周长的最小值＝6+4＝10，故选：D．3．（2020秋•自贡期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，面积是24；AC的中垂线分别交AB，AC的边于E，F；若点D是BC边的中点，点M是线段EF上的一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．11【思路点拨】连接AM，由垂直平分线的性质可得AM＝CM，所以△CDM周长的最小值为AD+CD的长，分别求出AD、CD的长即可求解．【解题过程】解：连接AM，∵EF是AC的垂直平分线，∴AM＝CM，∴△CDM周长＝CM+DM+CD＝AM+MD+CD≥AD+CD，∴△CDM周长的最小值为AD+CD的长，∵D是BC的中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，∵BC＝6，△ABC的面积是24，∴AD＝8，∵BC＝6，D是BC的中点，∴CD＝3，∴AD+CD＝8+3＝11，∴△CDM周长的最小值为11，故选：D．4．（2021秋•官渡区期末）如图，已知点D、E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD＝6，点F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．3 B．6 C．9 D．12【思路点拨】连接CE交AD于点F，连接BF，此时BF+EF的值最小，最小值为CE．【解题过程】解：连接CE交AD于点F，连接BF，∵△ABC是等边三角形，∴BF＝CF，∴BF+EF＝CF+EF＝CE，此时BF+EF的值最小，最小值为CE，∵D、E分别是△ABC中BC、AB边的中点，∴AD＝CE，∵AD＝6，∴CE＝6，∴BF+EF的最小值为6，故选：B．5．（2021秋•龙口市期末）如图，钝角三角形△ABC的面积是20，最长边BC＝10，CD平分∠ACB，点P，Q分别是CD，AC上的动点，则AP+PQ的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【思路点拨】作A点关于CD的对称点A'，过A'作AQ⊥AC交CD于P点，交AC于Q点，此时AP+PQ的值最小，由题意可得A'C边上的高与A'Q相等，再由三角形的面积求出BC边上的高即为所求．【解题过程】解：作A点关于CD的对称点A'，过A'作AQ⊥AC交CD于P点，交AC于Q点，∴AP＝A'P，∴AP+PQ＝A'P+PQ＝A'Q，此时AP+PQ的值最小，∵CD平分∠ACB，∴AC＝A'C，∴A'C边上的高与A'Q相等，∵△ABC的面积是20，BC＝10，∴BC边上的高是4，∴A'Q＝4，∴AP+PQ的值最小为4，故选：C．6．（2021秋•河东区期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的12，则当PB+PC最小时，∠PBCA．30° B．45° C．60° D．90°【思路点拨】由题意可知作B点关于该垂直平分线的对称点B'，连接B'C，交垂直平分线于P点，此时PB+PC最小，证明△BCB'是等腰直角三角形，即可求∠PBC．【解题过程】解：∵△PBC的面积等于△ABC的面积的12∴P点在AD的垂直平分线上，作B点关于该垂直平分线的对称点B'，连接B'C，交垂直平分线于P点，由对称性可知，B'P＝BP，∴BP+PC＝B'P+PC＝B'C，此时PB+PC最小，∵AD＝BB'，AD＝BC，∴BB'＝BC，∴△BCB'是等腰直角三角形，∴∠B'CB＝∠B'＝45°，∴∠B'BP＝45°，∴∠PBC＝45°，故选：B．7．（2021秋•大连期末）如图，∠ABC＝30°，点D是它内部一点，BD＝m，点E，F分别是BA，BC上的两个动点，则△DEF周长的最小值为（）A．0.5m B．m C．1.5m D．2m【思路点拨】作D点关于AB的对称点G，作D点关于BC的对称点H，连接GH交AB于点E，交BC于点F，连接GB，BH，此时△DEF的周长最小，最小值为GH，证明△GBH是等边三角形，即可求解．【解题过程】解：作D点关于AB的对称点G，作D点关于BC的对称点H，连接GH交AB于点E，交BC于点F，连接GB，BH，由对称性可知，GE＝ED，DF＝FH，BG＝BD＝BH，∴ED+DF+EF＝GE+EF+FH＝GH，此时△DEF的周长最小，最小值为GH，∵∠GBA＝∠ABD，∠DBC＝∠CBH，∴∠GBH＝2∠ABC，∵∠ABC＝30°，∴∠GBH＝60°，∴△GBH是等边三角形，∴GH＝BD，∵BD＝m，∴△DEF周长的最小值为m，故选：B．8．（2021秋•丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（）A．80° B．90° C．100° D．130°【思路点拨】作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，此时△AMN的周长有最小值，由对称性求出∠BAM+∠FAN＝50°，则有∠MAN＝80°，即可求∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°．