第十届全国高中数学优课-茶水最佳饮用时间的探究

建立函数模型解决实际问题

——茶水最佳饮用时间的探究杭州师范大学附属未来科技城学校（杭州二中未来科技城学校）李盛内容分析本课定位关联知识教学重点1Partone教学分析目标设置内容解析学情分析教学策略内容解析数学建模是数学学科的六大核心素养之一。在2017版普通高中数学课程标准中指出，数学建模活动是教材的四条内容主线之一，是综合提升数学学科核心素养的载体。《建立函数模型解决实际问题》是新修订的人教A版(2019年版)高中数学教科书必修1第四章后单列的数学建模学习的一个专题内容,茶水最佳饮用问题则是它在第一部分提供的数学建模的一个实例，是继“函数的概念与性质”(含幂函数)、“指数函数与对数函数”的后续学习内容，也为今后进一步研究用更多的函数建模解决实际问题埋下伏笔，侧重数学建模素养的落实，在高中数学内容的学习中起着举足轻重的作用.本课定位关联知识教学重点将实际问题抽象为数学问题经历并会模仿完整的建模过程检验改进模型构建数学模型教学目标分析能力目标情感目标意志品质目标2Parttwo能力目标情感目标意志品质目标1.培养坚强的意志，敢于面对复杂的数据，复杂的模型，克服困难，一往无前1.多角度建立函数模型,体验数学建模的文化内涵.2.函数模型直观易懂，彰显了数学的美妙,让学生感受数学美，体验理性思考的乐趣．1.通过观察学习如何从实际问题中发现并提出数学问题2.通过引例教学，初步了解数学建模的基本步骤。3.通过实例教学，深化对数学建模的理解，体会数学建模的应用价值.4.初步学会简单数据的处理方法,提高数据处理素养。教学目标学情分析有利因素不利因素3Partthree目标设置内容解析学情分析教学策略学情分析有利因素

在学习本节内容前，学生已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数和对数函数等知识，具备一定的知识储备.在前面函数应用的教学中,教材已明确提出要提升数学建模素养的要求，学生也熟悉了用函数构建数学模型解决实际问题的基本过程.作为高中生，他们已经具备一定的自主探究、分析问题解决问题的能力，这些都为本节课的学习打下良好的基础.

开课班级学生基础较好,运用TI手持教育技术，电脑软件Excel中选择拟合功能建立模型和希沃授课助手投影展示,丰富教学内容的表现形式，使抽象的问题直观化、静态的问题动态化.小组合作,在真实的实验情境中分工采集数据,正确及时反馈学生的学习情况，体现信息技术作为学习和评价工具的价值,让学生在数学学习活动中积累数学基本活动经验，学会建模素养的方法,提高数学建模的素养．不利因素本节以课题研究的形式开展，采用选题、开题、做题、结题四环节来推进建模活动,是学生从来没接触过的一种方法，这对他们的思维是一个突破.虽然高中生他们具备一定的自主探究、分析问题的能力，但是逻辑思维还不够完善，可能在某些问题上考虑的不够全面，不够严谨，所以除了需要给学生提供数学建模完整过程的体验外，还需要教师进行指导学生如何从实际情境中用数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题．

学生收集数据,由于实验环境、容器形状等因素影响，实验中收集到的数据与教科书的不一定一致，不同小组收集到的数据也可能不一致．另外,由于实验所得的数据比较复杂,学生并不一定能看出其具有的规律，需要运用信息技术加以辅助。

由于函数模型的多样性，函数模型的精确选择与建立,需要实际数据验证.由于数据量总是有限的,确定符合实际的函数模型,不少学生会感到有困难，同样需通过信息技术降低难度。教学分析目标设置内容解析学情分析教学策略教学支持条件

