【备战2021-专项突破】专题15.1-锐角三角函数和解直角三角形（1）（解析版）

专题15.1锐角三角函数和解直角三角形备战2021年中考数学精选考点专项突破卷（1）一、单选题(共30分)1．(本题3分)（2020·四川中考真题）如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（）

A． B． C．2 D．【答案】A【分析】如图，取格点E，连接BE，构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可；【详解】如图，取格点E，连接BE，由题意得：，，，∴．故答案选A．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关知识点，准确构造直角三角形，利用勾股定理求边是解题的关键．2．(本题3分)（2020·四川雅安·中考真题）如图，在中，，若，则的长为（）A．8 B．12 C． D．【答案】C【分析】利用正弦的定义得出AB的长，再用勾股定理求出BC.【详解】解：∵sinB==0.5，∴AB=2AC，∵AC=6，∴AB=12，∴BC==，故选C.【点睛】本题考查了正弦的定义，以及勾股定理，解题的关键是先求出AB的长.3．(本题3分)（2020·湖南中考真题）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（）A．米 B．米 C．21米 D．42米【答案】A【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．【详解】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42（米）.

故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．4．(本题3分)（2020·广西河池·中考真题）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．【详解】解：如图所示：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，解题的关键是理解三角函数的定义．5．(本题3分)（2020·山东烟台·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质得AF＝AD＝BC=5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出BF的长，则CF可得，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x，进一步可得DE的长，再根据正切的定义即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，BF＝，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，∴DE＝EF＝3﹣x＝，∴tan∠DAE＝，故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、锐角三角函数和勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键．6．(本题3分)（2020·黑龙江朝鲜族学校中考真题）如图，在△ABC中，sinB=，tanC=2，AB=3，则AC的长为（）A． B． C． D．2【答案】B【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长．【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：由，且可知，，由，且可知，，∴在中，由勾股定理有：．故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．7．(本题3分)（2020·广东深圳·中考真题）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（）A．200tan70°米 B．米 C．200sin70°米 D．米【答案】B【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．【详解】解：在Rt△PQT中，∵∠QPT=90°，∠PQT=90°-70°=20°，∴∠PTQ=70°，∴，∴，即河宽米，故选：B．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．8．(本题3分)（2020·辽宁中考真题）如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东方向，且与他相距，则图书馆A到公路的距离为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可得△OAB为直角三角形，∠AOB=30°，OA=200m，根据三角函数定义即可求得AB的长．【详解】解：由已知得，∠AOB=90°60°=30°，OA=200m．