【解题过程】解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，∵∠B＝∠D＝90°，∴AN＝NF，AM＝EM，∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值，∵∠FAN＝∠F，∠E＝∠EAM，∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD，∵∠BAD＝130°，∴∠E+∠F＝50°，∴∠BAM+∠FAN＝50°，∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°，∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°，故选：C．9．（2021秋•罗庄区期末）如图，△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，△ABC的面积9．点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为（）A．5 B．6 C．8 D．10【思路点拨】作E点关于AB的对称点G，作E点关于AC的对称点H，连接GH，交AB于D点，交AC于F点，连接AG，AH，AE，当AE⊥BC时，GH最短，此时△DEF的周长最小，最小值为AE的长．【解题过程】解：作E点关于AB的对称点G，作E点关于AC的对称点H，连接GH，交AB于D点，交AC于F点，连接AG，AH，AE，由对称性可知GD＝DE，EF＝FH，AG＝AE＝AH，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝GD+DF+FH＝GH，∵∠GAD＝∠DAE，∠EAC＝∠HAC，∴∠GAH＝2∠BAC，∵∠BAC＝30°，∴∠GAH＝60°，∴GH＝AE，∴当AE⊥BC时，GH最短，此时△DEF的周长最小，∵BC＝3，△ABC的面积9，∴AE＝6，∴△DEF的周长最小值为6，故选：B．10．（2021秋•思明区校级期中）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝15，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（）A．35 B．40 C．50 D．60【思路点拨】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ＝PE+EQ′＝PQ′．【解题过程】解：∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∵BD⊥AC，AQ＝20，QD＝15，∴AD＝DC＝AQ+QD＝35，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，∵AQ＝20，AD＝DC＝35，∴QD＝DQ′＝15，∴CQ′＝BP＝20，∴AP＝AQ′＝50，∵∠A＝60°，∴△APQ′是等边三角形，∴PQ′＝PA＝50，∴PE+QE的最小值为50．故选：C．11．（2021秋•海淀区校级期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（）A．12a+23b B．12a+b C．a【思路点拨】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小．【解题过程】解：如图，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AF＝CF=12a，BF＝∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小，∵CA＝CM，∠ACM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴AM＝AC，∵BF⊥AC，∴FM＝BF＝b，∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM=12a+故选：B．12．（2021秋•同安区期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念．某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李厝B的群众出行到河岸a．张庄A和李厝B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线．经测量，张庄A和李厝B到河岸b的距离分别为AC＝p（m）、BD＝q（m），且CD＝（p+q）m，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥建造的位置是到AC的距离为p（m）处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）【思路点拨】作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交b于点P，此时P点到A与B的距离和最短．