【高中数学】圆的标准方程+课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4圆的方程

2.4.1圆的标准方程问题1我们按照什么样的脉络研究直线？直线直线的方程直线的性质几何要素：点+方向通过方程研究核心方法：坐标法问题2直线和圆是平面几何中的基本图形，你能类比直线研究脉络，给出圆的研究脉络吗？圆圆的方程圆的性质几何要素通过方程研究学习任务：明确圆的几何要素，确定圆的方程（一）创设情境，明确脉络思考在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢?在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了，由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程.rMxAOy••活动：请大家动手作一个圆问题3如何判断你作出的图形是圆？（平面几何中圆是如何定义的？）圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.

•M（二）类比探索，建立方程探究若一个圆的圆心为A(a,b),半径为r,那么如何求此圆的方程?设M(x,y)是圆上任意一点,根据定义,点M到圆心A的距离等于r,所以圆A就是集合P＝{M||MA|＝r}.由两点间的距离公式,点M(x,y)满足的条件可表示

把上式两边平方,得rMxA(a,b)Oy••(x,y)

由上述讨论可知,圆上任意点M的坐标都满足方程①,反之,若点M的坐标满足方程①,这就说明点M与圆心A的距离为r,即点M在圆心为A的圆上.这时我们把方程①称为以圆心为A(a,b),半径为r的圆的标准方程.①问题4通过上述过程得出方程①后，我们就能说方程①是圆的方程吗？还需要做什么？为什么要这么做？

1.是关于x、y的二元二次方程;3.确定圆的方程必须具备三个独立条件,即

a、b、r.4.若圆心在坐标原点,则圆方程为x2+y

2=r22.明确给出了圆心坐标和半径.圆的标准方程：以A(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是rMxA(a,b)Oy••(x,y)方程的特点:（三）辨析理解，认识方程例1求圆心为A(2,－3),半径为5的圆的标准方程,并判断点M1(5,－7),M2(－2,－1)是否在这个圆上.解：圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程：

(x-2)2+(y+3)2=25.把点M1(5,-7)的坐标代入圆的方程，得(5-2)2+(-7+3)2=25，所以点M1在圆上.

把点M2(-2,-1)的坐标代入圆的方程，得(-2-2)2+(-1+3)2=20，即点M2的坐标不满足圆的方程，所以点M2不在这个圆上.（四）思考交流，应用方程追问点M2

在圆内还是圆外？如何判断？

问题5

如何确定点P(x0,y0)与圆

的位置关系？

例2△ABC的三个顶点分别是A(5,1),B(7,－3),C(2,－8),求△ABC的外接圆的标准方程.△ABC的外接圓的圆心是△ABC的外心,即△ABC三边垂直平分线的交点.xOyA(5,1)•C(2,-8)•B(7,-3)••解1：(待定系数法)

例2△ABC的三个顶点分别是A(5,1),B(7,－3),C(2,－8),求△ABC的外接圆的标准方程.△ABC的外接圓的圆心是△ABC的外心,即△ABC三边垂直平分线的交点.xOyA(5,1)•C(2,-8)•B(7,-3)•rM•解2：（数形结合法）问题6观察“待定系数法”中的三元方程组化简得到的二元方程和“数形结合”中垂线的方程，你有什么发现？为什么？

结论：方程作差的几何意义就是圆心到弦两端点的距离相等，即圆心在弦的垂直平分线上，故两种方法的本质相同问题7比较“待定系数法”和“数形结合法”求圆的方程，两种方法各有什么优点？结论：待定系数法较为直接，但运算较为复杂；数形结合法分析几何性质简化数学运算.感悟：本章节的学习既要重视“代数运算”，也要重视“几何直观”解1：(待定系数法)由已知条件可得例3已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,－2),且圆心C在直线l：x

－y＋1＝0上，求此圆的标准方程．（尝试用多种方法解决本题，列出关系式即可，不用求解）设圆C的方程为解2：例3已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,－2),且圆心C在直线l：x

－y＋1＝0上，求此圆的标准方程．•xOyA(1,1)••B(2,-2)l解3：例3已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,－2),且圆心C在直线l：x

－y＋1＝0上，求此圆的标准方程．•xOyA(1,1)••B(2,-2)l1.圆的标准方程：以A(a