则AB=OA=100m．故选：A．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．9．(本题3分)（2020·柳州市柳林中学中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，则cosB==（）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用勾股定理得出BC的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，∴，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义，正确掌握边角关系是解题关键．10．(本题3分)（2020·四川广元·中考真题）规定：给出以下四个结论：（1）；（2）；（3）；（4）其中正确的结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论．【详解】解：（1），故此结论正确；（2），故此结论正确；（3）故此结论正确；（4）==，故此结论错误.故选：C．【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式.二、填空题(共30分)11．(本题3分)（2020·四川中考真题）_______．【答案】【解析】.故答案为.12．(本题3分)（2020·山东中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____．【答案】【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，∴2x2﹣20x+173＝125，解得，x＝4或6，当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，∴CE＝C′E＝4，∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，∴tan∠B'AC′＝=．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键．13．(本题3分)（2020·山东中考真题）如图，人字梯，的长都为2米.当时，人字梯顶端高地面的高度是____米（结果精确到.参考依据：，，）【答案】1.5.【分析】在中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案.【详解】在中，∵，，∴，∴.故答案为1.5.【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．14．(本题3分)（2020·四川中考真题）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为________米（结果保留根号）【答案】【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分别在Rt△CEB与Rt△DFA中使用三角函数即可求解.【详解】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，∵BC=6，∴CE=，∴DF=CE=，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．15．(本题3分)（2020·内蒙古）如图，在矩形中，是对角线，，垂足为E，连接．若，则如的值为_____．【答案】【分析】过C向BD作垂线，可以构造出一个30°直角三角△CDF，进而求出，设直角最小边DF=a,并用a的代数式表示出其他边，即可求出答案．【详解】解：过C作CF⊥BD，垂足为F点∵矩形ABCD,∴AD∥BC，AB=CD∴∠DBC=∠DCF=∠BAE=30°设DF=a,则CF=，CD=，BD=，∵∴∠AEB=∠CFD=90°∴，∴EB=DF=a∴EF=-a-a=2a∴故答案是．【点睛】本题主要考察了矩形的性质和解直角三角形知识点，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题关键．16．(本题3分)（2020·湖北孝感·中考真题）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长为______．（结果保留根号）【答案】【分析】如图（见解析），先在中，解直角三角形可求出CF的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得DE的长，从而可得CE的长，然后根据线段的和差即可得．【详解】如图，过A作，交DF于点E，则四边形ABFE是矩形由图中数据可知，，，，在中，，即解得是等腰三角形则的长为故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键．17．(本题3分)（2020·甘肃中考真题）如图所示，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是________．【答案】【分析】由题意可知，要求出答案首先需要构造出直角三角形，连接AB，设小正方形的边长为1，可以求出OA、OB、AB的长度，由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据三角函数的定义可以求出答案.【详解】连接AB如图所示：设小正方形的边长为1，∴==10，，，∴是直角三角形，∴，故答案为：.【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和正弦函数的定义，熟练掌握技巧即可得出答案.18．(本题3分)（2020·贵州中考真题）如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则长度是_________．【答案】10【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出．【详解】解：在中，∵，∴．在中，．故答案为：10．【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的边角间关系，求出AC是解决本题的关键．19．(本题3分)（2020·广西中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cosA的值是_____．【答案】【分析】根据余弦的定义解答即可.【详解】解：在Rt△ABC中，cosA＝＝，故答案为：.【点睛】此题考查解直角三角形，正确掌握三角函数的计算公式是解题的关键.20．(本题3分)（2020·浙江中考真题）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β，则tanβ的值是______．【答案】【分析】作AT//BC，过点B作BH⊥AT于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为a，边心距=a，然后再.求出BH、AH即可解答．【详解】解：如图，作AT//BC，过点B作BH⊥AT于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为a，边心距=a观察图像可知：所以tanβ＝．故答案为．【点睛】本题考查了正六边形的性质和解直角三角形的应用，解题的关键在于正确添加常用辅助线、构造直角三角形求解．三、解答题(共60分)21．(本题6分)（2020·内蒙古中考真题）图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形．为使身高175cm的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置O，花洒的最高点B与人的头顶的铅垂距离为15cm，已知龙头手柄OA长为10cm，花洒直径AB是8cm，龙头手柄与墙面的较小夹角∠COA＝26°，∠OAB＝146°，则安装时，旋转头的固定点O与地面的距离应为多少？（计算结果精确到1cm，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49）【答案】177cm【分析】记地面水平线为，通过作辅助线构造直角三角形，分别在Rt和在Rt中，根据锐角三角函数求出OE、BF，而点B到地面的高度为175+15＝190cm，进而求OG即可．【详解】解：如图，过点B作地面的垂线，垂足为D，过点A作地面GD的平行线，交OC于点E，交BD于点F，在Rt中，∠AOE＝26°，OA＝10，则OE＝OA•cos∠AOE≈10×0.90＝9cm，在Rt中，∠BAF＝30°，AB＝8，则BF＝AB•sin∠BOF＝8×＝4cm，∴OG＝BD﹣BF﹣OE＝（175+15）﹣4﹣9＝177cm，答：旋转头的固定点O与地面的距离应为177cm．【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，掌握构造直角三角形与矩形，利用锐角三角函数与矩形的性质是解题的关键．22．(本题7分)（2020·湖南永州·中考真题）计算：．【答案】0【分析】依次计算零指数幂，化简立方根乘以特殊的三角函数值，最后一项利用负指数幂，最后相加减即可得出答案．【详解】解：原式【点睛】此题主要考查了实数的运算以及特殊的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．23．(本题8分)（2020·吉林中考真题）如图，在中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、．（1）求证：．（2）若，，求的值．【答案】（1）见解析1；（2）【分析】（1）根据题意由平行四边形性质得，由ASA证得，即可得出结论；（2）根据题意由（1）得OE=OF，则OE=2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．【详解】解：（1）证明：在中，∵，∴∴又∵∴∴（2）∵，∴∵∴在中，，.【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键．24．(本题8分)（2020·广西中考真题）如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛的点处，它沿着点的南偏东的方向航行．（1）渔船航行多远距离小岛最近(结果保留根号)？（2）渔船到达距离小岛最近点后，按原航向继续航行到点处时突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少(结果保留根号)？【答案】（1）；（2）南偏东；【分析】（1）过点作的垂线交于点，则AD为所求，根据已知条件得到∠BAD=45°即可解答；（2）根据特殊角的锐角三角函数值得到∠C=30°，∠DBC=60°，从而求出BC的长度，再求出∠DBE的度数，即可得到∠EBC的度数．【详解】解：（1）过点作的垂线交于点，∵垂线段最短，上的点距离点最近，即为所求，由题意可知：∠BAF=30°，∠CAF=15°，∴，∴渔船航行时，距离小岛最近．（2）在中，，∠DBC=60°，∵∠ABD=45°，∠ABE=90°-30°=60°，∴，.答：从处沿南偏东出发，最短行程.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．25．(本题9分)（2020·四川中考真题）如图，两楼地面距离BC为米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD顶部点D的仰角为45度．（1）求的大小；（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．【答案】（1）75°；（2）【分析】（1）如图：过点A作于点E，在Rt△ABC中运用三角函数可得，即、进一步可得∠EAC=30°，再结合即可解答；（2）先根据题意求得DE=AE=,然后在Rt△ACE中解直角三角形求得CE，最后利用CD=CE+DE进行计算即可．【详解】（1）如图：过点A作于点E，∵在Rt△ABC中，∵AE//BC；(2)∵在RtAED中，AE=BC=，∠DAE=45°∴DE=AE=∵在Rt△ACE中，∠CAE=30°∴CE=tan30°·AE=30．【点睛】本题主要考查了运用三角函数值求角的大小和解直角三角形，灵活应用三角函数知识是解答本题的关键．26．(本题10分)（2020·湖北中考真题）如图矩形ABCD中，AB=20，点E是BC上一点，将沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上的点G处，点F在DG上，将沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时．（1）求证：（2）求AD的长；（3）求的值．【答案】（1）见解析；（2）12；（3）【分析】（1）由矩形的性质得出∠B=∠D=∠C=90°，由折叠的性质得出∠AGE=∠B=90°，∠AHF=∠D=90°，证得∠EGC=∠GFH，则可得出结论；（2）由面积关系可得出GH：AH=2：3，由折叠的性质得出AG=AB=GH+AH=20，求出GH=8，AH=12，则可得出答案；（3）由勾股定理求出DG=16，设DF=FH=x，则GF=16-x，由勾股定理得出方程，解出x=6，由锐角三角函数的定义可得出答案．【详解】（1）证明：因为四边形ABCD是矩形所以，(2)解：(3)解：在直角三角形ADG中，由折叠对称性知，解得：x=6，所以：HF=6在直角三角形GHF中，．【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．27．(本题12分)（2020·重庆中考真题）如图，在中，，，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．（1）求证：；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使的值最小．当的值