【解题过程】解：作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交b于点P，∴BP＝B'P，∴AP+BP＝AP+B'P≥AB'，此时P点到A与B的距离和最短，过B'作B'M∥CD，延长AC与B'M交于点M，∴B'M＝CD，∵AC＝p（m）、BD＝q（m），CD＝（p+q）m，∴AM＝（p+q）m，∴∠CAP＝45°，∴AC＝CP，∴P点与C点的距离是p（m），故答案为：到AC的距离为p（m）处．13．（2021秋•吉林期末）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7．MN为BC边上的垂直平分线，若点D在直线MN上，连接AD，BD，则△ABD周长的最小值为12．【思路点拨】MN与AC的交点为D，AD+BD的值最小，即△ABD的周长最小值为AB+AC的长．【解题过程】解：MN与AC的交点为D，∵MN是BC边上的垂直平分线，∴AD＝CD，∴AD+BD＝AD+CD＝AC，此时AD+BD的值最小，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AC最小，∵AB＝5，AC＝7，∴AB+AC＝12，∴△ABD的周长最小值为12，故答案为：12．14．（2022•九龙坡区校级开学）如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是4．【思路点拨】作A关于CD的对称点H，由CD是△ABC的角平分线，得到点H一定在BC上，过H作HF⊥AC于F，交CD于E，则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值＝HF，过A作AG⊥BC于G，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．【解题过程】解：作A关于CD的对称点H，∵CD是△ABC的角平分线，∴点H一定在BC上，过H作HF⊥AC于F，交CD于E，则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值＝HF，过A作AG⊥BC于G，∵△ABC的面积为12，BC长为6，∴AG＝4，∵CD垂直平分AH，∴AC＝CH，∴S△ACH=12AC•HF=12∴HF＝AG＝4，∴AE+EF的最小值是4，故答案为：4．15．（2021秋•荔湾区期末）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AD于点E，CB＝CD．有下列结论：①∠ABC+∠ADC＝180°；②AB+AD＝2AE；③∠CDB＝∠CAB；④若∠BAD＝30°，AC＝6，M是射线AD上一点，N是射线AB上一点，则△CMN周长的最小值大于6．其中正确结论的序号是①②③．【思路点拨】过点C作CF⊥AB交于点F，证明Rt△CDE≌Rt△DBF（HL），可得∠ABC+∠ADC＝180°；证明Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），则AE＝AF，所以AB+AD＝2AB+2BF＝2AF＝2AE；由∠BDC＝∠CBD，结合三角形外角∠DBF＝∠ADB+2∠CAB，可得∠ADB+2∠CAB＝∠DBC+∠DBC+∠ADB，即可证明∠CAB＝∠DBC；作C点关于AD的对称点G，作C点关于AB的对称点H，连接GH交AD于点M，交AB于点N，连接CM、CN、AG、AH，当G、M、N、H四点共线时，△CMN周长最小，可证△AGH是等边三角形，GH＝AC＝6，所以△CMN周长的最小值为6．【解题过程】解：过点C作CF⊥AB交于点F，∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，∴CF＝CE，∵CB＝CD，∴Rt△CDE≌Rt△DBF（HL），∴DE＝BF，∠CBF＝∠CDE，∵∠ABC+∠CBF＝180°，∴∠ABC+∠ADC＝180°；故①正确；∵CD＝CF，∠AEC＝∠AFC＝90°，∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），∴AE＝AF，∴AB+AD＝AB+AE+ED＝AB+AF+BF＝AB+AB+BF+BF＝2AB+2BF＝2AF＝2AE；故②正确；∵CD＝BC，∴∠BDC＝∠CBD，∵∠DBF＝∠ADB+2∠CAB，∠CBF＝∠CDE＝∠BDC+∠ADB，∴∠ADB+2∠CAB＝∠DBC+∠DBC+∠ADB，∴∠CAB＝∠DBC；故③正确；作C点关于AD的对称点G，作C点关于AB的对称点H，连接GH交AD于点M，交AB于点N，连接CM、CN、AG、AH，∵CM＝GM，CN＝HN，∴CM+CN+MN＝GM+CH+MN≥GH，∴当G、M、N、H四点共线时，△CMN周长最小，∵∠BAD＝30°，∴∠GAH＝60°，∵AG＝AC＝AH，∴△AGH是等边三角形，∴GH＝AC，∵AC＝6，∴GH＝6，∴△CMN周长的最小值为6；故④不正确；故答案为：①②③．16．（2020秋•津南区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．（1）若AB＝8，则AD的长为2；（2）若M，N分别是CA，CB上的动点，点E在斜边AB上，请在图中画出点M，N，使DM+MN+NE最小（不写作法，保留作图痕迹）．