温度计图形计算器教学分析教学策略4Partfour挖掘教材的内容内涵，明确教学的知识挖掘教材的多向联系，明确学生的认知成长体系挖掘教材的思维因素，提升学生数学素养挖掘教材的过程内涵，明确教学的能力目标说教法数学建模素养是核心素养的重要组成部分，要理解数学建模素养的内涵，主要着重于面对现实问题的数学抽象、体验数学建模的完整过程、构建数学模型及检验改进模型几个方面，从而达到让学生带着数学的眼光观察世界、用数学的思维分析世界、用数学的语言表达问题。目标设置内容解析学情分析教学策略教学策略本节课采用了：(1)注重适合学生体会建模过程的教学情境创设(2)构建数学建模教学模式:双主线混合推进教学流程：新课导入→牛刀小试→驾轻就熟→课堂小结→布置作业和煮水→煎茶→分茶→饮茶→探求饮茶最佳水温两条主线混合推进.在课堂推进过程中，充分体现中国茶文化的博大精深，让学生体验数学建模的完整过程，学会数学建模的基本方法。(3)重视数学建模活动经验的积累模型假设是数学建模的前提，现实问题纷繁复杂，需要控制其它的变量，抓住主要的变量才能将现实问题数学化。模型的建立是数学建模的核心，体现了学生用数学的思维分析问题，模型的建立需要从数据的采集、数据的分析（不仅仅是散点图、也可以用专业的统计软件分析数据的性质）、数据的函数性质分析、函数模型的选择这样四个步骤完成。模型的求解，需要在算法设计和效果的优化两个角度进行，而不仅仅是根据课本完成解答，需要告诉学生为什么这样计算。模型的检验是建模必不可少的部分，要让学生理解其中的基本意义，不能用简单的“效果不错”来回答。最终模型的应用要注意和现实问题的比较。教学分析模型的检验模型的求解建立模型问题升华问题提出新课引入教学过程数学抽象能力逻辑推理能力数学建模能力自主探究精神数学运算能力数据处理能力教学分析课堂小结课后作业1.新课引入以古人喝茶过程为例，观看视频，并以古诗引入，增强学生兴趣.新课引入2.问题提出考虑到学生初次建模，先以简单的“煎茶的水宜刚好煮沸”入手，通过给定的简单数据，初步尝试建立基本吻合的函数,来近似地进行刻画。设计意图：课标对数学建模素养的“水平一”要求能在熟悉的实际情景中，模仿学过的数学建模过程解决问题，本次简单的建模让学生先熟悉数学建模的基本流程，利于对问题2采用相同的步骤模仿。问题提出3.问题升华在解决问题1“煎茶的水”刚好煮沸所需的大致时间问题后，利用变式思想，抛出饮茶的最佳口感问题(问题2)，引发学生深度思考。通过查找文献等方法，确立最佳口感所需温度，并分析对水温变化产生影响的数据设计意图：让学生体验现实问题的复杂性，如何从复杂问题中抽象出可处理的数学问题，培养学生数学抽象的能力。问题升华4.建立模型1)数据采集采用数学实验的形式完成数据的采集。利用温度计，快速精准的完成茶水温度的采集。2)画出散点图注意图像要适当的处理，处理好坐标轴的比例，这样图像才能更接近教学的要求。3)散点图函数性质的分析从定义域、单调性、凹凸性、值域、周期性、对称性、渐近线等数学的角度分析散点图的函数性质，为模型的选择做准备。4)模型的选择一次函数模型：不具有渐近线二次函数模型：单调性的改变对数型函数：值域的分析反比例型函数：从定义域和单调性的改变来分析指数型函数：设计意图：让学生利用函数性质分析选择模型，让学生理解模型选择的原理，培养逻辑推理、数据处理的能力。建立模型5.模型的求解通过图形计算器完成多种的模型计算。设计意图：模型求解需要让学生从数学的角度理解计算的原理，具体计算很多都是计算机完成的。模型的求解6.模型的检验在观察拟合优度的基础上，利用图形计算器求出实际温度所需时间与模型计算所得时间的差距，判断哪种模型更符合实际，可以鼓励学生思考构造分段函数的可行性。设计意图：让学生体验完整的建模过程，了解模型检验的重要性。建模的效果不是简单的根据图形来判断的，应该有具体指标进行说明。模型的检验7.课堂小结课堂小结，内化所学基本知识：数学建模的步骤。基本技能：数学