【思路点拨】（1）利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可知AC=12AB＝4，AD=12（2）作点D关于AC的对称点，点E关于BC的对称点E'，连接D'E'交AC、BC于M、N两点．【解题过程】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，∴AC=12AB＝4，∠A＝在Rt△ACD中，∵∠ACD＝30°，∴AD=12AC＝故答案为：2；（2）如图，作点D关于AC的对称点，点E关于BC的对称点E'，连接D'E'交AC、BC于M、N两点．17．（2021秋•平山县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，EF垂直平分AC，交AC于点E，交AB于点F，M是直线EF上的动点．（1）当MD⊥BC时．①若ME＝1，则点M到AB的距离为1；②若∠CMD＝30°，CD＝3，求△BCM的周长；（2）若BC＝8，且△ABC的面积为40，则△CDM的周长的最小值为14．【思路点拨】（1）①由题意可知A、M、D共线，则AD是△ABC的对称轴，由对称性即可求解；②由题意可知MB＝MC，MD平分∠BMC，可判断△BCM是等边三角形，再求解即可；（2）连接AD交EF于点M，此时△CMD的值最小，最小值为AD+CD．【解题过程】解：（1）①∵MD⊥BC，AB＝AC，D是BC的中点，∴A、M、D共线，∴AD是△ABC的对称轴，∵ME＝1，∴点M到AB的距离为1，故答案为：1；②∵D是BC的中点，MD⊥BC，∴MB＝MC，∴MD平分∠BMC，∴∠BMC＝2∠CMD＝60°，∴△BCM是等边三角形，∴BC＝BM＝MC，∵D是BC的中点，∴BC＝2CD＝6，∴BM＝MC＝BC＝6，∴△BCM的周长为BC+BM+MC＝18；（2）连接AD交EF于点M，∵EF是AC的垂直平分线，∴AM＝CM，∴CM+MD＝AM+MD＝AD，此时△CMD的值最小，最小值为AD+CD，∵BC＝8，△ABC的面积为40，∴AD＝10，∵D是BC的中点，∴CD＝4，∴AD+CD＝14，∴△CMD的周长最小值为14，故答案为：14．18．（2021秋•双辽市期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，若△ABC为等边三角形，AD⊥AB，AD＝DC＝4．（1）求证：BD垂直平分AC；（2）求BE的长；（3）若点F为BC的中点，请在BD上找出一点P，使PC+PF取得最小值；PC+PF的最小值为6（直接写出结果）．【思路点拨】（1）先证明△ABD≌△CBD（SSS），再证明△ADE≌△CDE（SAS），即可求证；（2）求出∠DAE＝∠ABE＝30°，利用直角三角形30°角所对直角边等于斜边的一半即可求解；（3）连接AF交BD于点P，连接PC，PC+PF的最小值为AF，求出AF即可．【解题过程】解：（1）∵AB＝BC，AD＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ADB＝∠CDB，∵AD＝EC，∠ADB＝∠CDB，DE＝DE，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴AE＝ED，∠AED＝∠DEC＝90°，∴BD垂直平分AC；（2）∵DB⊥AC，∴BE平分∠ABC，∵∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠ABD＝30°，∵∠BAD＝90°，∴∠DAE＝30°，∵AD＝4，∴BD＝8，DE＝2，∴BE＝6；（3）连接AF交BD于点P，连接PC，∵BD是AC的垂直平分线，∴A、C关于BD对称，∴AP＝PC，∴PC+PF＝AP+PF≥AF，∴PC+PF的最小值为AF，∵F是BC的中点，∴AF⊥BC，∵BE＝6，∴AF＝6，故答案为：6．19．（2021秋•台江区期末）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．（1）求证：∠ACB＝∠ACD；（2）过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．【思路点拨】（1）证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）即可；（2）①证明△NEC≌△NPC（SAS）即可；②作P点关于AE的对称点P'，连接MP'交AE于点O，证明∠MP'P＝60°即可．【解题过程】证明：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，AC＝AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠ACB＝∠ACD；（2）①∵Rt△ABC≌Rt△ADC，∴∠BAC＝∠CAD，∵CA＝CE，∴∠CAC＝∠CED，∵∠EBA＝90°，∴∠BEA＝∠BAC＝∠CAE＝30°，∵PD⊥AE，MP⊥PD，∴AE∥MP，∴∠PMC＝∠MAE＝30°，∵ME∥AB，∴∠MEB＝90°，∴∠MEA＝120°，∵∠MAE＝30°，∴∠E